До сих пор в этой книге речь шла о квантовой электродина- мике частиц, не способных к сильным взаимодействиям, —элек- тронов, позитронов и мюонов. Существует также большое число частиц, участвующих в сильных взаимодействиях; их называют адронами . Адронами являются, например, протоны и нейтроны, имею- щие спин Y2, тг-мезоны со спином 0 и другие частицы. Адрона- ми, разумеется, являются и атомные ядра, так как они состоят из протонов и нейтронов. Построение исчерпывающей электродинамики адронов в рам- ках существующей теории невозможно. Ясно, что нельзя соста- вить уравнений, определяющих электромагнитные взаимодей- ствия адронов без учета значительно более интенсивных сильных взаимодействий. В частности, без учета последних нельзя установить и явный вид адронного тока, с помощью которого должны описываться взаимодействия в квантовой электродинамике. В этой ситуации адронный ток вводится как феноменологиче- ская величина, структура которой устанавливается лишь исходя из общих кинематических требований, не связанных с какими- либо предположениями о динамике взаимодействий 2) . Оператор же электромагнитного взаимодействия будет иметь по-прежнему вид e(JA), A38.1) где теперь ток обозначен прописной буквой J (в отличие от элек- тронного тока j). Поскольку порядок величины этого взаимо- действия задается тем же элементарным зарядом е, можно по- прежнему пользоваться методами теории возмущений 3) . Установим вид тока перехода между двумя состояниями сво- бодно движущегося адрона (не сопровождающегося каким-либо г) От греческого слова «хадрос», означающего крупный, массивный. ) Вопросы электродинамики адронов, связанные с кварковой моделью, в этой книге не рассматриваются. 3) В этой главе е обозначает элементарный заряд (е > 0). 138 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФОРМФАКТОРЫ АДРОНОВ 691 превращением самого адрона). Этот ток входит в «треххвостку» A38.2) которая сама может входить как часть в какую-либо более слож- ную диаграмму (например, упругого рассеяния электрона на ад- роне). Штриховая линия в диаграмме A38.2) изображает вир- туальный фотон; она не может отвечать реальному фотону, так как свободная частица не может поглотить (или испустить) та- кой фотон. При этом q2 = (р2 — р\J < 0. Рассмотрим сначала адрон со спином 0. Пусть щ и иъ —вол- новые амплитуды начального и конечного состояний адрона, в которых он имеет 4-импульсы р\ и р2] для частицы со спином 0 эти амплитуды — скаляры (или псевдоскаляры) . Адронный ток перехода Jfi между этими двумя состояниями должен быть билинеен по ^1,иЦ. Запишем его в виде Jfi=ulTui, A38.3) где 4-вектор Г — неизвестный вершинный оператор (кружок на диаграмме A38.2)). Если положить и\ = и^ = 1, то будет просто Jfi = Г- Универсальным свойством тока в электродинамике, связан- ным с калибровочной инвариантностью теории, является его со- хранение. В импульсном представлении оно выражается ортого- нальностью тока перехода 4-импульсу фотона q = р2 — р\: qjfi = 0. A38.4) В данном случае это значит, что оператор Г должен иметь вид Y = PF(q2), A38.5) где Р = р\ -\~P2-) F(q2) —скалярная функция единственной инва- риантной независимой переменной — квадрата q2. Поскольку род адрона при переходе не меняется, то р\ = р\ = М2 (М — масса адрона), и потому Pq = 0. *) Напомним, что плоская волна записывается в виде ф = . е грх. Нор- V2s мировке на одну частицу в единичном объеме отвечает (для частиц со спи- ном 0) нормировка скаляра согласно и* и = 1; при этом можно положить просто и = 1 (см. § 10). Мы определяем ниже ток перехода по отношению к амплитудам щ, U2 в соответствии со способом обозначений, принятым в 5 64. 692 ЭЛЕКТРОДИНАМИКА АДРОНОВ ГЛ. XIV Матричные элементы A38.3) с Г из A38.5) (а с ними и сам оператор J)—истинные 4-векторы. Поэтому оператор взаимо- действия A38.1)—истинный скаляр. Таким образом, электро- магнитное взаимодействие адронов со спином 0 оказывается Р-инвариантным автоматически. Оно оказывается также и Т-ин- вариантным. Действительно, обращение времени, во-первых, пе- реставляет начальный и конечный 4-импульсы; при этом сумма Р = р\ + р2 не меняется. Во-вторых, обращение времени меня- ет знак пространственных компонент 4-импульсов, не меняя их временных компонент; но таким же образом преобразуются и компоненты 4-потенциала А, так что произведение JA не меня- ется. Инвариантную функцию F(q2) называют электромагнит- ным формфактором адрона. В