Особого рассмотрения требует случай столкновения двух одинаковых частиц. Тождественность частиц приводит в кван- товой механике к появлению своеобразного обменного взаимо- действия между ними. Оно существенно сказывается и на рас- сеянии (N. МоЫ, 1930)г). Орбитальная волновая функция системы из двух частиц должна быть симметричной или антисимметричной относитель- но частиц в зависимости от того, четен или нечетен суммарный спин последних (см. § 62). Поэтому описывающая рассеяние вол- новая функция, получающаяся путем решения обычного урав- нения Шредингера, должна быть симметризована или антисим- метризована по частицам. Перестановка частиц эквивалентна замене направления соединяющего их радиуса-вектора на обрат- ное. В системе координат, в которой покоится центр инерции, это означает, что г остается неизменным, а угол в заменяется на тг — в (в связи с чем z = г cos 9 переходит в —z). Поэтому вместо асимптотического выражения A23.3) волновой функции мы должны писать ф = eikz ± e~ikz + -eikr[f(9) ± (тг - в)]. A37.1) г В силу тождественности частиц нельзя, конечно, указать, какая из них есть рассеиваемая, а какая—рассеивающая. В системе центра инерции мы имеем две одинаковые распространяющиеся навстречу друг другу падающие волны: elkz и e~lkz. Расходяща- яся же сферическая волна в A37.1) учитывает рассеяние обеих частиц, и вычисленный с ее помощью поток определяет веро- ятность того, что в данном элементе do телесного угла будет рассеяна какая-либо из частиц. Сечение рассеяния есть отноше- ние этого потока к плотности потока в каждой из падающих 1) Прямое спин-орбитальное взаимодействие здесь по-прежнему не рас- сматривается. 690 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVII плоских волн, т. е. по-прежнему определяется квадратом модуля коэффициента при егкг/г в волновой функции A37.1). Таким образом, если суммарный спин сталкивающихся ча- стиц четен, то сечение рассеяния имеет вид f(ir-e)\2do, A37.2) а если нечетен, то daa = \f(e)-f(ir-e)\2do. A37.3) Характерно для обменного взаимодействия появление интерфе- ренционного члена /@)/*(тг — в) + /*@)/(тг — в). Если бы ча- стицы были различимы, как в обычной классической механике, то вероятность рассеяния какой-либо из них в данный элемент телесного угла do была бы равна просто сумме вероятностей от- клонения одной из них на угол #, а движущейся навстречу ей — на угол тг — 0; другими словами, сечение было бы равно В предельном случае малых скоростей амплитуда рассеяния (при достаточно быстро убывающем с расстоянием взаимодей- ствии частиц) стремится к постоянному, не зависящему от углов пределу (§ 132). Из A37.3) видно, что при этом daa обращается в нуль, т. е. рассеиваются друг на друге лишь частицы с четным суммарным спином. В формулах A37.2), A37.3) предполагается, что суммар- ный спин сталкивающихся частиц имеет определенное значение. Если же частицы не находятся в определенных спиновых состо- яниях, то для определения сечения надо произвести усреднение, считая все спиновые состояния равновероятными. В §62 было показано, что из общего числа Bs + IJ раз- личных спиновых состояний системы двух частиц со спином s sBs + 1) состояний соответствует четному, a (s + 1) Bs + 1) —не- четному полному спину (если s — полуцелое), или же наоборот (если s — целое). Предположим сначала, что спин s частиц — по- луцелый. Тогда вероятность системе из обеих сталкивающихся о sBs + l) s частиц иметь четное Ь равна — ? = , а вероятность ^ F Bs + lJ 2s+l' P нечетного S равна . Поэтому сечение рассеяния равно da = -^—das + ^-^daa. A37.4) 2s + 1 2s + 1 § 137 СТОЛКНОВЕНИЯ ОДИНАКОВЫХ ЧАСТИЦ 691 Подставив сюда A37.2), A37.3), получим - °У + /(*)*/(* - В)]} do. A37.5) Аналогичным образом получим при целом s ^ " О)" + /(»)V(f - в)]} do. A37.6) В качестве примера выпишем формулы для столкновения двух электронов, взаимодействующих по закону Кулона {U = = е2/г). Подстановка выражения A35.9) в формулу A37.5) с 5 = 1/2 дает (в обычных единицах) после простого вычисления ) Lin4 @/2 ((9/2) cos4@/2) sin2 ((9/2) cos2 ((9/2) 2 cosf— lntg2-)! do A37.7) V Яг» 2 / J (мы ввели массу mo электрона вместо приведенной массы т = = то/2). Эта формула заметно упрощается, если скорость на- столько велика, что е2 < i;ft (заметим, что это есть как раз условие применимости к кулоновому полю теории возмущений). Тогда косинус в третьем члене молено заменить единицей и получается , / 2е2 \2 4-3sin2<9 , /1Q7 Qx da=[ j) —^-—do. A37.8) \mv ) sm46> \mov Противоположный предельный случай, е2 ^> vH, соответству- ет переходу к классической механике (см. конец §127). В фор- муле A37.7) этот переход происходит весьма своеобразно. При е2 ^> vti косинус в третьем члене в квадратных скобках есть быстро осциллирующая функция. При каждом данном в фор- мула A37.7) дает для сечения рассеяния значение, вообще го- воря, заметно отличающееся от резерфордовского. Однако уже при усреднении по небольшому интервалу значений в осцилли- рующий член в A37.7) исчезает, и мы приходим к классической формуле. Все написанные формулы относятся к системе координат, в которой центр инерции покоится. Переход к системе, в кото- рой до столкновения одна из частиц покоилась, осуществляется, 692 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVII согласно A23.2), просто путем замены в на 2$. Так, для столк- новения электронов получим из A37.7) d(j_ / 2е2 \2Г 1 1 1 V m0v2 ) I sin4 # cos4 d sin2 д cos2 fi x cosf — Intg2 ti) 1 cosдdo, A37.9) где do есть элемент телесного угла в новой системе координат (при замене в на 2$ элемент телесного угла do надо заменить на 4 cos д do, так как sin в d6 dip = 4 cos # sin $ ch9 с?<р).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Столкновения одинаковых частиц» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
