Метод, примененный в предыдущих параграфах к вычисле- нию радиационного сдвига атомных уровней, неприменим для решения такой задачи, как определение поправок к уровням по- зитрония—системы из двух равноправных частиц, ни одна из которых не может рассматриваться по отношению к другой как источник внешнего поля. Систематический метод решения этой задачи основан на том, что уровни энергии связанных состояний являются полюсами точной амплитуды взаимного рассеяния двух частиц (амплиту- ду нужно рассматривать как функцию суммарной энергии час- тиц в системе центра инерции). Действительно, позитроний в каждом из своих дискретных состояний можно рассматривать как «промежуточную частицу» определенной массы, через об- разование которой может идти процесс рассеяния электрона и позитрона; каждому же «одночастичному» промежуточному со- стоянию отвечает полюс амплитуды рассеяния (разумеется, эти полюсы лежат в нефизической области 4-импульсов рассеиваю- щихся частиц). Согласно A06.17) точная амплитуда рассеяния строится из точной «четыреххвостой» вершинной части Г^? im и поляризаци- онных амплитуд и частиц. Последние, очевидно, не имеют отно- шения к полюсным особенностям, и потому удобнее не рассмат- ривать их вовсе, говоря вместо этого о полюсах самой вершинной части, т. е. функции Ггк, 1т(р'-, -Р+; Р-, -Р+), A25.1) где обозначения 4-импульсов внешних концов диаграммы A06.12) отвечают рассеянию позитрона на электроне. Подчеркнем, что утверждение о наличии полюсов относится именно к точной амплитуде рассеяния или к точной вершин- ной части; в каждом же отдельном члене ряда теории возмуще- ний полюс отсутствует. Последнее очевидно уже из того, что в фейнмановских диаграммах каждого приближения фигурируют лишь электронные (и фотонные) линии, но не линии «состав- ной частицы» —позитрония как целого. Отсюда в свою очередь следует, что вычисление амплитуды рассеяния вблизи ее полю- сов требует суммирования бесконечной последовательности диа- 125 УРАВНЕНИЕ ДЛЯ СВЯЗАННЫХ СОСТОЯНИЙ 613 грамм. Выясним, какие именно диаграммы входят в эту после- довательность . В первом неисчезающем (первом по а) приближении теории возмущении вершинной части A25.1) отвечают две диаграммы второго порядка: -Р+ V- - +Р+ A25.2) -р+ -р+ а или в аналитическом виде: A25.3) В следующем (втором по а) приближении имеется уже 10 диаграмм четвертого порядка: -Р+ Р- A25.4) -Р+ и еще пять диаграмм, различающихся перестановкой р-^—р'^. Все эти диаграммы имеют по сравнению с диаграммами A25.2) лишнюю степень е2 = а. Покажем, однако, что в диаграмме A25.4,а) эта лишняя степень малости компенсируется малым (при малых импульсах электрона и позитрона) знаменателем. 614 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ Будем рассматривать все величины в системе «центра инер- ции». Поскольку, однако, 4-импульсы внешних концов диаграмм не предполагаются физическими (т. е. р2 ф т2), то хотя в этой системе р+ = — р_, но ?+ ф ?_. Таким образом, 4-импульсы концов Р- = (е-> Р), Р+ = (е+, -Р)? A25.5) Энергия связи электрона и позитрона в позитронии ~ та2. По- этому в интересующей нас окрестности полюсов амплитуды рас- сеяния I II I 2 / |б_ — 77l| ~ |?