До сих пор нам приходилось (в § 43, 74) использовать явный вид операторов электромагнитного поля А при нахождении ма- тричных элементов лишь по отношению к изменению числа ре- альных фотонов. Для этой цели было достаточным написанное в § 2 представление потенциалов свободного поля в виде разло- жения по поперечным плоским волнам. Такое представление, однако, не дает само по себе полного описания произвольного поля. Это ясно уже из того, что диа- граммы рассеяния G3.13), G3.14) должны учитывать и кулоново взаимодействие электронов. Последнее описывается скалярным потенциалом Ф и заведомо не может быть сведено к обмену лишь поперечными виртуальными фотонами (описываемыми вектор- ным потенциалом, подчиненным условию div A = 0) х) . Таким образом, мы по существу не имеем еще полного опре- деления операторов А, без чего невозможно прямое вычисление фотонного пропагатора согласно формуле D^(x - х1) = 1@\ТА»(х)А„(х')\0). G6.1) С другой стороны, калибровочная неоднозначность потенциалов в значительной степени лишает физического смысла те операто- 1)При условии div A = 0 уравнения Максвелла приводят к следующим уравнениям для АиФ: <9Ф ПА = -4ttj + V —, АФ = -4тгр. dt В этой калибровке Ф удовлетворяет статическому уравнению Пуассона (ср. с формулой G6.13) для Doo в этой же калибровке). § 76 ФОТОННЫЙ ПРОПАГАТОР 341 ры, которые пришлось бы вводить для исчерпывающего кванто- вания электромагнитного поля. Эти затруднения, однако, имеют лишь формальный, а не фи- зический характер, и их можно обойти, использовав некоторые общие свойства пропагатора, очевидные из требований реляти- вистской и калибровочной инвариантности. Наиболее общий вид 4-тензора второго ранга, зависящего только от 4-вектора ? = х — х', есть ада=g^D(e) - д^а^не), G6.2) где D, D^ —скалярные функции инварианта ?2 . Отметим, что тензор автоматически оказывается симметричным. Соответственно в импульсном представлении будем иметь , G6.3) где D(k2), D® (к2) —компоненты Фурье функций ?>(?2), D^(^2). В физические величины — амплитуды рассеяния — фотонная функция распространения входит умноженной на токи перехо- дов двух электронов, т. е. в комбинациях вида j^iD^j^ (см., например, G3.13)). Но в силу сохранения тока (d^j^1 = 0) его матричные элементы j2i — Ф21Ф1 удовлетворяют условию 4-по- перечности МЛ21 = 0, G6.4) где к = р2 — pi (ср. D3.13)). Ясно поэтому, что никакие физиче- ские результаты не изменятся при замене D^y -> D^y + Хц.К + Xi/^, G6.5) где Xfi ~ любые функции к и ко. Этот произвол в выборе D^ соответствует произволу в калибровке потенциалов поля. Произвольное калибровочное преобразование G6.5) может нарушить релятивистски инвариантный вид D^, предположен- ный в G6.3) (если величины Хц не составляют 4-вектора). Но и оставаясь в рамках релятивистски инвариантных форм пропа- гатора, мы видим, что выбор функции D^\k2) в G6.3) вполне произволен; он не отразится на физических результатах и мо- жет устанавливаться из соображений удобства [Л. Д. Ландау, А. А. Абрикосов, И. М. Халатников, 1954). Нахождение функции распространения сводится, таким об- разом, к определению всего одной калибровочно-инвариантной 1) Эти функции различны в трех областях значений аргумента, не пере- ходящих друг в друга при преобразованиях Лоренца: вне светового конуса (^2 < 0), в верхней (^2 > 0, (о > 0) и в нижней (^2 > 0, ^о < 0) полостях светового конуса. 342 ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ГЛ. VIII функции D(k2). Если рассмотреть заданное значение к2 и вы- брать ось z вдоль направления к, то преобразования G6.5) не будут затрагивать компоненты Dxx = Dyy = —D(k2). Достаточ- но поэтому вычислить всего одну компоненту DXX1 пользуясь при этом любой калибровкой потенциалов. Воспользуемся калибровкой, в которой div A = 0 и оператор А дается разложением B.17), B.18): А = V \[^(скае^е-гкх + с?,е(а>V**), и = |к| G6.6) (индекс а = 1, 2 нумерует поляризации). Из всех средних по ва- кууму значений произведений операторов с, с4" отличны от нуля лишь (O|ckac+JO) = 1. По определению G6.1) получим поэтому ) *C G6.7) (г, к — трехмерные векторные индексы; от суммирования по к мы перешли к интегрированию по с13к/BтгK). Тот факт, что в показателе экспоненты стоит абсолютное значение разности т = = t — ?', есть следствие хронологизации произведения операторов в G6.1). Из G6.7) видно, что подынтегральное выражение без множи- теля егк? есть компонента трехмерного разложения Фурье функ- ции Dih(r,t). Для Dxx = —D она равна Для нахождения Dxx(k2) осталось разложить эту функцию в ин- теграл Фурье по времени. Это разложение дается формулой оо = _J. [ 2тг J е [ и 2тг J kl - к2 + гО — оо Как было объяснено в предыдущем параграфе, такое интегри- рование подразумевает обход полюсов ко = ±|к| = =Ьо; соответ- ственно снизу и сверху; при т > 0 интеграл определяется выче- том в полюсе ко = +о;, а при т < 0 —вычетом в полюсе ко = —ио. Таким образом, находим окончательно D(k2) = _JZ!