Вероятность перехода под влиянием возмущения V в первом приближении дается известными формулами теории возмуще- ний (III, § 42). Пусть начальное и конечное состояния излучающей системы относятся к дискретному спектру г) . Тогда вероятность (в единицу времени) перехода г —>> / с испусканием фотона есть dw = 2n\Vfi\2S(Ei -Ef- uo)dv, D4.1) где v условно обозначает совокупность величин, характеризую- щих состояние фотона и пробегающих непрерывный ряд значе- ний (при этом волновая функция фотона предполагается норми- рованной на E-функцию «по шкале и»). Если испускается фотон с определенным значением момен- та, то единственной непрерывной величиной является частота ио. Интегрирование формулы D4.1) по dv = duo устраняет E-функ- цию (заменяя ио определенным значением ио = Е{ — Ef), и тогда вероятность перехода w = 27r\Vfi\2. D4.2) Если же рассматривается испускание фотона с заданным им- пульсом к, то dv = d3k/B7rK = uo2duodo/B7rK. При этом предпо- лагается, что волновая функция фотона (плоская волна) норми- рована на один фотон в объеме V = 1, как это принято везде в этой книге; dv есть число состояний, приходящихся на фазовый объем Vd3k. Таким образом, вероятность испускания фотона с заданным импульсом запишется в виде -Ef-co)-0^, D4.3) или после интегрирования по duo: dw = J-\Vfi\2uo2do. D4.4) 4тг2 Сюда должен быть подставлен матричный элемент Vfi из D3.10). В следующих параграфах мы воспользуемся этими форму- лами для вычисления вероятности излучения в различных кон- кретных случаях. Здесь мы рассмотрим некоторые общие соот- ношения между различными видами радиационных процессов. *) Тем самым, во всяком случае, подразумевается пренебрежение отдачей: излучатель как целое остается неподвижным. § 44 ИСПУСКАНИЕ И ПОГЛОЩЕНИЕ 191 Если в начальном состоянии поля уже имелось отличное от нуля число Nn данных фотонов, то матричный элемент перехода умножается еще на (Nn + l\4\Nn) = ^Nn + 1, D4.5) т. е. вероятность перехода умножается на Nn + 1. Единица в этом множителе отвечает спонтанному испусканию, происходящему и при Nn = 0. Член же Nn обусловливает вынужденное (или инду- цированное) испускание: мы видим, что наличие фотонов в на- чальном состоянии поля стимулирует дополнительное испуска- ние таких же фотонов. Матричный элемент Vif перехода с обратным изменением со- стояния системы (/ —Ьъ) отличается от элемента Vfi заменой D4.5) на , (Nn - l\cn\Nn) = у^К (и заменой остальных величин их комплексно-сопряженными). Этот обратный переход представляет собой поглощение фото- на системой, переходящей с уровня Ef на уровень Е^. Поэтому между вероятностями испускания и поглощения фотона (для за- данной пары состояний г, /) имеет место важное соотношение ^± = ^±1 D4.6) ^(погл) ДГ (оно было впервые указано А. Эйнштейном в 1916 г.). Свяжем число фотонов с интенсивностью падающего извне на систему излучения. Пусть Ikeduido D4.7) есть энергия излучения, падающего в единицу времени на едини- цу площади и имеющего поляризацию е, частоту —в интервале duo и направление волнового вектора — в элементе телесного угла do. Указанным интервалам отвечают k2dkdo/B7r)^ осцилляторов поля, на каждый из которых приходится по N\^e фотонов задан- ной поляризации. Поэтому ту же энергию D4.7) мы получим, составив произведение k2dkdo АТ ^ Ни3 л?- j j с JSir^fbUJ = jN\rGduodo. / r\ \ Q JVC /^» Q О JVC BтгK 8тг3с2 Отсюда находим искомое соотношение: iVke = ^-he- D4.8) Ли3 Пусть dw^' есть вероятность спонтанного излучения фотона с поляризацией е в телесный угол do] индексами (инд) и (погл) ) Ниже в этом параграфе пользуемся обычными единицами. 192 ИЗЛУЧЕНИЕ ГЛ. V отметим аналогичные вероятности для индуцированного испус- кания и поглощения. Согласно D4.6) и D4.8) эти вероятности связаны между собой следующими соотношениями: 7 (погл) 7 (инд) 7 (сп) 8тг с т / л л г\\ dwL = dwL = dwL 7ke- D4-9) Если падающее излучение изотропно и не поляризовано (/ке не зависит от направлений к и е), то интегрирование D4.9) по do и суммирование по е дают аналогичные соотношения между полными вероятностями радиационных переходов (между задан- ными состояниями г и / системы) ^(погл) = ^(инд) = ^(cn)TrV^ D4.10) где / = 2 • 4тг/ке — полная спектральная интенсивность падающе- го излучения. Если состояния г и / излучающей (или поглощающей) си- стемы вырождены, то полная вероятность излучения (или по- глощения) данных фотонов получается суммированием по всем взаимно вырожденным конечным состояниям и усреднением по всем возможным начальным состояниям. Обозначим кратности вырождения (статистические веса) состояний г и / посредством gi и gf. Для процессов спонтанного и индуцированного испус- кания начальными являются состояния г, а для поглощения — состояния /. Предположив в каждом случае все gi или gf на- чальных состояний равновероятными, получим, очевидно, вмес- то D4.10), следующие соотношения: g/^(nom) = giW{*HA) = g.^(cnO[VL D4.11) В литературе часто используются так называемые коэффици- енты Эйнштейна, определяемые как Aif = w^\ Bif = w^^ Bfi = w^om^i D4.12) (величина I/с есть пространственная спектральная плотность энергии излучения). Они связаны друг с другом соотношениями gfBfi = giBif = SiAij^. D4.13)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Испускание и поглощение» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