+ — 777| ~ р /777 Вклад в вершинную часть от диаграммы A25.4,а) -p- -p+)-f)km * ^. A25.7) В интеграле A25.7) существенна область значений q^ = (go, q), близких к полюсам одновременно обеих функций G. В этой обла- — 7771 малы и электронные пропагаторы сти Glq) = —^ — ~ ко — т — — + (go +m)(q0 - т) - q2 + гО 2 L 2m ^o 1 Г «2 1 -1 т A25.8) Полюсы этих двух выражений лежат по разные стороны от веще- ственной оси в плоскости комплексной переменной до 5 замкнув путь интегрирования вдоль этой оси, скажем, в верхней полу- плоскости, вычислим интеграл по до по вычету относительно со- ответствующего полюса . В результате найдем, что [ J ' ~ р'-J(р- — qJ Для диаграммы же A25.4,е), отличающейся от A25.4,а) лишь взаимным направлением электронных линий, оба полюса оказались бы лежащими по одну сторону от вещественной оси, так что после сделанных пренебрежений интеграл вообще обратился бы в нуль. § 125 УРАВНЕНИЕ ДЛЯ СВЯЗАННЫХ СОСТОЯНИЙ 615 и отсюда, с учетом A25.6), оценку гDа) {f J (таLта2 т2а Такой же порядок величины имеет и вклад в Г от диаграммы второго порядка A25.2,а) (первый член в A25.3)), чем и дока- зывается сделанное выше утверждение о порядке малости диа- граммы A25.4,а). Аналогичная ситуация имеет место и во всех дальнейших приближениях теории возмущений. Таким образом, вычисление интересующей нас вершинной части вблизи ее полюсов требует суммирования бесконечной по- следовательности «аномально больших» диаграмм с промежу- точными состояниями типа внутренних линий диаграммы A25.4,а). Для этих диаграмм характерно, что они могут быть рассечены между концами р_, — р+ и р'_, —р'+ на части, со- единяющиеся друг с другом лишь двумя электронными лини- ями г) . Совокупность же всех диаграмм, не удовлетворяющих этому условию, назовем «компактной» вершинной частью и обо- значим через Tikjm] поскольку аномально большие диаграммы в нее не входят, эти величины можно вычислять по обычной те- ории возмущений. Так, в первом приближении Г определяется обеими диаграммами второго порядка A25.2), а во втором — во- семью диаграммами четвертого порядка (все диаграммы, за ис- ключением A25.4,а, б)). Классифицируя некомпактные вершинные части по числу со- держащихся в них «двойных связей», можно представить полную Г в виде бесконечного ряда: A25.9) где все внутренние сплошные жирные линии — точные пропага- торы Q (ряд такого вида часто называют лестничным). Чтобы просуммировать этот ряд, «умножим» его слева еще на одну Г 2) : + ... ) Такое определение включает в себя все аномально большие диаграммы, но наряду с ними также и некоторые «нормальные», например диаграмму A25.4,5). ) Т. е. умножаем все члены ряда на Г и две Q и производим соответствую- щее интегрирование по 4-импульсам новых внутренних связей. 616 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ Сравнив теперь этот ряд с исходным рядом A25.9), мы уви- дим, что Р- q Р- Р- Р- Р- Р- ± A25Л0) Это графическое равенство эквивалентно следующему интегра- льному уравнению: / IV, smip1-, q-p'+ -p'-\ q, -p+)Gst(q)Gnr(q-p+ -pf-) x ''- A25.11) Функции Г и Q вычисляются по теории возмущений, после чего уравнение A25.11) дает, в принципе, возможность вычислить Г с любой требуемой точностью. Для определения же уровней энергии достаточно знать лишь положение полюсов функции Г. Вблизи полюсов Г ^> Г, так что первым членом правой стороны A25.11) (вторая диаграм- ма справа в A25.10)) можно пренебречь, и уравнение становится однородным относительно Г. В этом уравнении переменные р+, р_, а также и индексы fc, / становятся параметрами, зависимость от которых остается произвольной (не определяется самим урав- нением). Опустив эти параметры (а вместе с ними и штрихи у остающихся переменных р^? Р-)? получим уравнение гГг,ш(р_; -р+) = / fir, sm(p_, q-p+ -р-\ q, -p+)Gst{q) x ^ A25.12) (E. E. Salpeter, H. A. Bethe, 1951). Записанное в системе центра инерции (р+ + р_ =0), уравне- ние A25.12) имеет решения лишь при определенных значениях 6+ + ?