рамках феноменологической те- ории ее вид, разумеется, не может быть установлен. Можно, од- нако, утверждать, что эта функция вещественна (в рассматри- ваемой области q2 < 0). Это следует из тех же соображений, ко- торые были применены в § 116 к формфакторам электрона: при q2 < 0 во всяком случае отсутствуют промежуточные состояния, которые могли бы фигурировать в правой стороне соотношения унитарности; поэтому матрица Mfi, а с нею и Jfi оказываются эрмитовыми. При q = 0 начальное и конечное состояния совпадают, так что Jfi становится диагональным матричным элементом. В част- ности, e(J®)n/2?i = eF@) есть плотность заряда, совпадающая (нормировка на одну частицу в единичном объеме!) с полным зарядом частицы Ze. Для электрически нейтральной частицы F@) = 0. Подчерк- нем, однако, что это отнюдь не означает еще истинной нейтраль- ности частицы. Если частица истинно нейтральна и обладает определенной зарядовой четностью, то F(q2) = 0 при всех q2: так как оператор тока зарядово-нечетен (см. § 13), его матрич- ные элементы между двумя состояниями одного и того же адро- на равны нулю х) . Перейдем к адронам со спином 1/2. В этом случае волновые амплитуды щ, U2 — биспиноры и адронный ток имеет вид Jfi=u2Tui. A38.6) ) Это не означает, конечно, что такой адрон вообще не взаимодействует с электромагнитным полем. Произведение двух операторов тока, «/(ж), J(x'), уже зарядово-четно, и его матричные элементы отличны от нуля для пе- реходов между состояниями с одинаковой зарядовой четностью. Поэтому истинно нейтральный адрон может рассеивать фотон, а также испускать одновременно два фотона, т. е. участвовать в процессах более высокого по- рядка по а. § 138 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФОРМФАКТОРЫ АДРОНОВ 693 Из билинейных комбинаций U2 и щ и 4-векторов pi, P2 мож- но составить как истинные 4-векторные, так и псевдовекторные величины (удовлетворяющие условию A38.4)). Поэтому условие Р-инвариантности взаимодействия не удовлетворяется автома- тически и должно быть поставлено дополнительно г) . Как было показано в § 116, при этом условии вершинный оператор содер- жит два независимых вещественных (при q2 < 0) формфактора. Запишем его теперь в виде Fm) +Fm^ 2M(FeFm) т) р2 ml ye ш2 mj p2 = (AM2Fe - q2Fm)^ + 2-^(Fe - Fm)a*vqv, A38.7) где Fe(q2) и Fm(q2) —инвариантные формфакторы (М — масса адрона); в эквивалентности трех написанных выражений легко убедиться с помощью равенств Р2 + q2 = 4М2 и A16.5) 2) . Электромагнитные формфакторы относятся к категории ин- вариантных амплитуд, понятие о которых было введено в § 70. Их можно рассматривать как амплитуды «реакции», представля- ющей собой (в своем аннигиляционном канале) распад виртуаль- ного фотона на адрон и антиадрон. Виртуальный фотон—«ча- стица» со спином 1. В том, что ее распад на две частицы со спи- ном 1/2 должен описываться двумя независимыми амплитудами, легко убедиться и подсчетом соответствующих спиральных ам- плитуд (\h^c\SJ\\а) (см. § 69). Действительно, в силу Р-инвари- антности четыре отличных от нуля элемента ^-матрицы попарно равны друг другу: (i/2-i/2|51|0> = (-V21/2|S1|0>. Требование Т-инвариантности (или С-инвариантности — в аннигиляционном канале) не добавляет новых связей между эти- 1) Мы не рассматриваем возможные нарушения сохранения четности в электромагнитных взаимодействиях, связанные с учетом виртуальных сла- бых взаимодействий. 2) Целесообразность определения формфакторов согласно A38.7) (R. Sackhs, 1962) выяснится ниже. В литературе используются также формфакторы Fi, F2, определенные аналогично / и д в A16.6), т. е. согласно 1 2М Они связаны с Fe, Fm соотношениями 2 Fe =Fi+F2-^-, Fm = Fi+F2. 4M2 694 ЭЛЕКТРОДИНАМИКА АДРОНОВ ГЛ. XIV ми элементами. С этим обстоятельством связан тот факт, что взаимодействие, описываемое вершинным оператором A38.7), автоматически оказывается также и Т-инвариантным (такая си- туация, однако, не имеет уже места для частиц с более высокими спинами). При q —>• 0 члены нулевого и первого (по q) порядка в A38.7): Г" = FMr - ^[^@) - ^(О)К^- A38.8) Отсюда видно (см. § 116), что ^е@) = Z— электрический заряд частицы (в единицах е), a Fm@) — Fe@) — ее аномальный маг- нитный момент (в единицах е/2М) х) . До сих пор мы пользовались только формфакторами в им- пульсном пространстве. Этого, разумеется, достаточно для опи- сания наблюдаемых явлений. С чисто иллюстративной целью, однако, можно дать