На примере вычисления массового оператора продемонстри- руем метод прямой регуляризации интегралов Фейнмана. В первом неисчезающем приближении массовый оператор представляется петлей в диаграмме р—к A19.1) d4k Ей отвечает интеграл -Щ(р) = (-геJ J-fGip - подставив пропагаторы и сведя вместе множители 7^ — , месте множите помощью формул B2.6), получим [(р-кJ - 582 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ (чертой над буквой ЛЛ мы обозначаем нерегуляризованное зна- чение интеграла). В фотонный пропагатор введена фиктивная «масса фотона» А с целью устранения (как и в § 117) инфра- красной расходимости. Преобразуем интеграл с помощью формулы A31.4), понимая в ней под а\ и а,2 два множителя в знаменателе A19.2). После простой перегруппировки членов в знаменателе нового интегра- ла получим 1 ~Т7( \ 8тгг 2 / л47 /л 2т — Оур) + Нк) /11П оч М(р) = - ——е d к dx KW) yf' 119.3 BргL J J [(к - pxJ - a2]2 0 где a2 = mV - (p2 - m2)x(l - x) + A2(l - x). A19.4) Замена переменной к —>• к + рт приводит подынтегральное выражение в A19.3) к виду, в котором его знаменатель зависит только от к2. При этом однако, согласно A31.17),A31.18), к ин- тегралу добавится аддитивная постоянная: о член с (jk) в числителе теперь опущен как обращающийся в нуль при интегрировании по направлениям 4-вектора к (ср. A31.8)). Регуляризация этого интеграла заключается в таких вычита- ниях, которые привели бы его к выражению вида A10.20). Пос- леднее обращается в нуль при умножении на волновую амплиту- ду и(р), если р — 4-импульс реального электрона. Не вводя и(р) явно, можно сформулировать это условие как требование обра- щения Л4(р) в нуль при замене (pip) -+ m, p2 -+ га2. A19.6) Форма интеграла A19.5) удобна при этом тем, что 4-вектор р входит в него только в виде jp и р2 (а члены вида кр отсутству- ют). Вычтя из A19.5) такое же выражение с заменой A19.6), по- лучим 1 dxi2m-hp)(l-x)]\ .(к2-а2J (к2-а2J О 1 Г л [ 1-х гтг2 ] — / d к / dx Нр — га) — —Нр — га) >, A19.7) J J (к2-а2J 4 J О § 119 ВЫЧИСЛЕНИЕ МАССОВОГО ОПЕРАТОРА 583 где al = т2х2 + А2A -х). Для окончательной регуляризации, однако, должно быть про- изведено еще одно вычитание: согласно A10.20) при замене A19.6) должно обратиться в нуль не только Л4(р) в целом, но и оно же без одного множителя jp — m. Соответствующим вычи- танием целиком отбрасываются второй и третий члены в фигур- ных скобках в A19.7) . Первый же интеграл предварительно преобразуем, введя еще одно вспомогательное интегрирование с помощью формулы A31.5), положив в ней п = 2 и понимая под а и b соответственно к2 — а2 и к2 — Oq. Тогда выражение A19.7) принимает вид 1 1 \ 16тгг — тп) е \2У 2/747 /л /л ilP + rn)\2m — (/ур)A — х)]хA — х) / d к dx dz^- ^ ^-^ ^ - J J J [Р - al + (р2 - ш2)хA - x)z]* о о (здесь использовано также тождество р2—т2 = Сразу же произведем интегрирование по с/4к. Предположив, что р2 — т2 < 0, и воспользовавшись A31.14), получим 1 1 ml \*?