_, которые и дают уровни энергии позитрония. Функция I\5 m играет при этом лишь вспомогательную роль. Вместо нее удобнее ввести другую функцию: XsriPU P2) = GstipiWt, n(Pl5 P2)Gnr{P2)- A25.13) § 125 УРАВНЕНИЕ ДЛЯ СВЯЗАННЫХ СОСТОЯНИЙ 617 Тогда уравнение A25.12) примет вид i4 = /fir, A25.14) в котором Г выступает как ядро интегрального оператора. Как уже упоминалось, Г может вычисляться по теории возмущений; то же самое относится, конечно, и к функции Q~l. Покажем, что в первом (по а) приближении теории возму- щений A25.14) сводится, как и следовало ожидать, к нереляти- вистскому уравнению Шредингера для позитрония. В первом нерелятивистском приближении Г определяется од- ной лишь диаграммой A25.2,а) (диаграмма аннигиляционного типа A25.2,5) обращается в этом приближении в нуль) х) . Как и по аналогичному поводу в § 83, фотонный пропагатор удобно вы- брать в кулоновой калибровке G6.12),G6.13), причем достаточно оставить в нем лишь компоненту Dqq. Тогда Ггг, sm(P-, Q-P+ -Р-\ Я, -Р+) = -е27г°ЛгтАю(<7 ~ Р-) = где U(q) = -47re2/q2 — компонента Фурье потенциальной энергии кулонова взаимо- действия позитрона и электрона. Уравнение A25.14) принимает вид A25.15) где также заменены точные пропагаторы Q пропагаторами сво- бодных электронов G. Для последних имеем приближенные вы- ражения (ср. A25.8)) G(p_) « ^ ^ где выделены матричные множители, a g(p) — скалярная функ- ция: g(p) = [?-m- р2/Bш) + гО]. A25.16) Напомним, что скорости частиц в позитронии v/c ~ а. В этом смысле разложения по а и по 1/с взаимно связаны. 618 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ При подстановке этих выражений в A25.15) замечаем, что все отличные от нуля матричные элементы совпадают с элементами —Xim- Поэтому матричное уравнение A25.15) эквивалентно уравнению для скалярной функции г. A25.17) Введем теперь вместо р_|_, р- переменные Р= & Р) = Р~ ~ Р+ > Р=^_ +]9+ D-импульсы относительного движения частиц и позитрония как целого). В системе центра инерции р= (Е + 2т, 0), где полная энергия обозначена через Е + 2т, т. е. Е —уровень энергии, отсчитываемый от массы покоя. Выразив через эти пе- ременные, перепишем A25.17) в виде *Х(Р, Р) = B^L В это уравнение Р входит уже только как параметр, а функция X входит в правую часть равенства только в виде интеграла -/ , P)dq0. Проинтегрировав обе стороны равенства по de, получим из него замкнутое уравнение для ф: где § 126 ДВОЙНОЕ ДИСПЕРСИОННОЕ СООТНОШЕНИЕ 619 Замкнув путь интегрирования по ds, скажем, в верхней полу- плоскости комплексного ?, вычислим интеграл по вычету в со- ответствующем полюсе и окончательно получим ^-=0. A25.18) тгK Это и есть уравнение Шредингера для позитрония в импульсном представлении (см. III, A30.4)). Если бы мы ограничились для Г диаграммами A25.2), но учли бы в них (а также и в Q) следующие члены разложения по 1/с, мы получили бы уравнение Брейта (см. § 83). Учет же диаграмм из A25.4) (вместе с дальнейшими членами разложения по 1/с) дает радиационные поправки к уровням позитрония; од- нако вычисления становятся очень сложными. Приведем вычисленную с этими поправками разность основ- ных уровней орто- и парапозитрония : +)} A25.19) 6 V 9 / 7Г 2 J V J Первый член в фигурных скобках — тонкое расщепление (см. за- дачу 2, § 84). Второй член — радиационная поправка к разности уровней. Мнимая же часть разности связана с вероятностью ан- нигиляции парапозитрония (см. (89.14)), т. е. с комплексностью уровня 1Sq] для парапозитрония ширина уровня оказывается то- го же порядка величины, что и радиационная поправка к его вещественной части.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Релятивистское уравнение для связанных состояний» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. В результате найдем, что 