Упругие столкновения быстрых электронов с атомами могут быть рассмотрены с помощью борновского приближения, если скорость падающего электрона велика по сравнению со скоро- стями атомных электронов. Ввиду большой разницы в массах между электроном и ато- мом последний можно считать при столкновении неподвижным, и система координат, в которой неподвижен центр инерции, совпадает с системой, в которой неподвижен атом. Тогда р и р7 в формуле A26.7) обозначают импульсы электрона до и по- сле столкновения, т— масса электрона, а угол в совпадает с углом $ отклонения электрона. Потенциальная же энергия U(г) в формуле A26.7) требует должного определения. В § 126 мы вычисляли матричный элемент [/р/р энергии вза- имодействия по отношению к волновым функциям свободной частицы до и после столкновения. При столкновении с атомом необходимо учитывать также и волновые функции, описываю- щие внутреннее состояние атома. При упругом рассеянии состо- яние атома не меняется. Поэтому [/р/р должно быть определено как матричный элемент по отношению к волновым функциям фр и фр/ электрона, диагональный по отношению к волновой функции атома. Другими словами, U в формуле A26.7) надо по- нимать как потенциальную энергию взаимодействия электрона с атомом, усредненную по волновой функции последнего. Она равна е(р(г), где <р(г) — потенциал поля, создаваемый в точке г средним распределением зарядов в атоме. Обозначив плотность распределения зарядов в атоме че- рез р(г), имеем для потенциала ср уравнение Пуассона Аср = —4тгр(г). 698 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVII Искомый матричный элемент Uprp есть в основном компонен- та Фурье от U (т.е. от (/?), соответствующая волновому вектору q = k' — к. Применив уравнение Пуассона к каждой из компо- нент Фурье в отдельности, имеем откуда срч = 4тгрч/д2, т. е. Г ipe'^dV = Ц Г pe~ivdV. A39.1) Плотность зарядов р(г) составляется из электронных зарядов и заряда ядра: р = —en® + Ze5®, где еп(г) —плотность электронного заряда в атоме. Умножив на е~щг и интегрируя, имеем Ine~icirdV + Ze. Г pe'^dV = -e I Таким образом, получаем для интересующего нас интеграла вы- ражение -*Ш A39.2) я. где величина F(q) определяется формулой F(q) = [ne~i€irdV A39.3) и называется атомным формфактором. Он является функцией угла рассеяния, а также скорости падающего электрона. Наконец, подставив A39.2) в A26.7), получим окончательно следующее выражение для сечения упругого рассеяния быстрых электронов атомом1): .2 4 da= —^-[Z - F(q)Ydo, q= ysm-. A39.4) Рассмотрим предельный случай qa^ <^ 1, где а$ — порядок величины размеров атома. Малым q соответствуют малые углы ) Мы пренебрегаем обменными эффектами между рассеиваемым быст- рым электроном и атомными электронами, т. е. не производим симметриза- ции волновой функции системы. Законность этого пренебрежения заранее очевидна: интерференция между быстро осциллирующей волновой функци- ей свободной частицы и волновой функцией атомных электронов в «обмен- ном интеграле» приведет к тому, что связанный с ним вклад в амплитуду рассеяния окажется малым. § 139 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ БЫСТРЫХ ЭЛЕКТРОНОВ С АТОМАМИ 699 рассеяния: ft <С v$/v, где vq ~ H/та^ — порядок величины ско- ростей атомных электронов. Разложим F(q) в ряд по степеням q. Член нулевого порядка равен fndV, т.е. полному числу Z электронов в атоме. Член первого порядка пропорционален frn®dV, т.