Бесконеч- ный плоский диск, погруженный в вязкую жидкость, равномер- но вращается вокруг своей оси. Требуется определить движение жидкости, приводимой в движение диском(Т. Кагтап, 1921). Выбираем плоскость диска в качестве плоскости z = 0 цилин- дрических координат. Диск вращается вокруг оси z с угловой скоростью О. Рассматриваем неограниченную жидкость с той стороны диска, где z > 0. Предельные условия имеют вид vr = 0, v^ = Or, vz = 0 при z = 0, vr = 0, Vp = 0 при z = оо. Аксиальная скорость vz не исчезает при z —>> оо, а стремится к постоянному отрицательному пределу, определяющемуся из са- мих уравнений движения. Дело в том, что, поскольку жидкость движется радиально по направлению от оси вращения, в осо- бенности вблизи диска, для обеспечения непрерывности в жид- кости должен существовать постоянный вертикальный поток по направлению из бесконечности к диску. Решение уравнений дви- жения ищем в виде vr = rQ,F{z\), Vp = rQ,G{z\), vz = y/v{i), p = -pvuP(zi), где zx = \\-z. В этом распределении радиальная и круговая скорости про- порциональны расстоянию от оси вращения диска, а вертикаль- ная скорость vz постоянна вдоль каждой горизонтальной плос- кости. Подстановка в уравнения Навье-Стокса и уравнение непре- рывности приводит к следующим уравнениям для функций F, G, Н, Р: F2 -G2 + F'H = F", 2FG + G'H = G", [Zo.Z) HH' = P' + Я", 2F + H' = 0 (штрих означает дифференцирование по z\) с предельными усло- виями: F = 0, G = 1, Я = 0 при *1 = 0, B3 3) F = 0, G = 0 при zi = оо. К ' J Мы свели, таким образом, решение задачи к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений с одной переменной, которое может быть произведено численным обра- § 23 ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ 113 зом. На рис. 7 изображены полученные таким способом графики функций F, G, —Н. Предельное значение функции Н при z\ —>> —>> оо равно —0,886; другими словами, 1 Q скорость потока жидкости, текущего из бесконечности к диску, равна °>8 0,6 0,4 0,2 Сила трения, действующая на едини- цу поверхности диска по направлению, перпендикулярному к его радиусу, есть Пренебрегая эффекта- \ \ ^ dz z=0 1,0 2,0 3,0 Рис. 7 4 21 ми от краев диска, можно написать для диска большого, но конечного радиуса R момент действующих на него сил трения в виде R М = 2 [ 2тгг2аг(р dr = 7rR4pV^№ Gf@) множитель 2 перед интегралом учитывает наличие у диска двух сторон, омываемых жидкостью). Численное вычисление функ- ции G приводит к формуле М = -1,94 • R4pV^№. B3.4)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Увлечение жидкости вращающимся диском» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
