Следуя общим правилам проведения вторичного квантования, мы должны рассмотреть разложение произвольной волновой функции по собственным функциям полного набора возможных состояний свободной частицы, например по плоским волнам фр: ф = После этого коэффициенты ар, ар надо было бы понимать как операторы ар, а+р уничтожения и рождения частиц в соответ- ствующих состояниях г) . При этом, однако, мы сразу сталкиваемся со следующим но- вым (по сравнению с нерелятивистской теорией) принципиаль- ным обстоятельством. В плоской волне, являющейся решением уравнения A0.5), энергия е должна удовлетворять (при задан- ном импульсе р) лишь условию е2 = р2 + ш2, т. е. может иметь два значения: ±л/р2 + т2. Физическим же смыслом энергии сво- бодной частицы могут, однако, обладать лишь положительные значения е. Между тем просто опустить отрицательные значе- ния недопустимо: общее решение волнового уравнения образу- ет лишь суперпозиция всех его независимых частных решений. Это обстоятельство указывает на необходимость некоторого из- х) Снабжаем ^-функции индексом 4-импульса р, в дальнейшем функции с «отрицательной частотой» будем обозначать через ф-р. Операторы же а, а+ снабжаем индексом трехмерного импульса р, полностью определяющего состояние реальной частицы. 56 БОЗОНЫ ГЛ. II менения истолкования коэффициентов разложения фиф* при вторичном квантовании. Напишем это разложение в виде р р где в первой сумме стоят нормированные согласно A0.16) плос- кие волны с положительными, а во второй — с отрицательны- ми «частотами»; е везде обозначает положительную величину: е = +ур2+т2. При вторичном квантовании коэффициенты ар в первой сумме заменяем обычным образом операторами ар уничтожения частиц. Во второй же сумме замечаем, что при дальнейшем образовании матричных элементов временная зави- симость ее слагаемых будет соответствовать не уничтожению, а рождению частиц; множитель eist = (e~ist)* отвечает одной лишней частице с энергией е в конечном состоянии (ср. конец § 2). Соответственно этому коэффициенты ар заменяем опера- торами Ь^ рождения некоторых других частиц. Заменив так- же во второй сумме в A1.1) обозначение переменной суммиро- вания р на — р (чтобы экспоненциальный множитель приобрел вид е~г(Рг-?г) получим ^-операторы в виде Р Р A1.2) Таким образом, все операторы ар, Ьр оказываются умножен- ными на функции с «правильной» зависимостью от времени (~ е~^*), а операторы ар, 6р—на комплексно-сопряженные им функции. Это и дает возможность истолковать, в соответствии с общими правилами, операторы ар, Ьр как операторы уничтоже- ния, aaj, 6+ — как операторы рождения частиц с импульсами р и энергиями е. Мы приходим к представлению о частицах двух родов, высту- пающих совместно и равноправно. О них говорят как о части- цах и античастицах (смысл такого названия выяснится ниже). Одним из них отвечают в аппарате вторичного квантования опе- раторы ар, а+, а другим —6р, 6+. Оба вида частиц, операторы которых входят в один и тот же ^-оператор, тем самым имеют одинаковые массы. К этим результатам можно прийти и исходя из прямых тре- бований релятивистской инвариантности. § 11 ЧАСТИЦЫ И АНТИЧАСТИЦЫ 57 Преобразования Лоренца представляют собой в математиче- ском смысле повороты четырехмерной системы координат, меня- ющие направление оси времени (вместе с чисто пространствен- ными поворотами, не затрагивающими оси времени, они соста- вляют группу преобразований, которую называют группой Ло- ренца 1)). Все эти преобразования обладают тем общим свойст- вом, что они не выводят ось t за пределы соответствующей поло- сти светового конуса, чем и выражается физический принцип — существование предельной скорости распространения сигналов. Но в чисто математическом отношении поворотом является также и одновременное изменение знака всех четырех координат (четырехмерная инверсия): определитель этого преобразования равен +1, как и определители всякого другого поворотного пре- образования. При этом ось времени переводится из одной поло- сти светового конуса в другую. Хотя это обстоятельство и озна- чает физическую неосуществимость такого преобразования (как преобразования системы отсчета), но в математическом отноше- нии отличие сводится лишь к тому, что (в силу псевдоевкли- довости метрики) такой поворот не может быть произведен без того, чтобы не допустить попутно комплексное преобразование координат. Естественно полагать, что это отличие должно быть несуще- ственно, когда речь идет о четырехмерной инвариантности. То- гда всякое выражение, инвариантное по отношению к преобра- зованиям Лоренца, должно быть инвариантно и по отношению к 4-инверсии. Точная формулировка этого требования в приме- нении к скалярному ^-оператору будет дана в § 13. Но сразу же отметим, что оно во всяком случае приводит к необходимо- сти одновременного присутствия в ^-операторах членов с обоими знаками перед е в показателях, поскольку замена t —>• —t как раз меняет этот знак. Вернемся к выражениям A1.2) и установим перестановочные