Т71 I Л/Т) l l 1 ПГ ]\ф( 1 ПГ I 2тг у у - Л2A - х) + (ш2 - р2)хA - x)z О О Теперь остается, опустив временно множитель (р/р — т), вычесть такой же интеграл с заменой A19.6); после простых приведений получим 2 Л4(р) = (jp — тJ— х 2тг 11 Г Р Р тA — х2) — GР + т){1 — хJ 1 — х dx dz *-^^г»ч- (ngi J J m2x + (m2 -p2)(l-x)z V 0 0 (в общем знаменателе опущен член с А2, так как это не приве- дет здесь к расходимости; в другом месте А2A — х) заменено на х) Тем самым мы в процессе «перенормировки на ходу» (см. с. 545) опуска- ем поправки к перенормировочной константе Z\ (см. § 110). Соответствую- щие интегралы логарифмически расходятся. Если ввести «параметр обре- зания» Л ^> т , р , ограничив область интегрирования по d к условием к2 ^ Л2, то эту поправку можно вычислить в явном виде. Вычисление при- водит к результату 4 4 584 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ А2, так как инфракрасной расходимости будет отвечать расходи- мость при х —>• 0). Интегрирование в A19.8) (сначала по z, затем по х) довольно длинно, но элементарно и приводит к следующему окончатель- ному результату: — р _ Р^4Р-41п\ 1пЦ Н 1 Н) B 1п 1пЦ тр 1.2A-р)\ Н 1-р Н) т A19.9) где обозначено т — р Р= 2 т2 (R. Karplus, N. М. Кг oil, 1950). Интеграл вычислен в предполо- жении р > 0, причем р ^> А/га. В соответствии с правилом обхода полюсов, при аналитическом продолжении выражения A19.9) в область р < 0 фаза логарифма определяется заменой га —>• га — — гО; при этом р —>• р — гО, так что lnp при р < 0 надо понимать как 1пр = 1п|р| -гтг, р<0. A19.10) Рассмотрим поведение массового оператора при р2 ^> т2. Имеем тогда —р ~ р2 /т2 > 1 ис логарифмической точностью М(р) = -[G-1(P)-G-1(p)] « ^GJ9)ln4- (П9.11) Как и в случае фотонного пропагатора (ср. формулы A13.15), A13.16) для поляризационного оператора), поправка к G~l ока- зывается малой только при не слишком большой энергии, именно при iLiniL«l. 4тг т2 В данном случае, однако, логарифмический рост в известном смысле фиктивен, он может быть устранен надлежащим выбо- ром калибровки, т. е. функции D^ в фотонном пропагаторе (Л. Д. Ландау, А. А. Абрикосов, И. М. Халатников, 1954). Имен- но, для этого надо положить (в обозначениях § 103) =0, A19.12) между тем как формула A19.9) получена в калибровке D^ =D. A19.13) Это свойство калибровки A19.12) делает ее особенно удобной для исследования характера теории при р2 ^> га2, что и будет использовано ниже, в § 132. § 119 ВЫЧИСЛЕНИЕ МАССОВОГО ОПЕРАТОРА 585 Для доказательства сделанного утверждения замечаем, что если мы интересуемся только членами ~ е2, то преобразование от калибровки A19.13) к калибровке A19.12) можно считать бес- конечно малым. Соответственно этому можно прямо воспользо- ваться формулой A05.14), положив в ней q2 а также заменив, с требуемой точностью, функции Q в подын- тегральном выражении на G. В интеграле по d^q будет суще- ственна область q ^> р; при этом G(p — q) в подынтегральном выражении много меньше G(pI и им можно пренебречь. Тогда = -G-2(P)SQ(P) = -ie2G-l{p) f именив пре 5G-\p) = -f 4тг Наконец, применив преобразование A13.11),A13.12), получим -\p) = fG-Hp) [^ « "f Mln^, J — Q 4тг р2 где Л — вспомогательный верхний предел, расходимость на кото- ром устраняется перенормировкой. Последняя состоит в вычи- тании того же выражения при р2 « т2, так что окончательно имеем 2 2 Это выражение как раз сокращается с разностью Q~l — G~l из A19.11). Наконец, остановимся на вопросе о причинах, приводящих к необходимости введения конечной «массы фотона» А при регу- ляризации интеграла A19.2), тесно связанной с его поведением при р2 —)> т2. Прежде всего отметим, что сам по себе этот интеграл с А = 0 конечен при р2 = т2 (для устранения несущественной в дан- ном аспекте расходимости на больших к полагаем при этом, что интеграл берется по большой, но конечной области /с-простран- ства). Необходимость же введения