Требуется опреде- лить стационарное движение жидкости между двумя плоскими стенками, наклоненными друг к другу под углом (на рис. 8 изображен поперечный раз- рез обеих плоскостей); истечение происхо- дит вдоль линии пересечения плоскостей (G. Hamel, 1917). Выбираем цилиндрические координаты г, z, ip с осью z вдоль линии пересечения плоскостей (точка О на рис. 8) и углом <р, от- считываемым указанным на рис. 8 образом. Движение однородно вдоль оси z, и есте- ственно предположить, что оно будет чисто радиальным, т. е. Рис. 8 = vz = 0, vr = г;(г, ф). Уравнения A5.18) дают dv 1 dp (d2v 1 d2v 1 dv v \ dr p dr \ dr2 r2 dip2 r dr r2) d 2 d pr dcp dip B3.5) B3.6) d(rv) _ dr 114 ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ ГЛ. II Из последнего уравнения видно, что rv есть функция только от ср. Введя функцию и((р) = —rv, B3.7) получаем из B3.6) 1 др_ _ \1v2 du р dip r2 dip откуда р _ -и((р) р г* Подставляя это выражение в B3.5), получаем уравнение d2u , л , п 2 1 з ?f ( \ + Аи + Ьи = —г / (г), откуда видно, что как левая, так и правая части, зависящие со- ответственно только от ер и только от г, являются, каждая в отдельности, постоянной величиной, которую мы обозначим как 2С\. Таким образом, /'(г) = 12i/2dl, Г6 откуда /() ^ , Г2 и окончательно имеем для давления 5 = — Bи - d) + const. B3.8) р г2 Для и(ср) имеем уравнение и" + 4и + 6и2 = 2СЬ которое после умножения на и' и первого интегрирования дает — + 2и2 + 2и3 - 2du - 2С2 = О Отсюда получаем Г du +С3, B3.9) C чем и определяется искомая зависимость скорости от if] функция и{ф) может быть выражена отсюда посредством эллиптических функций. Три постоянные Ci, C2, С3 определяются из гранич- ных условий на стенках: ¦И) - = 0 B3.10) §23 ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ 115 и из условия, что через любое сечение г = const проходит (в 1 с) одинаковое количество жидкости Q: +а/2 +а/2 Q = p / vr dip = бир / и dip. B3.11) -а/2 -а/2 Количество жидкости Q может быть как положительным, так и отрицательным. Если Q > 0, то линия пересечения плоско- стей является источником, т. е. жидкость вытекает из вершины угла (о таком течении говорят как о течении в диффузоре). Если Q < 0, то эта линия является стоком, и мы имеем дело со сходя- щимся к вершине угла течением (или, как говорят, с течением в конфузоре). Отношение \Q\/(pu) является безразмерным и игра- ет роль числа Рейнольдса для рассматриваемого движения. Рассмотрим сначала конфузорное движение (Q < 0). Для ис- следования решения B3.9)-B3.11) сделаем оправдывающееся в дальнейшем предположение, что движение симметрично относи- тельно плоскости ip = 0 (т. е. u(ip) = u(—ip)), причем функция u(ip) везде отрицательна (скорость направлена везде к вершине угла) и монотонно меняется от значения 0 при ip = ±a/2 до зна- чения —uq(uq > 0) при ip = 0, так что щ есть максимум \и\. Тогда при и = —щ должно быть du/dip = 0, откуда заключаем, что и = —щ есть корень кубического многочлена, стоящего под корнем в подынтегральном выражении в B3.9), гак что можно написать: —и3 — и2 + С\и + Съ = (и + щ)[—и2 — A — щ)и + </], где q — новая постоянная. Таким образом, имеем и lip = ± / - [26.12) J V (и + ио)[—и2 — A — uq)u + q] i q oi J y(u + uo)[—u2 — A — uq)u + q] ~U°0 B3.13) причем постоянные щ и q определяются из условий о du R Г udu 6 J J(u + uo)[-u2 - A - uo)u + д/(гг + uo)[—u2 — A — uq)u + q] (где R = |Q|/^Y>); постоянная q должна быть положительна, в противном случае эти интегралы сделались бы комплексными. Эти два уравнения имеют, как можно показать, решения для щ и q при любых R и а < тг. Другими словами, сходящееся (конфу- зорное) симметрическое течение (рис. 9) возможно при любом 116 ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ ГЛ. II угле раствора а < тг и любом числе Рейнольдса. Рассмотрим подробнее движение при очень больших R. Большим R соот- ветствуют также и большие значения щ. Написав B3.12) (для (р > 0) в виде du <s/(и + ио)[—и2 — A — ио)и + q] и мы видим, что во всей области интегрирования подынтеграль- ное выражение теперь мало, если только \и\ не близко к щ. Это значит, что \и\ может быть заметно отличным от 1/о только при <р, близких ±а/2, т. е. в непо- средственной близости от стенок х) . Други- ми словами, почти во всем интервале углов (р получается и ~ const = — зд, причем, как показывают равенства B3.13), должно быть щ = R/Fa). Сама скорость v равна v = = \Q\fpar, что