Рассмотрим другой эффект второго порядка — рассеяние фо- тона на электроне {эффект Комптона). Пусть в начальном сос- тоянии фотон и электрон имеют 4-импульсы к\ и р\, а в конеч- ном &2 и р2 (а также определенные поляризации, которые для краткости не указываем). Фотонный матричный элемент х)Аи(х')с+\0), G4.1) к Свертывая внешние и внутренние операторы, получаем G4.1) = ъА» А'„4 +с2 \A'pcf = А*2/1А'1р + А^А'1 G4.2) (при этом учтена коммутативность операторов ci, с^; по этой же причине знак Т в данном случае может быть опущен). Электрон- ный матричный элемент ' 'Ф>Ц0). G4.3) § 74 ДИАГРАММЫ ФЕЙНМАНА ДЛЯ РАССЕЯНИЯ ФОТОНА 333 В нем фигурируют четыре ^-оператора. Только два из них бу- дут заняты уничтожением электрона 1 и рождением электрона 2, т. е. будут свернуты с операторами а^ и Ъ>2- Это могут быть опе- раторы ф1, ф или ф1, ф (но не ф, ф или ф1, ф'\ рождение и уничто- жение в одной и той же точке х или х1 двух реальных электро- нов вместе с одним реальным фотоном приводит к равному нулю выражению). Произведя свертывание двумя способами, получим в матричном элементе G4.3) два члена; выпишем их сначала в предположении t > tf: G4.3) = а^ф^ф)^ -ffW+^jih" ФШ/Ф')^ ¦ G4.4) В первом члене свертываются операторы ъ^ ф'а^ —>> Поскольку операторы a^a^ и aia^ диагональны и стоят на краях произведения, они заменяются их средним по вакууму значени- ем, т. е. единицей. Для аналогичного преобразования второго члена в G4.4) надо сперва «протащить» оператор а^ налево, а ai направо. Это осуществляется с помощью правил коммутации операторов ар, а+, в силу которых {ар,ф}+ = фр, {а+,ф}+ = фр. В результате выражение G4.4) преобразуется к виду (OK^'VXlWi) - ^ГФгКФ^Ф'М, t > t1 G4.6) (разумеется, усреднению подвергаются лишь операторные мно- жители). Аналогичным образом при t < tf получим выражение, отличающееся перестановкой штриха и индексов /i, v. @|-(?7Vi)(?27^) + (?27V)(?7V)|0), t<t'. G4.7) Оба выражения мож:но записать в едином виде, введя хроно- логическое произведение ^-операторов согласно определению )> г'<^ G4.8) (г, к — биспинорные индексы). Тогда первые и вторые члены в G4.6), G4.7) можно записать единым образом: ?27^@|Т^ • фГ\О)^Ф[ + ф^^^Тф' • Ф\О)^ф1 G4.9) (ф • ф обозначает матрицу фгф^). 334 ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ГЛ. VIII Обратим внимание на то, что в естественно возникшем опре- делении G4.8) произведения операторов при t < tf и t > tf бе- рутся с различными знаками. Этим оно отличается от определе- ния Т-произведения, которым мы пользовались для операторов А и j. Происхождение этого различия связано с тем, что ферми- онные операторы ф, ф антикоммутируют вне светового конуса (в отличие от коммутирующих бозонных операторов А, а также билинейных операторов j = ф^ф) . Тем самым обеспечивается релятивистская инвариантность определения G4.8) (формальное доказательство правил коммутации ^-операторов будет дано в § 75) 2). Введем электронную функцию распространения (или элек- тронный пропагатор) — биспинор второго ранга Gik(x-x') —со- гласно определению Gik(x - х1) = -ф\Тфг(х)фк(х')\0). G4.10) Тогда электронный матричный элемент запишется в виде {2\Tf(x)f(x')\l) = гф^О^Ф'г + гф^О^фг. G4.11) После умножения на фотонный матричный элемент G4.1) и интегрирования по d^xd^x1 оба члена в G4.11) дают одинаковый результат, так что получается Sfi = -ie2 ГГсРх = -ie2 ГГсР х {A^(x)Aliy(xf) + AUxf)Alfl(x)}. G4.12) Подставив для электронных и фотонных волновых функций плоские волны F4.8), F4.9) и выделив E-функцию, как это было сделано для G3.10), получим окончательно амплитуду рассеяния Mfi = -47re2U2{(^)G(Pl + fci)Gei) + Gei)G(pi - к2)(^2)}иъ G4.13) ) Напомним, что сами по себе ^-операторы не отвечают каким-либо изме- римым физическим величинам и потому не обязаны быть коммутативными вне светового конуса. ) Аналогично можно определить Т-произведение любого числа ^-операто- ров. Оно равно произведению всех этих операторов, расположенных справа налево в порядке возрастания времени, причем знак определяется четно- стью перестановки, которую нужно произвести, чтобы получить этот по- рядок из порядка, указанного под знаком Т-произведения. Соответственно этому определению знак Т-произведения меняется при перестановке любых двух ^-операторов, например: § 75 ЭЛЕКТРОННЫЙ ПРОПАГАТОР 335 где ei, e2 — 4-векторы поляризации фотонов, G(p) —электрон- ный пропагатор в импульсном представлении. Два члена в этом выражении представляются следующими диаграммами Фейнмана: G4.14) /' = pi - k2 Штриховые свободные концы диаграмм отвечают реальным фотонам; входящим линиям (начальный фотон) сопоставляет- ся множитель л/4тге, а выходящим линиям (конечный фотон) — множитель у4тге*, где е — 4-вектор поляризации. В первой диаг- рамме начальный фотон поглощается вместе с начальным элект- роном, а конечный испускается вместе с конечным электроном. Во второй диаграмме испускание конечного фотона происходит вместе с уничтожением начального электрона, а поглощение на- чального фотона — с рождением конечного электрона. Внутренняя сплошная линия (соединяющая обе вершины) от- вечает виртуальному электрону, 4-импульс которого определяет- ся сохранением 4-импульса в вершинах. Этой линии сопоставля- ется множитель iG(f). В отличие от 4-импульса реальной час- тицы квадрат 4-импульса виртуального электрона не равен т . Рассматривая инвариант /2, например, в системе покоя электро- на, легко найти, что 2 = (pi-k2J<m2. G4.15)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Диаграммы Фейнмана для рассеяния фотона» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. Тем самым обеспечивается 