Жидкость, в которой взвешено большое количество мелких твердых частиц (суспензия), можно рассматривать как однород- ную среду, если мы интересуемся явлениями, характеризующи- мися расстояниями, большими по сравнению с размерами ча- стиц. Такая среда будет обладать эффективной вязкостью г/, отличной от вязкости г/о основной жидкости. Эта вязкость мо- жет быть вычислена для случая малых концентраций взвешен- ных частиц (т. е. суммарный объем всех частиц предполагает- ся малым по сравнению с объемом всей жидкости). Вычисления сравнительно просты для случая шарообразных частиц (А. Эйн- штейн, 1906). В качестве вспомогательной задачи необходимо предвари- тельно рассмотреть влияние, которое оказывает один погружен- § 22 ВЯЗКОСТЬ СУСПЕНЗИЙ 109 ный в жидкость твердый шарик на течение, обладающее посто- янным градиентом скорости. Пусть невозмущенное шариком те- чение описывается линейным распределением скоростей v\0) = aikxk, B2.1) где а^ — постоянный симметрический тензор. Давление в жид- кости при этом постоянно: р^ = const; условимся в дальнейшем отсчитывать давление от этого постоянного значения. В силу несжимаемости жидкости (divv^0) = 0) тензор щк должен иметь равный нулю след: агг = 0. B2.2) Пусть теперь в начало координат помещен шарик радиуса R. Скорость измененного им течения обозначим через v = v(°) + + vA); на бесконечности v^1) должно обращаться в нуль, но вбли- зи шарика v^1) отнюдь не мало по сравнению с v^0) Из симметрии течения ясно, что шарик останется неподвижным, так что гра- ничное условие гласит: v = 0 при г = R. Искомое решение уравнений движения B0.1)—B1.3) может быть получено непосредственно из найденного в § 20 решения B0.4) (с функцией / из B0.6)), если заметить, что производные от последнего по координатам тоже являются решениями. В дан- ном случае мы ищем решение, зависящее как от параметров от компонент тензора щк (а не от вектора и, как в § 20). Таковым является 2 VW = rot rot (aV/) p = f]oaik J , axi axk где (aVf) обозначает вектор с компонентами aikdf /дхк. Рас- крывая эти выражения и выбирая постоянные а и b в функции f = ar + Ь/г так, чтобы удовлетворить граничным условиям на поверхности шарика, получим в результате следующие формулы для скорости и давления: A) 5/Я5 R3\ R5 ,оо оч 1 = 2 \~^ ~ ~1)ак1ЩПкЩ ~ -^ампк, B2.3) R5 р = -Ьщ—ацеЩПк B2.4) г6 (п — единичный вектор в направлении радиус-вектора). Переходя теперь к самому вопросу об определении эффек- тивной вязкости суспензии, вычислим среднее (по всему объ- ему) значение тензора плотности потока импульса П^, совпадаю- щего в линейном по скорости приближении с тензором напряже- ний -aik: vik = - J crik dV. Интегрирование можно производить здесь по объему V сферы большого радиуса, который затем устремляем к бесконечности. 110 ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ ГЛ. II Прежде всего пишем тождественно: В стоящем здесь интеграле подынтегральное выражение отлично от нуля лишь внутри твердых шариков; ввиду предполагаемой малости концентрации суспензии его можно вычислять для од- ного отдельного шарика, как если бы других вообще не было, после чего результат должен быть умножен на концентрацию п суспензии (число шариков в единице объема). Непосредственное вычисление такого интеграла требовало бы исследования вну- тренних напряжений в шариках. Можно, однако, обойти это за- труднение путем преобразования интеграла по объему в инте- грал по поверхности бесконечно удаленной сферы, проходящей только через жидкость. Для этого замечаем, что ввиду уравне- ний движения дац/dxi = 0 имеет место тождество д , °ik = —\ дх i поэтому преобразование объемного интеграла в поверхностный дает °%к = Щ\тг- + тгЧ +n(p[°ilXkdfi -r]o(vidfk + vkdfi)]. \дхк dxi/ I Член с р мы опустили, имея в виду, что среднее давление непре- менно обращается в нуль (действительно, это есть скаляр, ко- торый должен определяться линейной комбинацией компонент тензора а^; но единственный такой скаляр ац = 0). При вычислении интеграла по сфере очень большого радиу- са в выражении B2.3) для скорости следует, конечно, сохранить лишь члены ~1/г . Простое вычисление дает для этого интегра- ла пщ • 20тгД3 где черта обозначает усреднение по направлениям единичного вектора п. Производя усреднение х) , получим окончательно: 3 °ik = ?7о — + -^-) + 5r]oaik——n. B2.6) \дхк dxi/ 3 ) Искомые средние значения произведений компонент единичного вектора представляют собой симметричные тензоры, которые могут быть составле- ны только из единичных тензоров Sik. Имея это в виду, легко найти, что ГЦПк = —Sik, ПъПкЩПт = (SikSlm + 6ц6кт + ^irn^kl)- 3 15 §23 ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ 111 Первое слагаемое в B2.6) после подстановки в него v(°) из B2.1) дает 2ща^] член же первого порядка малости в этом сла- гаемом тождественно обращается в нуль после усреднения по на- правлениям п (как и должно было быть, поскольку весь эффект заключен в выделенном в B2.5) интеграле). Поэтому искомая относительная поправка в эффективной вязкости суспензии т\ определяется отношением второго члена в B2.6) к первому. Та- ким образом, получим где ср — малое отношение суммарного объема всех шариков к пол- ному объему суспензии. Уже для суспензии с частицами в виде эллипсоидов вращения аналогичные вычисления и окончательные формулы становят- ся очень громоздкими . Приведем для иллюстрации числовые значения поправочного коэффициента А в формуле /ii л \ 4тга62 7l = 7lo(l+Aip), (p= ~^-П для нескольких значений отношения а/Ь (а и b = с —полуоси эллипсоидов): а/Ь= 0,1 0,2 0,5 1,0 2 5 10, А = 8,04 4,71 2,85 2,5 2,91 5,81 13,6. Поправка возрастает по обе стороны от значения а/Ь = 1, отве- чающего сферическим частицам.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Вязкость суспензий» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. Приведем для иллюстрации числовые 