Рассеяние электрона во внешнем поле во втором борновском приближении
В первых двух приближениях по внешнему полю рассеяние электрона изображается диаграммами \Q q2=p'-f\ \qi=f~P A21.1) р р p'=p+q Первой из них отвечает амплитуда М^ ~ Ze2, рассмотренная в § 80. Амплитуда же второго приближения М^ ~ (Ze2J. Легко видеть, что члены такого же порядка возникают и от радиационных поправок. В третьем порядке теории возмущений радиационные поправки к амплитуде рассеяния изображаются диаграммами A21.2) Р а Р Р М<3» 121 РАССЕЯНИЕ ВО ВТОРОМ БОРНОВСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ 593 При этом МC) ~ Ze2 -е2, и если Z ~ 1, то М^ ~ М^2\ Согласно F4.26) сечение рассеяния da = |м|-} +М^} +MJf|2-^. A21.3) В стоящем здесь квадрате амплитуды мы имеем право сохра- нить, наряду с |ML^|2, также и интерференционные члены меж- ду Mfi и Mfi и между Mfi и ML . Таким образом, с точностью до членов ~ е6 сечение представится суммой da = cfcr^1) + da^ + с/сград, A21.4) где da^ —сечение в первом борновском приближении (см. § 80), а поправки к нему )мB)* do' , !l l^ A21-5) Напомним (см. § 80), что М$ = \е\(п'7°и)Ф(Ч), A21.6) где $(q)—компонента Фурье скалярного потенциала постоян- ного внешнего поля (Ф = Aq ) и учтено, что заряд электрона е = —|е . Два выражения A21.5) могут, очевидно, вычисляться незави- симо. Первое будет рассмотрено в этом, а второе —в следующем параграфе. Амплитуда второго приближения, построенная по диаграмме A21.1), дается интегралом = -е2 .2 / J тт/ ' - f)»(f - A21.7) «4-импульсы» внешнего постоянного поля q\ = / — р и б/2 = pf — f не имеют временных компонент. Поэтому /о = е = е', A21.8) где еже1 — начальная и конечная энергии электрона, совпадаю- щие друг с другом при упругом рассеянии. х) Напомним, что здесь надо пользоваться правилом диаграммной техни- ки, относящимся к постоянному внешнему полю, — см. сформулированное в § 77 правило 8. 594 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ В чисто кулоновом поле неподвижного заряда Z\e\: Для такого потенциала интеграл A21.7) логарифмически расхо- дится (при f^pnf^p7). Эта расходимость специфична для ку- лонова поля и связана с медленностью его убывания на больших расстояниях. Ее происхождение легче всего уяснить на примере нерелятивистского случая. Согласно т. III, A35.8), коэффициент при сферической волне ехр(г|р|г)/г в асимптотическом выраже- нии волновой функции электрона в кулоновом поле имеет вид Но этот коэффициент и является амплитудой рассеяния элек- трона в поле, и мы видим, что ее фаза содержит расходящий- ся (при г —>• оо) член. При разложении амплитуды рассеяния по степеням Za этот член приведет к расходимости всех чле- нов разложения, начиная со второго (так как сама функция fF) пропорциональна Za). Ситуация в релятивистском случае имеет, разумеется, аналогичный характер. Эти рассуждения показывают в то же время, что расходя- щиеся члены должны сократиться при вычислении сечения рас- сеяния, в котором фаза амплитуды несущественна. Простейший путь корректного проведения вычислений состоит в том, чтобы рассмотреть сначала рассеяние в экранированном кулоновом по- ле, т. е. положить с малой константой экранирования S (S <С |р|). Тем самым устра- няется расходимость в амплитуде рассеяния, а в окончательном ответе для сечения уже можно положить 6 = 0. Подставив A21.9) в A21.7), получим g} + m)Ji +-yJ]u(p), П21Н» Здесь p2 = e1 — m? = p7 и интеграл J симметричен по отноше- нию к р и р'; из соображений векторной симметрии очевидно, где введены обозначения: f и3/ f J + <P][p2 - f2 + гО]' -P + P' § 121 РАССЕЯНИЕ ВО ВТОРОМ БОРНОВСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ 595 что вектор J должен быть направлен вдоль р + р7. Исключив теперь матрицы 'у с помощью равенств *ури = (т°? ~~ га)^5 п'~/р' = п!