соотношения между операторами ар, а+, (и 6р, &+). В случае фотонов это было сделано (для операторов сГр , с?) исходя из аналогии с осцилляторами, т. е. по существу из свойств электро- магнитного поля в классическом пределе. Теперь такой анало- гии нет. Для установления правил коммутации (Бозе или Ферми) между операторами мы можем руководствоваться лишь видом построенного из этих операторов гамильтониана. х) Отметим, что совокупность всех трехмерных (пространственных) пово- ротов составляет сама по себе группу, входящую в группу Лоренца в каче- стве подгруппы. Совокупность же преобразований Лоренца сама по себе не составляет группы: результат последовательных преобразований Лоренца может сводиться к чисто пространственному повороту. 58 бозоны гл. п Последний получается (см. III, § 64) подстановкой ф и ф^ вместо ф и ф* в интеграл /Too d?x г) . Таким образом найдем Н = ^б(а+ар + 6р6+). A1.3) р Легко видеть, что разумный результат для собственных зна- чений этого гамильтониана получается, лишь если операторы удовлетворяют правилам коммутации Бозе: _ (И.4) (все другие пары операторов коммутативны; в том числе ком- мутативны все операторы частиц ар , а+ со всеми операторами античастиц 6р, Ьр). Действительно, в таком случае Н = Z) 6(SpSp + Ьр Ьр + !)• р Собственные значения произведений ар ар и 6+ 6р равны положи- тельным целым числам Np и Np — числам частиц и античастиц. Бесконечную же аддитивную постоянную ^? («энергия вакуу- ма») можно снова просто опустить: E = ^2s(Np + Np) A1.5) р (ср. формулу C.1) и примечание к ней). Это выражение суще- ственно положительно и соответствует представлению о двух ро- дах реально существующих частиц. Аналогичным образом для полного импульса системы частиц получим P = ^p(JVp + JVp). A1.6) р Если бы мы приняли вместо A1.4) перестановочные соотно- шения Ферми (антикоммутаторы вместо коммутаторов), то по- лучили бы ^ Н = р и вместо формулы A1.5)—физически бессмысленное выраже- ние ^2s(Np — Np). Это выражение не является положительно ) В нерелятивистской теории при этом полагается писать сопряженный оператор ф+ слева от ф. Здесь же порядок безразличен, так как перестановка ф+ и ф привела бы лишь к перестановке равноправных операторов ар иЬр. Необходимо, однако, выбрав тот или иной порядок, всегда придерживаться одного правила. § 11 ЧАСТИЦЫ И АНТИЧАСТИЦЫ 59 определенным и поэтому не может представлять собой энергию системы свободных частиц. Таким образом, частицы со спином 0 являются бозонами. Далее, рассмотрим интеграл Q A0.19). Заменив в j° функ- ций фиф* операторами ф и ф+ и произведя интегрирование, получим q = J2D^p -ЪрЧ) = Е№р -ЧЧ - !)• (п-7) р р Собственные значения этого оператора (за вычетом несуществен- ной аддитивной постоянной У^ 1): р-^р)' (п-8) р т. е. равны разностям полных чисел частиц и античастиц. До тех пор, пока мы рассматриваем свободные частицы, от- влекаясь от всякого взаимодействия между ними, смысл зако- на сохранения величины Q (как, впрочем, и законов сохранения полных энергии и импульса A1.5, 11.6)) остается, разумеется, в значительной степени условным: сохраняется в действительно- сти не только эта сумма, но и каждое из чисел 7Vp, Np в от- дельности. Будет ли сохраняться величина Q в результате вза- имодействия, зависит от характера взаимодействия. Если Q со- храняется (т. е. если оператор Q коммутирует с гамильтонианом взаимодействия), то выражение A1.8) показывает, какое этот за- кон вносит ограничение на возможные изменения числа частиц: могут возникать и исчезать лишь пары «частица+античастица». Если частица электрически заряжена, то ее античастица должна иметь заряд противоположного знака: если бы та и дру- гая имели одинаковые заряды, то возникновение или уничто- жение их пары противоречило бы строгому закону природы — сохранению полного электрического заряда. Мы увидим ниже (§ 32), каким образом эта противоположность зарядов (при вза- имодействии частиц с электромагнитным полем) возникает в те- ории автоматически. Величину Q иногда называют зарядом поля данных частиц. Для электрически заряженных частиц Q определяет, в частно- сти, полный электрический заряд системы (в единицах элемен- тарного заряда е). Подчеркнем, однако, что частицы и антича- стицы могут быть электрически нейтральны. Таким образом, мы видим, как характер релятивистской за- висимости энергии от импульса (двузначность корня уравнения 52 = р2 + т2) совместно с требованиями релятивистской инва- риантности приводит в квантовой теории к появлению нового классификационного принципа для частиц—возможности суще- ствования пар различных частиц («частица + античастица»), 60 БОЗОНЫ ГЛ. II находящихся в описанном выше соответствии друг с другом. Это замечательное предсказание было впервые сделано (для частиц со спином 1/2) Дираком в 1930 г., еще до фактического открытия первой античастицы — позитрона х) .
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Частицы и античастицы» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