формфакторам и несколько более нагляд- ную интерпретацию, рассматривая их как фурье-образы некото- рых функций от координат. Для этого удобно выбрать систему отсчета, в которой Р = — Pi + Р2 = 0 (так называемая система Брейта)] это всегда возможно, поскольку Р2 > 4М2 > 0. В этой системе е\ = ?2 = ?, так что Р° = 2б, а составляющие 4-вектора q равны д° = 0, q = = 2P2 = -2Pl. Для адрона со спином 0 ток перехода принимает в системе Брейта особенно простую форму: |W(-q2), J = 0. Отсюда видно, что F(—q2) можно истолковать как фурье-образ статического распределения зарядов с плотностью ep® = e^ I F(-q2)e^d3q. A38.9) В этом смысле говорят о пространственной электромагнитной структуре частицы: при F = const = Z было бы p® = ZS®; зависимость же формфактора от q интерпретируется как откло- нение распределения заряда от точечного. Подчеркнем, однако, что этой интерпретации не следует придавать буквального смыс- ла. Функция р(т) вообще не относится к какой-либо определен- ной системе отсчета, так как каждому значению q отвечает своя система. Лишь в нерелятивистском пределе q2 <^ M2, когда изме- нением энергии частицы при рассеянии можно пренебречь, си- стема Брейта совпадает с системой покоя частицы и не зависит Так, для протона Fe@) = 1, Fm@) -Fe@) = 1, 79. Для нейтрона Fe@) = = 0, Fm@) = —1,91 (магнитный момент полностью «аномален»). § 138 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФОРМФАКТОРЫ АДРОНОВ 695 от q. Начальные и конечные состояния частицы в этом прибли- жении одинаковы, так что ток перехода становится диагональ- ным матричным элементом и функция р(т) приобретает реаль- ный смысл пространственного распределения зарядов. Для эле- ментарных частиц, однако, характерные значения |q|, на кото- рых существенно меняются формфакторы, лишь немногим мень- ше М. Поэтому в нерелятивистском пределе для них можно вообще заменить F(—q2) на F@), т. е. рассматривать частицу как точечную. Иная ситуация для ядер. Масса ядра М про- порциональна числу А нуклонов в нем, а характерное значение |q| ~ 1/i?, т. е. пропорционально А~ /3 (i? —радиус ядра). Поэто- му для достаточно тяжелых ядер характерные q2 <С Л/f2, и, та- ким образом, нерелятивистское рассмотрение допустимо во всем существенном интервале; тем самым понятие электромагнитной структуры ядра приобретает вполне определенный смысл. Для частицы со спином 1/2 из A38.7) получим в системе Брейта J% = (Fe - Fm)^(u2Ul) + FTO(«27°«i) = Fe(H2l0Ul), A38.10) J/i = --^-^т[*Я(«22«1), A38.11) где S —трехмерный оператор (матрица) спина B1.21), а в A38.10) использовано равенство e(U2ry°ui) = M(U2Ui), которое легко проверить с помощью уравнений Дирака для щ и Щ при Pi = -Р2 Временная компонента тока перехода A38.10) отличается от выражения для «точечной частицы»—электрона множителем Fe(—q2). Поэтому можно сказать, что формфактор Fe (его назы- вают зарядовым) описывает «пространственное распределение заряда» согласно A38.9). Аналогичным образом трехмерному вектору A38.11) мож- но привести в соответствие «пространственное распределение» плотности токов ej® = rot/i®, где представляет собой «плотность магнитного момента». Таким об- разом, формфактор Fm (его называют магнитным) можно ин- терпретировать как плотность пространственного распределения магнитного момента — разумеется, с теми же оговорками, кото- рые были сделаны выше по поводу распределения заряда. При этом Fm включает в себя как «нормальный» дираковский маг- нитный момент, так и специфический для адрона «аномальный» момент; «плотности» последнего отвечает разность Fm — Fe. 696 ЭЛЕКТРОДИНАМИКА АДРОНОВ ГЛ. XIV Естественно считать, что особые точки адронных электро- магнитных формфакторов, как и электронных, лежат при веще- ственных положительных значениях аргумента t = q2 = — q2. Это позволяет сделать определенные заключения об асимпто- тическом поведении распределения р(г) (и /л(г)) при г —>> оо. Именно, такое же преобразование интеграла A38.9), которое бы- ло применено в § 114 для перехода от A14.3) к A14.4), приведет к результату, что при больших г будет р(г) ос е~:к°г, где щ — абсцисса первой особой точки формфактора F(q2) (ср. также примеч. на с. 564). Если ближайшая особенность дается поро- гом образования виртуальным фотоном пары адронов (массы Mq каждый), то щ = 2Mq.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Электромагнитные формфакторы адронов» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. 