(rfs — га), получим {ff l22°Ji + h) + m(Ji - J2)]«(p). A21.11) Для проведения дальнейших вычислений перейдем (как и в § 80) от биспинорных амплитуд и и и' к соответствующим им (согласно B3.9) и B3.11)) 3-спинорам w и г*/. Прямым перемно- жением находим п'и = w'*{(s + га) — (б — га) cos б + гиа{е — т) sin^}^, vfj°u = w'*{(s + m) + (б — га) cos б — шо-(е — га) sin^}^, где fnn'l р / Р7 л / V = ^ ^, П = — , П = -*—, COS^ = ПП . ^' ||' ||' После этого амплитуда A21.11) представится в виде Mf) = 4nw'*(A^ + B^utr)w, ^e + m) + {e-m) cos^]e(J1 + J2) + + m)-(e-m)cos0]m(Ji - J2)}, A21.12) BB) = A4z2a2(e - m) sin0[e(Ji + J2) - m(Ji - J2)]. Амплитуда ж:е рассеяния первого приближ:ения в аналогич- ных обозначениях имеет вид му/ = = ^[(e + m) + (e-m)cos0], A21.13) где q = p7 - р. Сечение рассеяния и поляризационные эффекты выражают- ся через величины А = А^ + А^ и В = i^1) +i?B) формулами, полученными в т. III, § 140. Так, сечение рассеяния неполяризо- ванных электронов: da = (\А\2 + \B\2)do' « rfa^1) + 2(А^ ReA® - г Определение величин А л В здесь соответствует определению в § 37 и в т. III, § 140, и отличается множителем от определения в § 80. 596 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ После подстановки A21.12),A21.13) простое вычисление дает , A21.14) где v = р/е— скорость электрона, в— угол рассеяния. В резуль- тате рассеяния электроны поляризуются, вектор поляризации конечных электронов ., _ 2Re(AB*) или, после подстановки A21.12),A21.13), С = Перейдем к вычислению интегралов J\ и J2. Оно облегча- ется применением метода параметризации по формуле A31.2). Интеграл J\ принимает вид 1 1 1 = -2 Г Г [Г / Г»\ О i col > ¦ Г/ Г»\ О i col > i Г Г»О О •/"\"l>= Q 1 — f) + S 2]^i + [(p — fJ + ^2]^2 + [f — p — «0]^з}3 0 0 0 Интегрирование по ?3 устраняет E-функцию; приведя подобные члены в знаменателе, получим о о Введя вместо f новую переменную k = f — ^ip7 — C2P5 сведем интегрирование по d3f к интегралу вида dSk . 7Г2 = г- (к2 - а2 - гОK 4а3 ' так что 1 1-6 6 2 У У 0 0 Вместо ^i и ^2 вводим симметричные комбинации: х = ?1+^2? У — = Ci —С2- Интегрирование по у (в пределах от 0 до х) элементарно 121 РАССЕЯНИЕ ВО ВТОРОМ БОРНОВСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ 597 и дает 1 ~~2№ J ' x dx I [bx* - 2x + 1 - —2x - «] [A - xY ~—2x- io] 2 s21 7 Р + РР где о = ?-?- = шо -. 2Р2 2 Для вычисления интеграла по х при S —> О разбиваем область интегрирования на две части: 1 1-6г 1 IpI Г А Г А ^ Г А Л^Я ... ах = / ... ах + / ... аж, 1 ^> Oi О 0 1—Ji В первом интеграле мож:но положить 6 = 0] тогда х 1—8\ -, х S ¦ " - О Во втором же интеграле можно положить х = 1 везде, кроме чле- на A —жJ, а также положить 6 = 0 в первой скобке знаменателя. Тогда 2) ... dx = 2A - ¦In- - 2х + 1 - гО о 2A-, In + in] . 1/2 dx' 1/2 2i 1-И <* При сложении обоих интегралов величина S\, как и следовало ожидать, выпадает, и получается 2|p|3sin2((9/2) 1 — In 0 sin - S 2 A21.16) Правило обхода (член гО) позволяет определить изменение аргумента выражения под знаком логарифма при переходе от 0 к 1 — Si: при обходе точки ветвления снизу аргумент меняется от 0 до — тг. ) И здесь правило обхода определяет знак корня при переходе от положи- тельных к отрицательным значениям подкоренного выражения. 598 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ Интеграл J2 вычисляется аналогичным образом и равен тг3 [l - sin(/) = Л - -1 i^4 - gbsing. A21.17) 2 4|p|3cos2-sin- 2|p|3cos2- |П 2 2 ' ' 2 Остается подставить эти выражения в A21.14),A21.15), и мы получим окончательные результаты: daB) = AZafe^ A_8inl)do>j A21.18) sin - In sin - C' = ^nm 22 A2119) j 2 / H \ H ^ ' 1 — v2 sm - cos - V 2/ 2 (VK Л. McKinley, H. Feshbach, 1948; Д. Я. Da/ife, 1950). В первом борновском приближ:ении сечения рассеяния элек- трона и позитрона (в одном и том же внешнем поле) одинаковы. Во втором приближении эта симметрия исчезает. Для рассеяния позитрона (заряд +|е|) амплитуда первого приближения A21.6) имеет обратный знак, знак же MV} не меняется. Поэтому сече- ние da^, представляющее собой интерференционный член меж- ду М\^ и ML , изменит знак. То же самое произойдет и с вы- ражением A21.19) для вектора поляризации. Вообще, переход от формул для рассеяния электрона к формулам для рассеяния позитрона можно произвести формальной заменой Z —>> —Z.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Рассеяние электрона во внешнем поле во втором борновском приближении» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
