Зарядовое сопряжение и обращение спиноров по времени
Множители фра = ирае~грх, стоящие в B5.1) при операторах аро-, представляют собой волновые функции свободных частиц (будем говорить «электронов») с импульсами р и поляризация- ми а: Ф$ = Фра- Множители же ф_р_а при операторах ЬрG надо рассматривать как волновые функции позитронов с теми же р, а. При этом, однако, окажется, что электронные и позитронные функции вы- ражены в различных биспинорных представлениях. Это ясно из того, что фиф различны по своим трансформационным свойст- вам и их компоненты удовлетворяют различным системам урав- нений. Для устранения этого недостатка надо произвести опреде- ленное унитарное преобразование компонент ф_р_а — такое, что- бы новая четырехкомпонентная функция удовлетворяла тому же уравнению, что и фра х) . Именно такую функцию мы и бу- дем называть волновой функцией позитрона (с импульсом р и поляризацией а). Обозначив матрицу требуемого унитарного Для частиц со спином 0 этот вопрос вообще не возникал, так как ска- лярные функции ф лф* удовлетворяют одному и тому же уравнению, и ф1р просто совпадает с фр. § 26 ЗАРЯДОВОЕ СОПРЯЖЕНИЕ 119 преобразования Uc-> напишем $ -а. B6.1) Операция С, с помощью которой эта функция образуется из ф_р_а1 называется зарядовым сопряжением волновой функции (Н. A. Kramers, 1937). Это понятие не ограничено, конечно, его применением к плоским волнам. Для всякой вообще функции ф существует «зарядово-сопряженная» функция Cil>(t,r) = Uc$(t,r), B6.2) преобразующаяся, как ф, и удовлетворяющая тому же уравне- нию. Свойства матрицы Uc следуют из этого определения. Если ^ — решение уравнения Дирака ('ур — т)ф = 0, то ф удовлетво- ряет уравнению или Умножив это уравнение слева на Uc- + тЛсф = О, потребуем, чтобы функция исф удовлетворяла тому же уравне- нию, что и ф: — т)исф = 0. Сравнив оба уравнения, найдем следующее «соотношение ком- мутации» между Uс и матрицами ^ 1)\ UcY = --y^Uc. B6.3) Будем предполагать далее, что волновые функции заданы в спинорном или стандартном представлении (к общему случаю произвольного представления мы вернемся лишь в конце этого параграфа). В этих представлениях 0,2 = ^0,2 1,3 = -1,3 G0'1'3)* = 70Д'3, 72* = -72- Тогда условиям B6.3) удовлетворяет матрица Uc = ^7с727° с произвольной постоянной rjc- Из требования С2 = 1 следует, что \rjc\2 — 1, так что матрица Uc определена с точностью до ) Отметим также следующее отсюда равенство: 5=j5Uc. B6.3а) 120 ФЕРМИОНЫ фазового множителя. В дальнейшем мы выберем т\с = 1, так что Uc = 727° = -ау. B6.5) Заметив также, что ф = ^*70 = 7О/0* = 7О/0*> можно записать действие оператора С в следующем виде: = 7VV = tV- B6-6) В явном виде преобразование B6.6) для спинорного представле- ния С: f*^-ir/d*, щ^-i^, B6.7а) или, что то же, С : fa -^ -ir;a, r/d -^ -ifa*. B6.76) Преобразование зарядового сопряжения для плоских волн Ф±ра легко произвести, воспользовавшись их явными выраже- ниями B3.9) и матрицей Uc в стандартном представлении: Uc=(_°ay ~SV)- B6-8) Заметив, что <уу<т* = —аау, при определении w^f согласно B3.16) получим Ucu-p-cj = up(Tl UcU-p-cj = гарсг. B6.9) Таким образом, Сф-р-а =фра, B6.10) так что функции ф-р-а фигурирующие в ^-операторах B5.1) вместе с операторами Ьрсг, действительно отвечают состояниям частицы с импульсом р и поляризацией а. Мы видим также что электронные и позитронные состояния описываются одними и теми же функциями: Фра = Фра = Фр<У Это вполне естественно, так как функции фра несут в себе све- дения лишь об импульсе и поляризации частицы. Аналогичным образом можно рассмотреть операцию обраще- ния времени. Изменение знака времени должно