соответствует потенциальному невязкому течению со скоростью, не завися- щей от угла и падающей по величине обратно пропорционально г. Таким образом, при боль- ших числах Рейнольдса течение в конфузоре очень мало отличается от потенциального те- чения идеальной жидкости. Влияние вязкости проявляется только в очень узком слое вблизи стенок, где происходит быстрое падение ско- рости от значения, соответствующего потен- циальному потоку, до нуля (рис. 10). Пусть теперь Q > 0, т. е. мы имеем дело с диффузорным течением. Сделаем сначала Рис. 10 опять предположение, что движение симмет- рично относительно плоскости ср = 0 и что и(ф) (теперь и > 0) монотонно меняется от нуля при ср = ±а/2 до и = щ > 0 при if = 0. Вместо B3.13) пишем теперь: Рис. 9 о UQ 6 J du — и)[и2 + A + uq)u + q] B3.14) udu — u)[u2 + A + uq)u + q] Может возникнуть вопрос о том, каким образом этот интеграл может сделаться не малым даже при и& — uq. В действительности при очень боль- ших uq один из корней трехчлена — и2 — A — uq)u + q оказывается тоже близким к — 1бо, так что все подкоренное выражение имеет два почти совпа- дающих корня и потому весь интеграл «почти расходится» при и = —г^о. § 23 ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ 117 Если рассматривать щ как заданное, то а монотонно возрастает с уменьшением q и имеет наибольшее возможное значение при q = 0: _ Г dV_ J \/u(uq — и) (и )(и + Uq + 1) U С другой стороны, как легко убедиться, при заданном q а есть монотонно убывающая функция от щ. Отсюда следует, что щ как функция от q при заданном а есть монотонно убывающая функция, так что ее наибольшее значение соответствует q = 0 и определяется написанным равенством. Наибольшему щ соответ- ствует также и наибольшее R = Rmax- С помощью подстановки 2и0 ' U = Uq COS X можно представить зависимость Rmax от а в параметрическом виде тг/2 dx а = 2л/1 Rmax = " л/l — к2 sin2 х B3.15) / у 1 — /с2 sin2 ж Таким образом, симметричное, везде расходящееся течение в диффузоре (рис. 11 а) возможно для данного угла раствора Рис. 11 только при числах Рейнольдса, не превышающих определенного предела. При а —>> тг (чему соответствует к —>> 0) Rmax стремится к нулю. При а —)> 0 (чему соответствует fc —)> 1/л/2)Rmax стре- мится к бесконечности по закону Rmax — 18,8/а. При R > Rmax предположение о симметричном, везде рас- ходящемся течении в диффузоре незаконно, так как уело- 118 ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ ГЛ. II вия B3.14) не могут быть выполнены. В интервале углов —а/2 ^ ср ^ а/2 функция и(ср) должна иметь несколько мак- симумов или минимумов. Соответствующие этим экстремумам значения и(ср) должны по-прежнему быть корнями стоящего под корнем многочлена. Поэтому ясно, что трехчлен и2 -\-(l-\-uo)u-\-q (с щ > 0, q > 0) должен иметь в этой области два вещественных отрицательных корня, так что стоящее под корнем выражение может быть написано в виде (щ -и)(и + щ)(и + г/0')> где щ > 0, и'о > 0, Uq > 0; пусть uf0 < Uq. Функция и(ф) может, очевидно, изменяться в интервале и ^ и ^ — и'$, причем и = щ соответствует положительному максимуму гл(<р), а и = —и$ — отрицательному минимуму. Не останавливаясь подробнее на ис- следовании получающихся таким образом решений, укажем, что при R > Rmax возникает сначала решение, при котором скорость имеет один максимум и один минимум, причем движение асим- метрично относительно плоскости (ср = 0; рис. 11 б). При даль- нейшем увеличении R возникает симметричное решение с одним максимумом и двумя минимумами скорости (рис. 11 в) и т. д. Во всех этих решениях имеются, следовательно, наряду с областями вытекающей жидкости также и области втекающих потоков (но, конечно, так, что полный расход жидкости Q > 0). При R —>• оо число чередующихся минимумов и максимумов неограниченно возрастает, так что никакого определенного предельного реше- ния не существует. Подчеркнем, что при диффузорном течении решение не стремится, таким образом, при R —>• оо к решению уравнений Эйлера, как это имеет место при конфузорном дви- жении. Наконец, отметим, что при увеличении R стационарное диффузорное движение описанного типа вскоре после достиже- ния R = Rmax делается неустойчивым и возникает турбулент- ность.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Течения в диффузоре и конфузоре» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Может возникнуть вопрос о том, каким образом этот интеграл может 