В спиральных амплитудах используется определенная систе- ма отсчета — система центра инерции. Между тем при вычисле- нии амплитуд рассеяния с помощью инвариантной теории воз- мущений (а также для исследования их общих аналитических свойств) удобно записывать амплитуды в явно инвариантной форме. Если частицы, участвующие в реакции, не имеют спина, то амплитуда рассеяния зависит только от инвариантных произве- дений 4-импульсов частиц. Для реакции вида a + b^c + d G0.1) в качестве этих инвариантов можно выбрать какие-либо две из определенных в § 66 величин «s, ?, и. Тогда амплитуда рассеяния СВОДИТСЯ К ОДНОЙ фуНКЦИИ Mfi = f(s,t). Если же частицы обладают спинами, то, помимо кинемати- ческих инвариантов «s, ?, и, существуют также инварианты, кото- рые можно составить из волновых амплитуд частиц (биспиноров, 4-тензоров и т. п.). Амплитуды рассеяния должны тогда иметь вид Y G0.2) где Fn —инварианты, линейно зависящие от волновых амплитуд всех участвующих частиц (а также от их 4-импульсов). Коэффи- циенты /n(s,?) называют инвариантными амплитудами. Выбрав волновые амплитуды так, чтобы они отвечали части- цам с определенными спиральностями, мы получим определен- ные значения инвариантов Fn = Fn(\i,\f). Тогда спиральные амплитуды рассеяния представятся в виде линейных однород- ных комбинаций инвариантных амплитуд fn. Отсюда видно, что число независимых функций fn(s,t) совпадает с числом незави- симых спиральных амплитуд. Поскольку число последних опре- деляется легко (как было объяснено в § 69), тем самым облег- чается задача построения инвариантов Fni — мы заранее знаем, сколько их должно быть. Рассмотрим некоторые примеры. Во всех примерах будем считать, что взаимодействие Т- и Р-инвариантно; последнее § 70 ИНВАРИАНТНЫЕ АМПЛИТУДЫ 313 свойство означает, что инварианты Fn должны быть истинны- ми (а не псевдо) скалярами. Рассеяние частицы со спином 0 на частице со спином 1/2» Для подсчета числа инвариантов — или, что то же, числа независимых спиральных амплитуд — замечаем, что полное чис- ло элементов матрицы SJ (т. е. число различных наборов чисел Ai, A2, А^, А'2) в данном случае равно 4 (Ai = Х[ = 0, А2, А'2 = = ±х/2) С учетом Р-инвариантности число независимых элемен- тов сводится к двум, после чего учет Т-инвариантности уже не меняет этого числа. В качестве двух независимых инвариантов можно выбрать Fi = и и, F2 = uf(jK)u. G0.3) Здесь и = и(р), и1 = u(pf) —биспинорные амплитуды начального и конечного фермионов; К = к + к', где к и к' — 4-импульсы начального и конечного бозонов г) . Т-инвариантность величин G0.3) станет очевидной, если за- метить, что произведения И'и и п/гу^и преобразуются при обра- щении времени по тому же закону B8.6), что и операторы фф и ф^ф, матричными элементами которых они являются: произве- дение п'и инвариантно само по себе, а 4-вектор п'^и преобразу- ется по закону п'^и —>> п'^и, п'^уи —>> —п'^уи. Таким же образом преобразуются 4-импульсы (Х°,К) —>• —> (А;0, —К), и скалярное произведение F2 = К^п'^и), следова- тельно, инвариантно. Упругое рассеяние двух тождественных частиц со спи- ном !/2. Для подсчета числа независимых спиральных амплитуд удобно исходить из линейных комбинаций спиральных состояний: фЧ = ф++ + V—, Ф2ё = ^++ - Ф-, Фзё = Ф+- + Ф-+, Фи = Ф+- ~ Ф-+, где индексы «+», « —» указывают значения спиральностей (i1/^) двух частиц. Состояния lg, 2g, 3g четны, а состояние и нечетно по отношению к перестановке частиц. Поэтому переходы g <H> и запрещены, так что с учетом перестановочной симметрии остает- ся 16— 6 = 10 матричных элементов. По отношению к инверсии 1) На первый взгляд можно было бы составить еще инвариант вида п'а^ик^к'ии (матрицы а^и, определены в B8.2)). Легко, однако, убедить- ся в его сводимости к инвариантам G0.3), если учесть закон сохранения к' = р + к — р' и уравнения ('ур)и = ти, п' (*ур) = тп\ которым удовлетворяют биспинорные амплитуды. 