Другой своеобразный тип внутренних волн может распро страняться в равномерно вращающейся как целое несжимаемой жидкости. Их происхождение связано с возникающими при вра щении кориолисовыми силами. 3 Л . Д . Л ан дау и Е.М . Л иф ш иц, том VI66 И Д Е А Л Ь Н А Я Ж И Д К О С Т Ь Г Л . I Будем рассматривать жидкость в системе координат, враща ющейся вместе с ней. Как известно, при таком описании в ме ханические уравнения движения должны быть введены допол нительные силы — центробежная и кориолисова. Соответственно этому, надо добавить такие же силы (отнесенные к единичной массе жидкости) в правую часть уравнения Эйлера. Центробеж ная сила может быть представлена в виде градиента V [fir]2/2, где fi — вектор угловой скорости вращения жидкости. Этот член можно объединить с силой —Vp/p, введя эффектив ное давление Р = р — р[ fir]2. (14.1) Кориолисова же сила равна 2[vfi], она появляется лишь при дви жении жидкости относительно вращающейся системы координат (v — скорость в этой системе). Перенеся этот член в левую часть уравнения Эйлера, напишем его в виде ^ + ( v V ) v + 2[fJv] = - ^ V P . (14.2) Уравнение же непрерывности сохраняет свой прежний вид, сво дясь для несжимаемой жидкости к равенству d ivv = 0. Снова будем считать амплитуду волны малой и пренебрежем квадратичным по скорости членом в уравнении (14.2), которое примет вид ^ + 2 [fiv] = -± V p ', (14.3) dt р где р! — переменная часть давления в волне, а р = const. Сра зу же исключим давление, применив к обеим частям уравнения (14.3) операцию rot. Правая часть уравнения обращается в нуль, а в левой имеем, с учетом несжимаемости жидкости: rot [fiv] = fi d ivv — (fiV )v = — (fiV )v. Выбрав направление fi в качестве оси z, запишем получающееся уравнение в виде — rot v = 2Г2— . (14.4) dt dz Ищем решение в виде плоской волны v = A e i<kr~ut\ (14.5) удовлетворяющей (в силу уравнения d ivv = 0) условию попе- речности кА = 0. (14.6)В О Л Н Ы В О В Р А Щ А Ю Щ Е Й С Я Ж И Д К О С Т И 67 Подстановка (14.5) в уравнение (14.4) дает си[клг] = 2 iftkzv. (14.7) Закон дисперсии волн получается исключением v из этого векторного равенства. Умножив его с обеих сторон векторно на к, переписываем его в виде —си2к2лг = 2iQkz \kv] и, сравнив друг с другом оба равенства, находим искомую зави симость си от к: О, = 2 0 ^ = 20 cos 6», (14.8) к где в — угол между к и fi. С учетом (14.4) равенство (14.7) принимает вид [nv] = iv, где п = к/к. Если представить комплексную амплитуду волны как А = а + ib с вещественными векторами а и Ь, то отсюда следует, что [nb] = а, — векторы а и b (оба лежащие в плос кости, перпендикулярной вектору к) взаимно перпендикулярны и одинаковы по величине. Выбрав их направления в качестве осей х и у и отделив в (14.5) вещественную и мнимую части, найдем, что vx = a cos (cut — k r ) , vy — —a sin (cut — k r ) . Таким образом, волна обладает круговой поляризацией: в каж дой точке пространства вектор v вращается со временем, оста ваясь постоянным по величине г) . Скорость распространения волны: U = t = f i " - n ( ™ ) h (14-9) где v — единичный вектор в направлении fi; как и в гравитаци онных внутренних волнах, эта скорость перпендикулярна волно вому вектору. Ее абсолютная величина и проекция на направ ление п . U = — sm6, U i/ = — sin2 6» = С/sin 6». к к Рассмотренные волны называют инерционными. Поскольку кориолисовы силы не совершают работы над движущейся жид костью, заключенная в этих волнах энергия — целиком кинети ческая. Напомним, что речь идет о движении по отношению к вращающейся системе координат! По отношению к неподвижной системе на это движение налагается еще и вращение всей жидкости как целого.68 И Д Е А Л Ь Н А Я Ж И Д К О С Т Ь Г Л . I Особый вид инерционных осесимметричных (не плоских) волн может распространяться вдоль оси вращения жидкости — см. задачу. В заключение сделаем еще одно замечание, относящееся к стационарным движениям во вращающейся жидкости, а не к рас пространению волн в ней. Пусть I — характерный параметр длины такого движения, а и — характерная скорость. По порядку величины член (vV )v в уравнении (14.2) равен и2/I, а член 2[fiv] ~ f t u . Если и / (IQ,) <С 1, то первым можно пренебречь по сравнению со вторым и тогда уравнение стационарного движения сводится к 2[Ov] = - - V P (14.10) Р И Л И оо _ 1 дР оо _ 1 дР дР - п 2 iiVy — , 2{lvx — 5 — 0, р дх р ду где ж, у — декартовы координаты в плоскости, перпендикуляр ной оси вращения. Отсюда видно, что Р , а потому и vXl vy, не зависят от продольной координаты Далее, исключив Р из двух первых уравнений, получим dvx dvy_ _ q дх ду ’ после чего из уравнения непрерывности d i v v = 0 следует, что dvz/ d z = 0. Таким образом, стационарное движение (относи тельно вращающейся системы координат) в быстро вращающей ся жидкости представляет собой наложение двух независимых движений: плоского течения в поперечной плоскости и осевого движения, не зависящего от координаты £ (J. Proudman, 1916).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Волны во вращающейся жидкости» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