_. G6.8) § 76 ФОТОННЫЙ ПРОПАГАТОР 343 Появление -\-гО в знаменателе, к которому в изложенном выво- де мы пришли автоматически, совпадает с правилом G5.15): из (равной нулю) массы фотона вычитается гО. Из G6.8) видно, что соответствующая координатная функция D{^2) удовлетво- ряет уравнению -d^D{x - х1) = 4тт5^(х - х1), G6.9) т. е. является функцией Грина волнового уравнения. Мы будем обычно полагать D^ = 0, т. е. пользоваться функ- цией распространения в виде ^ G6.10) {калибровка Фейнмана). Укажем также другие способы калибровки, которые могут представить определенные преимущества в некоторых примене- ниях. Положив D^ = — D/k2, получим пропагатор в виде Dp, = | (glu, - Щ G6.11) {калибровка Ландау). При этом D^k" = 0. Такой выбор анало- гичен лоренцевой калибровке потенциалов {А^к^ = 0). Калибровке потенциалов трехмерным условием divA = 0 аналогична калибровка пропагатора условиями Duk1 = 0, Dotk1 = 0. Вместе с равенством Dxx = — D = —Атг/к2 эти условия дают G6.12) Для того чтобы получить такое D^, надо произвести над пропа- гатором G6.10) преобразование G6.5), положив 47га; 47rfe Х° ~ ~2(oj2-k2)k2' Х% ~ 2(cj2-k2)k2' При этом для остальных компонент D^ получается 2 А)г = 0. G6.13) Такую калибровку называют кулоновой {Е. Salpeter, 1952); от- метим, что Dqq здесь — компонента Фурье кулонова потенциала. Наконец, калибровке потенциалов условием Ф = 0 аналогич- на калибровка пропагатора, в которой A)i = AH = 0. G6.14) 344 ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ГЛ. VIII Эта форма оказывается удобной для применения в нерелятивист- ских задачах (И. Е. Дзялошинский, Л. П. Питаевский, 1959). Все выписанные выражения относятся к импульсному пред- ставлению пропагатора. В некоторых случаях удобно пользо- ваться смешанным частотно-координатным представлением, т. е. функцией ^ G6.15) В фейнмановской калибровке G6.10) где оо тл( \ л f eikr dsk i [ eikr - e~ikr j -и Diuo.r) = 4тг / = —— / kdk, V ' J J uo2 - k2 + гО BттK тгг J uo2 - k2 + гО 0 или, после замены k —)> — к во втором слагаемом подынтеграль- ного выражения: (X) п/ ч if eikrkdk irr J uj2 - к2 + гО — oo Последнее интегрирование производится путем замыкания кон- тура интегрирования бесконечно удаленной полуокружностью в верхней полуплоскости комплексной переменной к и сводится к взятию вычета в полюсе к = |о;| + гО. Окончательно получим V. G6.16) В связи с этим выражением сделаем следующее замечание. Описываемый диаграммами G3.13), G3.14) процесс можно рас- сматривать наглядно как рассеяние электрона 2 в поле, созда- ваемом электроном 1 (или наоборот). Функция G6.16) соответ- ствует обычному «запаздывающему» потенциалу ос егиг (см. II, F4.1), F4.2)) только при ио > 0. Знак о;, однако, зависит от услов- ного выбора направления стрелки к на диаграмме. Отмеченное свойство функции D(o;,r) означает, что в квантовой электроди- намике следует считать источником поля ту из частиц, которая отдает энергию, т. е. испускает виртуальный фотон. В заключение остановимся на вопросе о пропагаторе частиц со спином 1, но с отличной от нуля массой. В этом случае кали- бровочный произвол отсутствует и выбор пропагатора однозна- чен. Подставив ^-операторы A4.16) в определение GV = -1@\Тф»(х)ф+(х')\0), G6.17) § 77 ОБЩИЕ ПРАВИЛА ДИАГРАММНОЙ ТЕХНИКИ 345 получим выражение, отличающееся от G6.7) лишь заменой стоя- щей в подынтегральном выражении суммы по поляризациям на Суммирование по поляризациям эквивалентно усреднению с по- следующим умножением на 3 — число независимых поляризаций. Усреднение дает матрицу плотности неполяризованных частиц A4.15). Таким образом, в результате найдем следующее выра- жение для пропагатора векторных частиц: G^{P) = - 2 * (g^ - ^f) ¦ G6.18) р2 — т2 + гО \ т2 / Обратим внимание на аналогичную структуру пропагаторов G5.17) и G6.18): в знаменателе стоит разность р2 — т2, а числи- тель есть, с точностью до множителя, матрица плотности непо- ляризованных частиц с данным спином.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Фотонный пропагатор» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. Отметим, 