Еще одна связь между фотонным пропагатором и вершинной частью, более простая, чем уравнение Дайсона, возникает как следствие калибровочной инвариантности. Для ее вывода совершим калибровочное преобразование A02.8), предполагая х(х) = $х(х) бесконечно малой простой (неоператорной) функцией 4-координат х. Тогда электронный пропагатор изменится на величину Sg(x, х1) = ieQ{x - x')[Sx(x) - SX(x')}. A08.1) Подчеркнем, что калибровочное преобразование такого вида на- рушает пространственно-временную однородность и функция 5Q зависит уже от аргументов ж и ж7 по отдельности, а не только от разности х — х'. Ее разложение Фурье происходит поэтому по пе- ременным ж и ж7 в отдельности. Другими словами, в импульсном представлении 5Q является функцией двух 4-импульсов: Pl) = ItSG(x, x')eip2X-ipiX'dAxdAxf Подставив сюда A08.1) и произведя интегрирование по или d^^d^x1 (? = х — ж7), получим SG(p + q,p)= ieSX(q)[G(p) ~ Q(p + <?)]• (Ю8.2) С другой стороны, при том же калибровочном преобразова- нии к оператору А^(х) добавляется функция которую можно рассматривать как бесконечно малое внешнее поле. В импульсном представлении: SA^(q) = iq^Sxiq)- A08.4) Величину Sg можно вычислить и как изменение пропагатора под влиянием этого поля. С точностью до величин первого порядка по дх это изменение изобразится, очевидно, одной скелетной диа- граммой: p+q Здесь жирная штриховая линия — эффективная линия внешнего поля, т. е. ей сопоставляется множитель (см. A03.15)) 534 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ ГЛ. XI Но 4-вектор SA^'(q) продолен (по отношению кд),а тензор VXl/ поперечен. Поэтому второй член здесь обращается в нуль, так что остается i« I A08.5) i$G(p + q,p) = < f < p+q p где тонкой штриховой линии сопоставляется обычным образом просто поле 6А^е\ В аналитической форме: 8Q = eG(p + </)Г"(р + q, p; q)G{p) ¦ 6А&. A08.6) Подставив сюда A08.4) и сравнив с A08.2), находим соотно- шение 0(р + q)~ 0(р) = -0(Р + Я)ГЦ(Р + q, P] q)G(p) • q» или для обратных матриц \ l q, p; q) A08.7) (Я. S. Green, 1953). Устремив в этом равенстве q —> 0 и сравнив коэффициенты при бесконечно малом q^ в обеих его сторонах, получим ^-1(р)=Г"(р,р;0) A08.8) Это — так называемое тождество Уорда (J. С. Ward, 1950). Мы видим, что производная по импульсу от Q~1(p) совпадает с вер- шинным оператором при нулевой передаче импульса . Произ- водная же от самой функции Q(p) iG{p) *д^[*Г"(р р; 0)]ig(p) A08.9) Аналогичным образом можно было бы найти также и выс- шие производные, проводя вычисления с точностью до членов более высоких порядков по 5\- Нам такие формулы, однако, не понадобятся. Рассмотрим теперь производную dV{k)/dkll от поляризаци- онного оператора. В отличие от функции Q(p) величина V(k) калибровочно-инвариантна и не меняется при введении фиктив- ного внешнего поля A08.4). Поэтому производную от V нельзя вычислить тем же способом. Однако и для нее можно получить определенное диаграммное выражение. :)В нулевом приближении, т. е. для пропагатора свободных частиц, это тождество очевидно: G~1(p) = jp — m, и потому dG~1 /др^ = 7м- 108 ТОЖДЕСТВО УОРДА 535 Для этого рассмотрим первую из диаграмм, входящих в опре- деление V, —диаграмму второго порядка 4тг — и < р + к «о A08.10) Сплошным линиям в ней отвечают множители iG(p) и iG(p + к). Дифференцирование по к заменит второй из них на dG(p + k)/dk, а согласно тождеству A08.9) такая замена эквива- лентна добавлению лишней вершины на электронной линии: ie дУ 4тг дк A08.11) Мы видим, что в первом неисчезающем порядке искомая про- изводная выразилась через диаграмму с тремя фотонными кон- цами («фотонная треххвостка»). Сразу же подчеркнем, что эта диаграмма сама по себе отнюдь не дает амплитуду превращения одного фотона в два. Амплитуда такого процесса выразилась бы суммой диаграммы A08.11) и другой такой же диаграммы с из- мененным направлением обхода петли; согласно теореме Фар- ри эта сумма обращается и нуль. Сама же по себе диаграмма A08.11) не равна нулю. Подобным образом можно дифференцировать и более слож- ные диаграммы, последовательно добавляя вершины с к' = 0 на все электронные линии, зависящие от к. Существуют, однако, диаграммы, в которых зависимость от к имеется и во внутренних фотонных линиях, например диаграмма слева на рисунке Производная от графика в фигурной скобке представлена здесь в диаграммном виде путем введения нового графического обозна- чения — фиктивной трехчастичной фотонной вершины — точки, 536 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ ГЛ. XI в которой сходятся три штриховых линии и которой сопоставля- ется величина 1 4ni^— = 2ikll = ty A08.12) (У К^ Теперь можно дифференцировать любой график, добавляя на зависящие от к линии вершины v^ или j^ и вычисляя далее по где ieV^xjy сумма внутренних частей всех полученных указанным способом «фотонных треххвосток». Для дальнейшего нам понадобится еще и вторая производная поляризационного оператора. Аналогичным образом дифферен- цируя еще раз равенство A08.13), имеем где ie2Q — сумма внутренних частей всех «фотонных четырех- хвосток» вида Ч ie?G a A08.15) к-к хк (разумеется, с включением и графиков с фиктивными трехфо- тонными вершинами A08.12)).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Тождество Уорда» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. Произ- 