В этой области атомные элек- троны можно считать нерелятивистскими как в начальном, так и в конечном состояниях атома. Амплитуда процесса дается вы- ражением f (q), (82.2) § 82 ИОНИЗАЦИОННЫЕ ПОТЕРИ БЫСТРЫХ ЧАСТИЦ 375 где JnQ — 4-ток перехода атома из начального состояния @) в конечное (n), Jprp — 4-ток перехода быстрой частицы; эти то- ки заменяют здесь собой выражения (u'ju), которые стояли бы, например, в амплитуде рассеяния двух «элементарных» частиц — электрона и мюона G3.17) (ср. также A39.3)). Токи перехо- да берутся в импульсном представлении (см. D3.11)). Сечение процесса в лабораторной системе отсчета: dan = 2n5(e — e' — lfi 2 2|p|2s'B^K (82.3) где o;no = &n — bo — частота перехода между состояниями атома. Конечное состояния может относиться как к дискретному, так и к непрерывному спектру; первый случай отвечает возбуждению, а второй — ионизации атома. В законе сохранения энергии (учи- тываемом E-функцией в (82.3)) пренебрежено энергией отдачи атома, что заведомо допустимо при малых передачах импульса. Фотонный пропагатор удобно выбрать в данном случае в ка- либровке G6.14), в которой отличны от нуля лишь его простран- ственные компоненты: 7~). (ri\ [ А. Ч.^Ч.к j iоо л\ uj2 — q2 V cj2 / Тогда и для 4-токов перехода в (82.2) нужны только их простран- ственные компоненты. Атомный ток перехода Jno(q) B данном случае есть компо- нента Фурье обычного нерелятивистского выражения: Jno(q) = — / e~zqr(/0oV'0* — фпV^o)^ x^ (82.5) где ^о, фп — атомные волновые функции (причем для упроще- ния записи мы опускаем здесь и ниже знак суммирования по электронам атома, т. е. пишем формулу так, как если бы в ато- ме был всего один электрон). Проинтегрировав в первом члене по частям, можно переписать это выражение в виде матричного элемента: Jno(q) = \(^е-щг + e-zqrv)n(b (82.6) где v = — — V — оператор скорости электрона. m Что касается тока перехода рассеиваемой частицы, то ввиду относительной малости теряемого ею импульса (|q| <^ |р|) можно заменить его просто диагональным элементом Jpp@) = 2pz, (82.7) отвечающим классическому прямолинейному движению (ср. ни- же (99.5)); здесь введен также множитель z, учитывающий воз- можное отличие заряда частицы (ze) от заряда электрона. 376 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ ГЛ. IX Малость q означает также и малость угла отклонения части- цы $. При этом продольная и поперечная (по отношению к р) компоненты q равны -?ц « ? соп0 = ^, g±«|p|t9, (82.8) так что qp « — ?о;по- Подстановка ((82.4)-(82.8)) в (82.2) дает с учетом того, что си = сипо'. В первом члене замечаем, что qv/ + /qv = 2г/, где / = e~zqr (см. III, § 149); поэтому матричный элемент этого оператора совпадает с матричным элементом 2г(/)по = 2о;по/п0- Во втором же члене достаточно заменить, ввиду малости q, е~щг единицей. Тогда М-(га) _ 8тгге f^^-iqr\ • /г — ~ ^~{8Уе JnO-фЗ Квадрат модуля этого выражения: + (prn0Ju4} (82.9) (во втором члене здесь положено е~щг « 1 — iqr; в первом члене этого нельзя сделать по причине, которая выяснится ниже, — см. примеч. на с. 378). Потери энергии быстрой частицей в результате ее неупругих столкновений с атомами определяются величиной do', (82.10) П ** П где суммирование производится по всем возможным конечным состояниям атома, а интегрирование — по направлениям рас- сеянной частицы; будем называть эту величину эффективным торможением (отношение н/е называют сечением потери энер- гии). х) Эти потери часто называют ионизационными, хотя они связаны не толь- ко с ионизацией, но и с возбуждением атомов. 82 ИОНИЗАЦИОННЫЕ ПОТЕРИ БЫСТРЫХ ЧАСТИЦ 377 Интегрирование в (82.10) можно произвести в два этапа: как усреднение по азимуту направления р7 относительно р и затем интегрирование по do' « 2nbdf&, где # — малый угол отклонения. Первая операция заменяет qrno на qrn0 — V где хпо — матричный элемент одной из декартовых координат атомных электронов . Интегрирование же по $ можно заме- нить интегрированием по д2, заметив, что 9 9 9 9 UJ n -g2 = -<0 + q2 « -<0 + -^ ^2 _ uj0M ^2 P2 (82.11) и потому 2'dd'd = с%2|/р2 (M — масса быстрой частицы). В ре- зультате получим /{I, —zqr\ M2 Нижний предел интегрирования по q2: 2: (82.12) (82.13) В качестве же верхнего предела выберем некоторое значение такое, что (82.14) т. е. лежащее в области перекрытия областей I и II (см. (82.1)). Интегрирование и суммирование в (82.12) осуществляется по- добно тому, как это было сделано в т. III, § 149 для нерелятивист- ского случая. Весь интервал интегрирования разделим еще на две части: а) от |g2|min до |д2|о и б) от |д2|о до |g2|i, где значение |д2|о такое, что (82.15) (величина та — порядка величины импульсов атомных электро- нов). В области а) можно разложить е~щг « 1 —iqr, и вклад этой 1) Безразлично какой: после подразумевающегося ниже суммирования по направлениям момента атома в конечном состоянии матричный элемент хпо уже не зависит от направления оси х. 378 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ области в ус принимает вид |<72|min 4тг(ге (Интегрирование во втором члене можно распространить до бес- конечности.) Суммирование осуществляется с помощью формулы 2т (82.16) где Z — число электронов в атоме (см. III, A49.10)). Результат представим в виде где / — некоторая средняя атомная энергия, определяемая фор- мулой 1 г 1п/= 2?тг (82.18) В области же б) имеем, согласно (82.11), |д2| « р2т92, т. е. |д2| не зависит от номера п конечного состояния атома; не зависят от п также и пределы интегрирования. Поэтому суммирование по п в (82.12) можно произвести под знаком интеграла. В первом члене оно осуществляется формулой 2т1 (82.19) (см. III, A49.5)), и интеграл от него равен 27rZ(ze2J 1п\д2\^ Интеграл же от второго члена в (82.12) по этой области дает пренебрежимый вклад в к. 1) Логарифмическая расходимость интеграла на верхнем пределе есть как раз та причина, по которой в первом члене в (82.12) нельзя было разлагать по степеням q. § 82 ИОНИЗАЦИОННЫЕ ПОТЕРИ БЫСТРЫХ ЧАСТИЦ 379 Складывая последнюю формулу с (82.17), находим вклад в ус от всей области малых передач импульса: 2nZ(zey rinkW_^2l (g220)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Малые передачи импульса» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
определяются величиной 