сопровождать- ся комплексным сопряжением волновой функции. Для того что- бы получить в результате «обращенную по времени» волновую функцию (Тф) в том же представлении, что и исходная ф, надо § 26 ЗАРЯДОВОЕ СОПРЯЖЕНИЕ 121 еще произвести над компонентами ф* (или ф) некоторое унитар- ное преобразование. Таким образом, аналогично B6.2) предста- вим действие оператора Т на ф в виде T4>(t,r) = UT$(-t,r), B6.11) где Ut — унитарная матрица. Снова пишем уравнение Дирака, которому удовлетворяет ф: и уравнение для ф: (i7°— + nrV + m) ф(г, г) = 0. Заменим в последнем уравнении t —> — t и умножим его слева на -UT: (iUTJ°- - iUTlV\ Щ-t, г) - титЩ-t, г) = 0. \ ot / Мы хотим, чтобы функция UTi/j{—t,r) удовлетворяла тому же уравнению, что и ф(г,г): + i7V) итф(-Ь г) - mUT^(-t, г) = 0. dt / Сравнив оба уравнения, найдем, что матрица Ut должна удов- летворять условиям [7Г7° = *y0UT, UtI = -7^т- B6.12) В спинорном и стандартном представлениях этим условиям удо- влетворяет матрица х) [7T = i73717°- B6.13) Таким образом, действие оператора Т дается формулой f^(t,r) = i73717°^(-*Jr) = ^737V*(-^r). B6.14) В явном виде это преобразование для спинорного представления Т: Г^-С %^гтГ B6.15а) ИЛИ Т: еа^«е°*, V&^~ivl B6-156) В стандартном представлении а °) B6.16) Выбор фазового множителя в B6.13) связан с выбором в B6.5) сообра- жениями, указанными ниже, в примеч. на с. 124. 122 фермионы Найдем результат воздействия на ф всех трех операций Р, Т и С. Для этого пишем последовательно: PTtP(t,r) = г CPTtP(t,r) = I2(l°l44*r = 727°7173V'(-i,-r), ИЛИ CPTi/>(t, r) = i-y6i/>(-t, -r). B6.17) В спинорном представлении CPT : С -> -if", % -> ir,d, B6.18) в чем легко убедиться и прямо из правил преобразований B0.4), B6.7), B6.15) '). Написанные выше выражения для матриц Uc и Ut предпо- лагали спинорное или стандартное представление ф. Выясним, наконец, какие из свойств этих выражений сохраняются для про- извольного представления ф. Если ф подвергается унитарному преобразованию: ф' = иф, У = U-yU-1, ф' = ^*70/ = фи+=фи~\ B6.19) то в новом представлении (дфу = и(Сф) = иисФ = иис(Ф'и) = иисиф'. Сравнивая с определением матрицы U'c в новом представлении ((СфУ = и'сф ), находим и'с = UUCU. B6.20) Преобразование B6.20) совпадает с преобразованием матриц 7 лишь для вещественных U. Поэтому и выражение B6.5) спра- ведливо лишь в представлениях, получающихся из спинорного или стандартного вещественным преобразованием. Матрица B6.5) унитарна, а транспонирование меняет ее знак: UCU? = 1, Uc = -Uc B6.21) Эти свойства инвариантны относительно преобразования B6.20), а следовательно, имеют место в любом представлении. Матрица B6.5) также и эрмитова (Uc — U^), но это свойство в общем случае нарушается преобразованием B6.20). Запись СРТ предполагает действие операторов в порядке справа налево. Общий знак в B6.17), B6.18) зависит от этого порядка ввиду некоммутатив- ности Т с С и Р (в их действии на биспинор). § 27 ВНУТРЕННЯЯ СИММЕТРИЯ ЧАСТИЦ И АНТИЧАСТИЦ 123 Все сказанное (в том числе B6.21)) относится и к свойствам матрицы Ut- В аппарате вторичного квантования преобразования С, Р, Т для ^-операторов должны быть сформулированы как прави- ла преобразований операторов рождения и уничтожения частиц. Эти правила можно установить (подобно тому, как это было сде- лано в § 13 для частиц со спином 0), исходя из требования, чтобы преобразованные ^-операторы могли быть представлены в виде B6.22)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Зарядовое сопряжение и обращение спиноров по времени» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Для частиц со спином 0 этот вопрос вообще не возникал, так как ска- 