При вычислениях, связанных с уравнением Дирака, прихо- дится широко пользоваться матрицами 75 не прибегая к их кон- кретному виду в том или ином определенном представлении. Правила оперирования этими матрицами всецело определяются перестановочными соотношениями yy + yy^gA*", //,^ = 0,1,2,3, B2.1) выражающими все их общие свойства. В этом параграфе мы приведем ряд формул и правил алге- бры матриц 7, полезных в различных вычислениях. «Скалярное произведение» матриц 7 самих на себя: g^v^Y = = 4. Для краткой записи введем, по аналогии с ковариантными компонентами 4-векторов, обозначение 7/х = g^j^. Тогда 7*л" = 4- B2.2) Если же матрицы 7/х и 7^ разделены одним или несколькими множителями 7, то одной или несколькими перестановками мно- жителей (с помощью правила B2.1)) можно привести 7/х и 7^ к соседним положениям, после чего суммирование (по /i) совер- шается согласно B2.2). Таким способом получаются следующие формулы: ^ = -27, 2YYj\ ' Обычно множители 7^, ... фигурируют в комбинации с раз- личными 4-векторами в виде «скалярных произведений» 7а = 7%. B2-4) Для таких произведений формулы B2.1) принимают вид (o7)(b7) + (bj)(aj) = 2(аЬ), (о7)(а7) = а2 B2.5) а формулы B2.3): = -2(а7), = 2[(d7)(o7)(b7)(c7) B2.6) 1) В этом издании книги мы не пользуемся каким-либо специальным обозначением для такого произведения. В литературе часто используются обозначения буквами со шляпкой или перечеркнутыми буквами. § 22 АЛГЕБРА МАТРИЦ ДИРАКА 105 Широко используемой операцией является взятие следа про- изведения некоторого числа матриц 7- Рассмотрим величины Т^2-^ = i/4SpG/7/ •••1ц"п)- B2.7) В силу известного свойства следа произведения матриц этот тен- зор симметричен по отношению к циклическим перестановкам ИНДеКСОВ /il/i2 • • • Цп- Так как матрицы j имеют одинаковый вид в произвольной системе отсчета, величины Т также не зависят от выбора систе- мы. Поэтому они образуют тензор, выражающийся только через обладающий этим свойством метрический тензор g^v. Но из тензора второго ранга g^v можно составить лишь тен- зоры четного ранга. Уже отсюда сразу следует, что след произ- ведения любого нечетного числа множителей 7 равен нулю. В частности, равен нулю след каждой из 7 *) : Sp7^ = 0. B2.8) След единичной четырехрядной матрицы (которая подразу- мевается стоящей в правой стороне перестановочного соотноше- ния B2.1)) равен 4. Поэтому из B2.1), взяв след от обеих сторон равенства, найдем т\ш = g^ B2.9) След произведения четырех матриц rpXfii/p _ gX^gvp _ g\Vg№ _|_ gXpg^y^ B2.10) Эту формулу можно получить, например, «протаскивая» в SpG^7^7z/7/?) множитель 7^ направо с помощью перестановоч- ного соотношения B2.1); после каждой перестановки возникает один из фигурирующих в B2.10) членов: и т. д. После всех перестановок справа остается —Т^урх = = — Т^ур, которое переносим налево. Этим же способом вычис- ление следа произведения шести 7 сводится к следам произведе- ний четырех множителей и т. д. Так, X/irjivpar Хьтрррат _i_ ^ -\- gXrjipvpa^ B2.11) Отметим, что все следы Т ^'" вещественны и что они отлич- ны от нуля, лишь если каждая из матриц 7°, 71? • • • встречается След матрицы инвариантен относительно преобразований j = UjU Поэтому B2.8) очевидно и из конкретных выражений матриц B1.3). 106 ФЕРМИОНЫ в произведении четное число раз; то и другое очевидно из полу- ченных формул. Отсюда, в свою очередь, легко сделать вывод, что след не меняется при изменении порядка всех множителей на обратный: грХ/jb...pa _ X Как уже упоминалось, множители 7 фигурируют обычно в виде скалярных произведений с различными 4-векторами. В та- ких случаях, например, формулы B2.9) и B2.10) означают, что B2.13) Особую роль играет произведение 7°717273. Для него приня- то специальное обозначение: rJ> — _7/л/0/л/1/л/2/л/3 (еуеу л л\ У о У У У У • \ZjZj.j.^li Легко видеть, что /лАл^ + уу = 0^ ^2 = ^ B2.15) т. е. матрица 75 антикоммутативна со всеми 7/х. По отношению же к матрицам а и /3 имеют место правила а75 - 75а = 0, /375 + j5f3 = 0 B2.16) (коммутативность с сх следует из того, что сх = 7°Т есть произ- ведение двух матриц 7/х). Матрица 75 эрмитова; действительно, 75+ = ^3+^2+^1+^0+ = _^73727170^ и поскольку последовательность 3210 сводится к последователь- ности 0123 четным числом перестановок, то 75+ =75- B2.17) Укажем также вид этой матрицы в двух конкретных пред- ставлениях: спинорное 75 = ( о 1) ' . о -и <2218» стандартное 7 = ( _ i n ) • След матрицы 75 равен нулю: Sp75 = 0 B2.19) (это видно и прямо из B2.18)). Равны нулю также и следы произ- ведений 757^7Z/. Для произведений же 75 на четыре множителя 7^ имеем 1/4 Sp757V7V = iex^p. B2.20) 23 ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ 107 Отметим еще формулу: x ^^ср, B2.21) справедливую для взаимно перпендикулярных 4-векторов а, 6, с: ab = ас = be = 0. В некоторых случаях (в задачах, в которых фигурируют нерелятивистские частицы) может возникнуть необходимость в вычислении следов произведений, в которые входят раздельно 7° и трехмерный «вектор» 7- Отличны от нуля лишь следы про- изведений с четным числом множителей 7° и Т- При этом все множители 7° сводятся к 1, а следы произведений с двумя и четырьмя множителями 7 даются формулами y4Sp(a7)(b7) = -ab, i/4Sp(a7)(b7)(c7)(d7) = (ab)(cd)-(ac)(bd) + (ad)(bc).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Алгебра матриц Дирака» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