А возникает при вычитании перенормировочного интеграла, который без этого расходился бы при р2 = т2. Выясним поэтому, как вел бы себя при р2 —>• т2 нерегуляризованный массовый оператор. Поскольку же это по- ведение существенно зависит от выбора калибровки, рассмотрим общий случай произвольной калибровки (между тем как инте- грал A19.2) написан уже при определенном выборе—A19.13)). Воспользуемся снова преобразованием A05.14). Представив S^ в виде V) ^ J^% (Ц9.14) 586 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ будем считать, что 6а — вариация функции а(д2), существенно меняющейся лишь на интервалах q2 ~ т2 и конечной при q2 ~ « т2. В подынтегральном выражении в правой стороне A05.14) в разности Q(p) — Q(p — q) при малых q оба члена близки и ин- теграл сходится. Поскольку при малых q Sip-q) ~ ^^—, р2 _ mz _ 2pq G(p—q) можно опустить по сравнению с G(p) при q^>(p2—m2)/m. Интеграл же логарифмически расходится в области (р2 -т2)/т2 < q2 <m2. С логарифмической точностью имеем поэтому Q 4тг р2 — m2 Это равенство можно проинтегрировать. Заметив, что при а2 = е2 —>• 0 точный пропагатор ?/ должен совпадать с пропага- тором свободных частиц G, получим *С п\ A19.15) где ао = а(га2), С —некоторая постоянная. Для определения по- следней сравним выражение g~l(p) = (jp - га) [l + —(С - а0) 1пр\, A19.16) получающееся из A19.15) в первом приближении по а, с анало- гичным выражением, получающимся из интеграла A19.2) при А = 0 1): г и G~ (р) = (jp — га) 1 + — lnp . A19.17) L 7Г J Согласно определению A19.14) функция a(q2) совпадает с отно- шением D^/D. Поэтому калибровка A19.13), к которой относит- ся A19.17), отвечает а = ао = 1. Потребовав совпадения A19.16) и A19.17) при этом значении ао, получим G = 3. ) Чтобы получить A19.17), нет необходимости производить вычисления заново. Член ~ \пр в A19.9) как раз и получен в предположении р ^> Л, до- пускающем переход А —»¦ 0. Член же ~ In (А/т) возникает из=за вычитания перенормировочного интеграла и в исходном интеграле A19.2) отсутствует. Это вычитание не затрагивает, как легко видеть, членов ~ In p. § 120 ИСПУСКАНИЕ МЯГКИХ ФОТОНОВ С НЕНУЛЕВОЙ МАССОЙ 587 Таким образом, окончательно находим следующее предель- ное выражение (инфракрасную асимптотику) неперенормиро- ванного электронного пропагатора при р2 —>• т2: A19.18) (А. А. Абрикосов, 1955). Подчеркнем, что справедливость этой формулы связана лишь с неравенствами а <С 1, 11п/э| ^> 1, меж- ду тем как формулы теории возмущений требовали бы также и условия а|1п/9|/2тг <С 1. Отметим также, что знак разности р2 — т2 здесь не существен, так как мнимая часть выражения A19.18) все равно находилась бы за пределами его точности. Перенормированный пропагатор должен иметь при р2 = т2 простой полюс. Мы видим, что A19.18) удовлетворяет этому тре- бованию только в калибровке, в которой = 3D A19.19) (так что clq = 3). В этом случае регуляризация интеграла Фейн- мана (имеющая целью устранить его расходимость на верхних пределах) не будет требовать введения конечной «массы фото- на». В других же калибровках нулевая масса фотона приводит к возникновению при р2 = т2 точки ветвления вместо простого полюса, и устранение этого «дефекта» требует введения конеч- ного параметра А.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Вычисление массового оператора» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. Первый же интеграл предварительно 