Рассмотрим некоторые кинематические соотношения для про- цессов рассеяния, в которых как в начальном, так и в конечном состояниях имеется всего по две частицы. Мы имеем в виду со- отношения, являющиеся следствием одних лишь общих законов сохранения и потому справедливые вне зависимости от природы частиц и от законов их взаимодействия. г) Выражение F5.12) как бы сводит усреднение по двум реально возмож- ным поляризациям фотона к усреднению по четырем независимым направ- лениям 4-вектора е. 294 МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ Запишем закон сохранения 4-импульса в общем виде, не пред- решающем, которые из импульсов относятся к начальным, а ко- торые— к конечным частицам: 91 +Я2 + Яз + <74 = 0. F6.1) Здесь ±да — 4-векторы импульсов, причем два из них отвеча- ют падающим частицам, а два — рассеянным; для последних им- пульсами являются — qa. Другими словами, у двух из qa времен- ная компонента q% > 0, а у двух q% < 0. Наряду с сохранением 4-импульса должен соблюдаться за- кон сохранения заряда. При этом под зарядом можно понимать не только электрический заряд, но и другие сохраняющиеся ве- личины, имеющие разный знак у частиц и античастиц. При заданных видах участвующих в процессе частиц квадра- ты 4-векторов qa являются заданными квадратами масс частиц (^2 _ </77,2). g зависимости от значений, пробегаемых временными компонентами д^, и от значений зарядов мы получим три разные реакции. Запишем эти три процесса так: 1.1 + 2-> 3 + 4, П. 1 + 3^2 + 4, F6.2) III. 1 + 4^2 + 3. Здесь цифра означает номер частицы, а черта над цифрой отли- чает античастицу от частицы. Переходу от одной из реакций к другой, т. е. перенесению частицы из одной стороны формулы в другую, отвечает изменение знака соответствующей временной компоненты q^ а также знака заряда, т. е. замена частицы ан- тичастицей. (Наряду с процессами F6.2) возможны, конечно, и обратные реакции.) О трех процессах F6.2) говорят как о трех перекрестных (или кросс-) каналах одной (обобщенной) реакции. Приведем несколько примеров. Если частицы 1 и 3 — электро- ны, а 2 и 4 — фотоны, то канал I представляет собой рассеяние фотона электроном; ввиду истинной нейтральности фотона ка- нал III — то же, что I. Канал же II есть превращение электрон-по- зитронной пары в два фотона. Если все четыре частицы — элек- троны, то канал I — рассеяние электрона на электроне, а каналы II и III — рассеяние позитрона на электроне. Если частицы 1 и 3 —электроны, а 2 и 4 —мюоны, то канал I —рассеяние ена/i, канал III — рассеяние е на Д, канал II — превращение пары её в пару щ1. При рассмотрении процессов рассеяния особую роль играют инвариантные величины, которые можно составить из 4-импуль- сов. Их функцией являются инвариантные амплитуды рассеяния (см. § 70). § 66 КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ 295 Из четырех 4-импульсов можно составить две независимые инвариантные величины. Действительно, в силу F6.1) всего три 4-вектора qa независимы; пусть это будут 9ъ 92, 9з- Из них можно составить шесть инвариантов: три квадрата q\, q%, 9з и три про- изведения 9192? 919з5 929з- Но первые три есть заданные квадраты масс, а вторые три связаны одним соотношением, следующим из равенства (?i + 92 + 9зJ = Ял = гп\. Для достижения большей симметрии удобно, однако, рассма- тривать не два, а три инварианта, в качестве которых выберем следующие: *=D1+Ы2 = (</2+</4J, F6.3) и = (qi +<?4J = (92 + 9зJ- Они связаны, как легко видеть, соотношением s + t + u = h, F6.4) где h = т\ + т\ + т\ + m\. F6.5) В основном (I) канале инвариант s имеет простой физический смысл. Это есть квадрат полной энергии сталкивающихся частиц A и 2) в системе их центра инерции (при Pi + Р2 = 0: s = (е\ + + ?2J)- В канале II аналогичную роль играет инвариант ?, а в канале III — инвариант и. В связи с этим каналы I, II, III часто называют «s-, t- и ^-каналами. Не представляет труда выразить инварианты «s, ?, и через энергии и импульсы сталкивающихся частиц в каждом из кана- лов. Рассмотрим «s-канал. В системе центра инерции частиц 1 и 2 временные и пространственные компоненты 4-векторов qa за- даются следующим образом: 94 = -Р4 = (-^4, Р;в) В общем случае, когда в реакции участвуют n ^ 4 частиц, число функ- ционально независимых инвариантных переменных равно Зп — 10. Действи- тельно, имеется всего 4п величин — компонент п 4-импульсов qa. Между ними имеется п функциональных связей q% = m^ и еще четыре, даваемых законом сохранения ^ qa =0. Произвольные значения могут быть приданы шести величинам — по числу параметров, определяющих общее преобразо- вание Лоренца (общий четырехмерный поворот). Поэтому число независи- мых инвариантных переменных: 4п — п — 4 — 6 = Зп — 10. 296 МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ (индекс s у ps, p^ напоминает о том, что эти импульсы относятся к реакции в s-канале). Тогда s = e2s, es = ei +?2 = ?з + ^45 F6.7) 4sp2 = [s- (mi + m2f}[s - (rai - m2J], _ g. 4sp's2 = [s - (m3 + ra4J][s - (m3 - m4J]; 2t = h — s + 4psp's - -(m2 - ra|)(ra2 - J F6.9) 2u = h — s — 4psp's + -(m2 — m\)(m\ — m\ s В случае упругого рассеяния (mi = газ, rri2 = m4) имеем |ps| = = |p;s|, так что s\ = ?3, ?2 = ?4- Вместо F6.9) при этом получа- ются более простые формулы * = "(Р, " P'J2 = -2р5A " cosва), + (J где 6S — угол между ps и p7s. Отметим, что инвариант —t пред- ставляет собой при этом квадрат переданного при столкновении (трехмерного) импульса. Аналогичные формулы для других каналов получаются про- стым изменением обозначений. Для перехода к t-каналу надо произвести в F6.6)—F6.10) замену s <-> ?, 2 <-> 3; для перехода к г^-каналу — замену s <-> и, 2 <-> 4.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Кинематические инварианты» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
