Как известно, в классической электродинамике система вза- имодействующих частиц может быть описана с помощью функ- ции Лагранжа, зависящей лишь от координат и скоростей са- мих частиц и правильной с точностью до членов ~ 1/с (см. II, § 65). Это обстоятельство связано с тем, что излучение появля- ется лишь как эффект порядка 1/с2. В квантовой теории этой ситуации соответствует возмож- ность описания системы уравнением Шредингера, учитывающим члены второго порядка. Для электрона, движущегося во внеш- нем электромагнитном поле, такое уравнение было установлено в § 33. Теперь мы займемся выводом аналогичного уравнения, описывающего систему взаимодействующих частиц. Будем исходить из релятивистского выражения для ампли- туды рассеяния двух частиц. В нерелятивистском приближении она переходит в обычную борновскую амплитуду, пропорцио- нальную компоненте Фурье потенциала электростатического вза- имодействия двух зарядов. Вычислив же амплитуду с точностью до членов второго порядка, мы сможем установить вид соответ- ствующего ей потенциала, учитывающего члены ~ 1/с2. Предположим сначала, что две частицы — различные, с мас- сами mi и т2 (скажем, электрон и мюон). Тогда рассеяние 382 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ изображается одной диаграммой Р2 Ей соответствует амплитуда Mfi = e2(uf1^u1)Dfll/(q)(uf2Yu2), q = р[ - pi = Р2 ~ Р2 (83.1) (здесь предположено, что заряды частиц одного знака; в против- ном случае е2 заменяется на — е2). Дальнейшие вычисления заметно упрощаются, если фотон- ный пропагатор D^ выбрать не в обычной, а в кулоновой кали- бровке G6.12),G6.13) *): Аю = -^, Aw = 0, Dik = - ^ q2 q2 — и1 /с1 — гО Тогда амплитуда рассеяния Mfi = е2{(^7Ч)D7%)Аю + Kt^i)Dt^2)A4- (83-3) В пренебреж:ении всеми членами, содержащими 1/с, второй член в фигурных скобках выпадает вовсе, а первый дает Mfi = — 2mi • 2m2(w^f:[w[ ^(w^'^w^ )f7(q), (83.4) где 2 [/(q) = ^-, (83.5) а через w\, w®, ••• обозначены введенные в § 23 спинорные (двухкомпонентные) амплитуды нерелятивистских плоских волн. Функция U(q) представляет собой компоненту Фурье потен- циальной энергии кулонового взаимодействия: U® = е2/г. В следующем (по 1/с) приближении «шредингеровская» вол- новая функция свободной частицы сршр (нормированная по ин- тегралу J |^Шр|2^3ж) удовлетворяет уравнению = (е- mtfW Я<°> = ^ - -g_, p = -iV, (83.6) в котором учтен следующий член разложения релятивистского выражения для кинетической энергии. Амплитуду (спинорную) 1) В этом параграфе мы выписываем во всех промежуточных формулах множители с, а в окончательных формулах также и h. § 83 УРАВНЕНИЕ БРЕЙТА 383 такой плоской волны обозначим через w (при 1/с —>• О она пере- ходит в w^). Именно через эти амплитуды и должна быть выра- жена искомая амплитуда рассеяния для того, чтобы по ее виду можно было определить «шредингеровский» потенциал взаимо- действия частиц в рассматриваемом приближении. В соответствии с формулой C3.11) биспинорная амплитуда свободной частицы и выражается через «шредингеровскую» ам- плитуду w — с требуемой здесь точностью — в виде (83.7) w 2тс С помощью этой формулы находим = 2mi (l - Smfc2 2mic2 [ 8mfc2 = -w'l{i[aq] + 2pi + q}^i с (где q = Pi — Pi = P2 — P^)- Аналогичные выражения для (г^270г^2) и (^27^2) отличаются заменой индексов 1 на 2 и со- ответственно заменой q на —q. Подставим эти выражения в (83.3). Поскольку произведение (^7^1)(^27^2) уже содержит множитель 1/с2, то в D^ можно пренебречь членом со2/с2 в знаменателе. В результате получим амплитуду рассеяния в виде Mfi = -2mi • 2m2(wflwf*2U(рь р2, q)wiw2), (83.8) где b P2, Q) = г<п[др2] _ г(Т2[др2] (индексы 1, 2 у матриц Паули указывают, на чьи спинорные ин- дексы они действуют: <j\ действует на^, а а2 на w2). 384 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ ГЛ. IX Функция f7(pi, р2, q) есть оператор взаимодействия частиц в импульсном представлении. Он связан с оператором C/(pl5 р2, г) в координатном представлении формулой Г = BттK?(Р1 + р2 - pi - р/2)[/(Рь Р2, q). (83.10) Если оператор U представляет собой просто функцию U® (r = = ri — г2), то f7(pi, p2, q) не зависит от pi, p2 и формула (83.10) сводится к обычному определению компоненты Фурье: Отсюда ясно, что для нахождения f7(pi, p2, г) надо вычислить интеграл -> Р2, С и затем заменить pi, р2 операторами pi = —iVi, p2 = — iV2, расположив их правее всех других множителей. Нужные интегралы вычисляются дифференцированием фор- мулы -. (83.11) q2 Bтг) Так, взятием градиента находим J q2 BттK Далее (a, b — постоянные векторы) J 4тг(ад)(Ьд) jgr А = 1 4 = 1 &_^_ е (Ъ_ BтгK 2 V dv) J \ дЧ) q2B7rK' получившийся интеграл после интегрирования по частям сводит- ся к (83.12) и дает Г 4^(aq)(bq)e,qr^ = 1 (aV)br = !_ Гь _ (аг)(ЬгI 7 q4 BтгK 2V У г 2r L r2 J Наконец, J 4тг(ад)(Ьд) iqr^g_ = _(aV)(bV)i. q2 Bтг)з V Д 'г § 83 УРАВНЕНИЕ БРЕЙТА 385 При раскрытии производных надо иметь в виду, что это выраже- ние содержит в себе E-функцию 5(г). Для ее выделения замечаем, что после усреднения по направлениям г: -(aV)(bV)i = -i(ab)Ai = Ц (ab)<5®. г 3 г 3 Раскрывая теперь производные обычным образом, находим eqrJgg_ = 1_ Г _ 3ИМ) + ±[(аЬ)(У(г) q2 BтгK г3 I г2 / 3 V } V У (83.14) (при усреднении по направлениям г первый член обращается в нуль и остается лишь член с E-функцией). С помощью этих формул получим следующее окончательное выражение для оператора взаимодействия частиц: J е2 Г^ ^ i r(rPi)P2l e2h г ^ 1 . е2/г ^ Г P1P2+ 2 -. 2 2 3Гр1СГ1+ 2mim2C2r L г2 J 4mfc2r3 4mirri2C2 I r3 г5 3 Полный гамильтониан системы двух частиц в этом прибли- жении где i7^0^ — гамильтонианы свободных частиц из (83.6).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Уравнение Брейта» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
