Спинорная форма записи уравнения Дирака является наибо- лее естественной в том смысле, что она непосредственно выявля- ет его релятивистскую инвариантность. Однако в применениях могут оказаться более удобными другие представления волно- вого уравнения, получающиеся путем другого выбора четырех независимых компонент волновой функции. Будем обозначать четырехкомпонентную волновую функцию символом ф (с компонентами ipi, г = 1, 2, 3, 4). В спинорном представлении это есть биспинор: ) B1-1) Но с равным правом можно выбрать в качестве независимых компонент ф любые линейно независимые комбинации компо- нент спиноров ? и г/ . Условимся при этом ограничивать до- 1) Для краткости будем говорить о четырехкомпонентной величине ф как о биспиноре также и в неспинорных ее представлениях. § 21 СИММЕТРИЧНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЯ ДИРАКА 99 пустимые линейные преобразования лишь требованием унитар- ности; такие преобразования не меняют составленные из ф и ф* билинейные формы (см. § 28). В общем случае произвольного выбора компонент ф уравне- ние Дирака можно представить в виде где 7^ (/^ — О? 1; 2, 3)—некоторые четырехрядные матрицы {матрицы Дирака). Будем обычно записывать это уравнение в символической форме, опуская матричные индексы: (>ур-т)ф = 0, B1.2) где ^ 7= G\72,73) • спинорной форме уравнения с компонентами ф из B1.1) соответ- ствуют матрицы х) о (О Ц @ -<г\ /О1 Q^ 7° = (i о) ' ^ = U О J ' B1'3) как это легко видеть, записав уравнения B0.5) в виде и ро- р0 -ра 0 J\vJ~ "° W и сравнив с B1.2). В общем случае матрицы 7 должны удовлетворять лишь условиям, обеспечивающим равенство р = т . Для выяснения этих условий умножим уравнение B1.2) слева на jp. Имеем (l^Pfi) (l^Pis) Ф = т (Рц1^) Ф = ТП ф. Поскольку РцРь, — симметричный тензор (все операторы р^ ком- мутативны), можно переписать это равенство как откуда видно, что должно быть 7*V/ + 7V = 2g/. B1.4) Таким образом, все пары различных матриц 7^ антикоммутатив- ны, а квадраты каждой из них: G1J = G2J = G3J = -1, G°J = 1. B1-5) 1) Здесь и в дальнейшем используется краткая запись четырехрядных матриц через двухрядные: каждый символ в выражениях B1.3) предста- вляет собой двухрядную матрицу. 100 ФЕРМИОНЫ При произвольном унитарном преобразовании компонент ф^ф' = \]ф, где U — унитарная четырехрядная матрица) матри- цы 7 преобразуются согласно У = UjU'1 = U^U+ B1.6) (так что уравнение (р/р — т)ф = 0 переходит в (р/'р — т)ф' = = 0). Перестановочные соотношения B1.4) при этом, разумеется, остаются неизменными. Матрица 7° из B1.3) эрмитова, а матрицы j антиэрмитовы. Эти свойства сохраняются и при всяком унитарном преобразо- вании B1.6), так что мы будем всегда иметь х) : 7+ = -7, 7°+=7°- B1-7) Напишем также уравнение для комплексно-сопряженной функции ф*. Взяв комплексно-сопряженное от уравнения B1.2), с учетом свойств B1.7) получим (Ро7° - Р7 - rn)^* = 0- Переставляем ф* согласно ^ф* = ф*^ и умножаем затем урав- нение справа на 7°5 замечая, что ^7° = ~7°7> и вводя новый биспинор _ _ ф = </,*/, Ф* = Ф1°, B1-8) получаем _ ф('ур + т) = 0. B1.9) Как и в B0.11), оператор ^предполагается здесь действующим на функцию, стоящую слева от него. Функцию ф называют ди- раковски-сопряженной (или релятивистски-сопряженной) функ- ции ф. Смысл множителя 7° B ее определении заключается в том, что (в спинорном представлении) он переставляет спиноры ?* и г/* так, что в ф = (г/*,?*) первым оказывается (как и в ф) непунктирный, а вторым — пунктирный спинор; именно по этой причине ф является более естественным (чем ф*) «партнером» ф, когда, например, они фигурируют совместно в различных би- линейных комбинациях (см. § 28). Преобразование инверсии для волновой функции можно пред- ставить в виде Р: ф^^ф, ф^-пр^. B1.10) При спинорном представлении ф матрица 7° переставляет, как и должно быть при инверсии, компоненты (и?