е. среднему зна- чению дипольного момента атома; это значение обращается то- ждественно в нуль (см. §75). Поэтому надо произвести разло- жение до члена второго порядка, что дает Z-F(q) = ^ fnr2dV; подставив в A39.4), получим da = те2 \ ЗП2 J nr dV do. A39.5) Таким образом, в области малых углов сечение оказывается не- зависящим от угла рассеяния и определяется средним квадратом расстояния атомных электронов от ядра. В обратном предельном случае больших q (qa^ ^$> 1, $ ^> ^> vq/v) множитель е~щг в подынтегральном выражении в A39.3) есть быстро осциллирующая функция, и потому весь ин- теграл близок к нулю. Можно, следовательно, пренебречь F(q) по сравнению с Z] тогда остается , / Ze2 \2 do /1оп«\ da = \^) -^тг A39'6) т. е. резерфордовское сечение рассеяния на ядре атома. Вычислим также транспортное сечение <7tr = / A - cost?) da. A39.7) В области углов $ <^ vo/v имеем, согласно A39.5), da = const • sin fidd « const -i где const не зависит от $. Поэтому в этой области подынте- гральное выражение в рассматриваемом интеграле пропорцио- нально ?93d#, так что на нижнем пределе интеграл быстро схо- дится. В области же 1 ^> д ^> vq/v имеем da ^ const • 3 подынтегральное выраж:ение пропорционально d$/$, т. е. инте- грал A39.7) расходится логарифмически. 700 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVII Отсюда видно, что основную роль в интеграле играет имен- но эта область углов и можно ограничиться интегрированием только по ней. Нижний предел интегрирования должен быть взят порядка vq/v; напишем его в виде e2/(jHv), где 7 — безраз- мерная постоянная. В результате получим следующую формулу: 4)ln^. A39.8) mv / e Точное вычисление постоянной j требует рассмотрения рассе- яния на углы $ > vq/v и не может быть произведено в общем виде; o"tr слабо зависит от значения этой постоянной, посколь- ку она входит под знаком логарифма, умноженная на большую величину hv/e2. Для численного определения формфактора тяжелых атомов можно пользоваться распределением Томаса-Ферми плотности п(г). Мы видели, что в модели Томаса-Ферми п(г) имеет вид n{r) = Z2f{rZl^/b) (все величины в этой и следующих формулах измеряются в атом- ных единицах). Легко видеть, что интеграл A39.3), вычисленный с такой функцией п(г), будет содержать q лишь в определенной комбинации с Z: 1 /о F(q) = Z(p(bqZ-1/3). A39.9) В табл.11 приведены значения универсальной для всех атомов функции ср(хI). Таблица 11 Атомный фактор по Томасу—Ферми X 0 0Д5 0,31 0,46 0,62 0,77 0,93 (р(х) 1,000 0,922 0,796 0,684 0,589 0,522 0,469 X 1,08 1,24 1,39 1,55 1,70 1,86 2,02 (р(х) 0,422 0,378 0,342 0,309 0,284 0,264 0,240 X 2,17 2,32 2,48 2,64 2,79 2,94 <р(х) 0,224 0,205 0,189 0,175 0,167 0,156 С атомным формфактором A39.9) сечение A39.4) будет иметь вид da = l) do, A39.10) 1) Надо иметь в виду, что при малых q эта формула неприменима, в соот- ветствии с тем, что интеграл от пг фактически не может быть вычислен по методу Томаса-Ферми (см. примеч. на с. 563). Следует также помнить, что модель Томаса-Ферми не отражает индивидуальных свойств атомов, нарушающих их систематическое изменение с атомным номером. § 140 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ БЫСТРЫХ ЭЛЕКТРОНОВ С АТОМАМИ 701 где Ф(ж) —новая универсальная функция. Интегрированием моле- но получить полное сечение. В интеграле основную роль играет область малых $. Поэтому можно написать da rr а интегрирование по d$ распространить до бесконечности: оо а - 2ttZ2/3 Г Ф1 Z-i/6—)i9di9- —Z4/6 I тФ(т)с!т Wtfydti = ^Z4/3 fx*{ 0 Таким образом, а имеет вид a = const .^Ц-. A39.11) V Аналогичным образом легко убедиться в том, что постоянная 7 в формуле A39.8) будет пропорциональна Z/3.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Упругие столкновения быстрых электронов с атомами» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