314 МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ Р функции ф\ё, фзё и ip2g имеют противоположные четности; за- прещение переходов между ними уменьшает число независимых амплитуд до шести. Наконец, Т-инвариантность приводит к сов- падению амплитуд переходов lg —>> 3g и 3g —>> lg, так что оста- ется всего пять независимых амплитуд. В качестве пяти незави- симых инвариантов можно выбрать F3 = (п[^и1)(пг2Ъи2), F4 = (п[^^и1)(пг2^и2) G0.4) где u\, и2 — биспинорные амплитуды начальных, а уьъ ^ — ко- нечных частиц. Перестановка начальных (или конечных) частиц не приводит к новым инвариантам: новые инварианты выража- ются через старые (см. задачу к § 28). Но выражение G0.2) с Fn из G0.4) не учитывает в явном виде требования, согласно которому перестановка двух тождественных фермионов долж- на менять знак амплитуды рассеяния. Удовлетворяющее этому требованию выражение можно записать в виде Mfi = [(uiuJiu^fifau) - (u^i)(uiu2)/iM)] + ••• G0-5) При перестановке р± и р2 (или р\ и р2) кинематические инва- рианты: s —>• «s, t —>• и, и —>• t, так что указанное требование выполняется автоматически. Упругое рассеяние фотона на частицах со спином 0 и 1/2» Амплитуду этих процессов целесообразно выразить с помо- щью единичных пространственноподобных 4-векторов е^1), е^2\ удовлетворяющих условиям AJ_ BJ__X A)B)_Q e(i) А; = еB) А; = 0, е(%' = еB) А;' = 0 {(иЛ) (для каждого из двух фотонов эти 4-векторы могут служить те- ми 4-ортами, с помощью которых осуществляется инвариантное описание их поляризационных свойств —см. § 8). Пусть к ж к1 — начальный и конечный 4-импульсы фотона, а р и р1 — то же для рассеивающей частицы. Рассмотрим 4-векторы Р=р+ р'х где Рх=рх+ р'х - КхрК + Рк^ Nx = e^PPqvK G0.7) К2 K = k + kf, q=p-pf = kf -k. Они очевидным образом взаимно ортогональны. Они ортогональ- ны также 4-векторам К, q, а следовательно, и /с, к1. Будучи ор- тогональны времениподобному 4-вектору К {К2 = 2 к к' > 0), они сами пространственноподобны (действительно, в системе отсче- та, в которой К = 0, из КР = 0 следует, что Pq = 0, а потому § 70 ИНВАРИАНТНЫЕ АМПЛИТУДЫ 315 Р2 < 0). Пронормировав Р и JV, т. е. образовав еA)А=А^ еB)Л= Р^ G0<8) мы получим пару 4-векторов, обладающих всеми требуемыми свойствами. Отметим, что е^ —истинный, а е^1) —псевдовектор. Представим амплитуду рассеяния фотона в виде Mfi = FA/VA4> G0.9) выделив в ней 4-векторы поляризации еие' начального и конеч- ного фотонов. Спиральность фотона пробегает всего два значения (=Ы). По- этому для рассеяния фотона на частице со спином 0 число неза- висимых спиральных амплитуд такое же, как для взаимного рас- сеяния частиц со спином 0 и 1/21 т. е. равно 2. Тензор FXfJj в G0.9) должен быть построен только из 4-импульсов частиц. Его можно представить в виде где /i, /2 — инвариантные амплитуды. Обратим внимание на то, что в FXfJj не может быть члена с произведением еA)леB)/х? так как это произведение — псевдотензор и при подстановке в G0.9) дало бы псевдоскаляр. Наконец, рассмотрим рассеяние фотона на частице со спи- ном !/2- Для подсчета числа независимых спиральных амплитуд замечаем, что полное число элементов матрицы SJ в этом слу- чае есть 16 (спиральность каждой из двух начальных и двух конечных частиц пробегает по два значения). Требование Р-ин- вариантности уменьшает это число до 8, после чего требование Т-инвариантности доводит его до 6. Представим тензор F\^ в этом случае в виде + G2{e^ef - ef eW) + G3(e^ - e^), G0.11) где Go, G3 — истинные, a Gi, G2 — псевдоскаляры. Те и другие билинейны относительно биспинорных амплитуд фермионов п{р') и и(р), т. е. имеют вид Gn=u(p')Qnu(p). G0.12) Общий вид матриц (по биспинорным индексам) Qn: Qo = /1 + /2G*0, Qi = 75[/з + 5 где К = k+k'. Коэффициенты /1, ... , /s — инвариантные ампли- туды, число которых получилось здесь равным 8 (вместо нуж- ного 6) ввиду того, что еще не учтено требование Т-инвариант- ности. 316 МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ Обращение времени переставляет начальные и конечные 4-импульсы частиц, меняя также знаки их пространственных компонент: (ко, к) <->• (к'о, -к'), (ро, Р) ^ (р0, -р'); G0.14) 4-векторы поляризации фотонов преобразуются согласно (е0,е)о(е/0*,-е/*) G0.15) (ср. (8.11а)), так что В силу последнего преобразования условие инвариантности ам- плитуды рассеяния G0.9) эквивалентно требованию С другой стороны, как следствие замен G0.14), имеем (Ко, К) ->¦ (Ко, -К), (g0, q) -»¦ (-go, q), (Ро, Р) ^ (Ро, -Р), (No, N) -»¦ (iV0, -N), так что (ei1'2),eA'2))^(eA'2\-eA'2)). G0.16) Из выражения G0.11) следует поэтому, что должно быть Сг(),1,3 —^ ^0,1,3 G^2 "^ —G2- Но при обращении времени как это ясно из законов преобразования псевдоскалярных и псев- довекторных билинейных форм в B8.6). Поэтому из выражений G0.12), G0.13) видно, что в силу Т-инвариантности амплитуды рассеяния должно быть /з = /б = 0. G0.17)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Инвариантные амплитуды» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