|. Инвариантность 1) Эти равенства можно записать вместе в виде 7Л+=7°7Л7°- B1.7 а) § 21 СИММЕТРИЧНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЯ ДИРАКА 101 уравнения Дирака относительно преобразования B1.10) в общем случае очевидна и непосредственно: заменив в уравнения B1.2) рч-ри одновременно ф —>> ijQip, получим (Ро7° + Р7 - тЪ°Ф = 0. Умножив это уравнение слева на 7° и учитывая антикоммута- тивность 7° и 7, вернемся к исходному уравнению. Умножив уравнение (jp — т)ф = 0 слева на ф, а уравнение ^G^+ т) = 0 справа на ф и сложив их, получим ~Ф^ (РцФ) + (Рцф) 7*V = Рц {Ф^Ф) = 0, где скобки указывают, на какую функцию распространяется дей- ствие оператора р. Полученное равенство имеет вид уравнения непрерывности d^j^ = 0, так что величина f = ф^ф = (ф*ф, ^*7°7^) B1.11) представляет собой 4-вектор плотности тока частиц. Отметим, что его временная компонента j° = ф*ф положительно опреде- лена. Уравнение Дирака можно представить в форме, разрешенной относительно производной по времени: *f = Щ, B1.12) где Н — гамильтониан частицы х) . Для этого достаточно умно- жить уравнение B1.2) слева на 7°- Для гамильтониана получа- ется выражение Я = ар + /3т, B1.13) где введено общепринятое обозначение для фигурирующих здесь матриц: а = 7°7, /3 = 7°. B1.14) Отметим, что агак + акаг = 2Sik, pet + a/3 = 0, /З2 = 1, B1.15) т. е. все матрицы а, /3 антикоммутируют друг с другом, а их ква- драты равны 1; все они эрмитовы. В спинорном представлении Ч? D- 1) Для частицы со спином 0 волновое уравнение не могло быть представле- но в таком виде: уравнение A0.5) для скаляра ф — второго порядка по вре- мени, а система A0.4) уравнений первого порядка для пятикомпонентиой величины {ip,ipfj,) содержит производные по времени не от всех компонент. 102 ФЕРМИОНЫ В предельном случае малых скоростей частица должна опи- сываться, как и в нерелятивистской теории, всего одним двух- компонентным спинором. Действительно, перейдя в уравнениях B0.5) к пределу р —>> 0, е —>> га, получим ? = г/, т. е. оба спи- нора, составляющие биспинор, совпадают друг с другом. Здесь, однако, проявляется недостаток спинорной формы записи урав- нения Дирака: при предельном переходе остаются отличными от нуля все четыре компоненты ф, хотя в действительности лишь две из них независимы. Более удобно такое представление вол- новой функции ф, при котором в пределе две из ее компонент обращаются в нуль. Соответственно этому введем вместо ? и г/ их линейные ком- бинации if и х: Тогда для покоящейся частицы х — 0- Это представление ф бу- дем называть стандартным. При инверсии (р ж х преобразуются сами через себя согласно Р: cp^icp, X^-iX- B1.18) Уравнения для ср и х получим, складывая и вычитая уравне- ния B0.5): Роф ~ VcrX — шф-, ~РоХ + Ра(Р = тХ- B1.19) Отсюда видно, что стандартному представлению отвечают ма- трицы о) • v^-L-^u; Поскольку в B1.17) складываются отдельно первые и вторые компоненты ? и г/, то в стандартном представлении, как и в спи- норном, компоненты ф\ и ф% отвечают собственным значениям проекции спина +V2, а ф2 и ф^ — проекции —1/2- В обоих этих представлениях, следовательно, матрица V2S, где о _ п /1 и а . ( 0 а\ _ (Q аЛ представляет собой трехмерный оператор спина: при действии 1/2^z на биспинор, содержащий лишь компоненты ф\, ф% или ^2, ф±, биспинор умножается на + lfe или — lfe. В произвольном пред- ставлении эта матрица может быть записана в виде Е = -а75 = --[аа] B1.22) (определение 75 см. ниже, B2.14)).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Симметричная форма уравнения Дирака» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. Условимся при этом ограничивать до- 