Система, способная к распаду, не обладает, строго говоря, дискретным спектром энергий. Вылетающая из нее при распа- де частица уходит на бесконечность; в этом смысле движение системы инфинитно, а потому энергетический спектр непреры- вен. Может, однако, оказаться, что вероятность распада систе- мы очень мала. Простейший пример такого рода представля- ет частица, окруженная достаточно высоким и широким потен- циальным барьером. Другим источником метастабильности со- стояния может явиться необходимость изменения спина систе- мы при распаде, осуществляющегося за счет слабого спин-ор- битального взаимодействия. Для таких систем с малой вероятностью распада можно вве- сти понятие о квазистационарных состояниях, в которых части- цы движутся в течение длительного времени «внутри системы», покидая ее лишь по истечении значительного промежутка вре- мени т, которое можно назвать продолжительностью жизни данного почти стационарного состояния (г ^ 1/w, где w — ве- роятность распада в единицу времени). Энергетический спектр этих состояний будет квазидискретным] он состоит из ряда раз- мытых уровней, ширина которых Г связана с продолжительно- стью жизни через Г ~ h/r (см. D4.7)). Ширины квазидискрет- ных уровней малы по сравнению с расстояниями между ними. При рассмотрении квазистационарных состояний можно применить следующий формальный метод. До сих пор мы всегда рассматривали решения уравнения Шредингера с граничным условием, требующим конечности волновой функции на беско- нечности. Вместо этого будем теперь искать решения, предста- вляющие собой на бесконечности расходящуюся сферическую волну; это соответствует частице, вылетающей в конце концов из системы при ее распаде. Ввиду того, что такое граничное условие комплексно, нельзя уже утверждать, что собственные х) Это неравенство ранее было получено другим способом Вигнером A955). § 134 РЕЗОНАНС НА КВАЗИДИСКРЕТНОМ УРОВНЕ 675 значения энергии должны быть вещественными. Напротив, в результате решения уравнения Шредингера мы получим набор комплексных значений, которые мы будем писать в виде E = E0-iT/2, A34.1) где Eq и Г —две положительные (см. ниже) величины. Легко видеть, в чем заключается физический смысл ком- плексных значений энергии. Временной множитель волновой функции квазистационарного состояния имеет вид Поэтому все вероятности, определяющиеся квадратами модуля волновой функции, затухают со временем по закону e~Tt/hl). В частности, по этому закону затухает и вероятность нахожде- ния частицы «внутри системы». Таким образом, Г определяет продолжительность жизни со- стояния; вероятность распада в единицу времени равна w = Г/П. A34.2) На больших расстояниях волновая функция квазистационар- ного состояния (расходящаяся волна) содержит множитель экспоненциально возрастающий при г —>> ос (мнимая часть кор- ня отрицательна). Поэтому нормировочный интеграл f \ip\2dV для этих функций расходится. Заметим, кстати, что этим обсто- ятельством разрешается кажущееся противоречие между зату- ханием квадрата |^|2 со временем и тем, что нормировочный г) Заметим, что отсюда видна физическая необходимость положительно- сти Г. Выполнение этого требования автоматически обеспечивается постав- ленным на бесконечности граничным условием к решению волнового урав- нения или эквивалентным ему (см. § 130) правилом обхода в формулах тео- рии возмущений. Пусть переходы с дискретного уровня п в состояния v непрерывного спектра вызываются постоянным возмущением V. Тогда по- правка второго порядка к уровню энергии I -Ev+iQ (ср. C8.10)). По правилу D3.10) находим отсюда Г = -2Im Е{п2) = 2nJ \Vnv\25{E^ - Ev)dv в согласии с выражением D3.1) для вероятности перехода. 676 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVII интеграл должен быть постоянной величиной, как это следует из волнового уравнения. Выясним вид волновой функции, опи- сывающей движение частицы с энергией, близкой к одному из квазидискретных уровней системы. Как и в § 128, напишем асимптотический (на больших рас- стояниях) вид радиальной части волновой функции в форме A28.1) Щ = i [ME) exp(-^pr) +Bl{E) exp(^Epr)] A34.3) и будем рассматривать Е как комплексную переменную. При вещественных положительных значениях Е Rt = -[Аг{Е)егкг + Bi(E)e-tkr], k = ^fi, A34.4) г п причем Аг(Е) = Bf(E) (см. A28.3), A28.4)); функция Вг{Е) берется здесь на верхней стороне разреза, проведенного вдоль правой вещественной полуоси. Условие, определяющее комплексные собственные значения энергии, заключается в отсутствии в асимптотическом выраже- нии A34.3) сходящейся волны. Это означает, что при Е = Ео — гГ/2 должен обратиться в нуль коэффициент Bi(E): 0-V)=0. A34.5) Таким образом, квазидискретные уровни энергии, как и ис- тинные дискретные уровни, являются нулями функции Bi(E). Однако, в отличие от нулей, соответствующих истинным уров- ням, они лежат не на физическом листе. Действительно, написав условие A34.5), мы подразумевали, что искомая волновая функ- ция квазистационарного состояния возникает из того же члена в A34.3), который является расходящейся волной (^ е ) и при Е > 0 (в A34.4)). Но точка Е = Ео — гГ/2 расположена под правой вещественной полуосью. Попасть в нее с верхней сторо- ны разреза (на которой определены коэффициенты в A34.4)), не уходя при этом с физического листа, можно лишь путем обхо- да вокруг точки Е = 0. При этом, однако, л/—Е изменит знак, так что расходящаяся волна превратится в сходящуюся. Следо- вательно, для сохранения расходящегося характера волны пе- реход должен совершаться непосредственно вниз через разрез, так что мы попадем на другой, нефизический, лист. Рассмотрим теперь вещественные положительные значения энергии, близкие к квазидискретному уровню (при этом, конеч- но, подразумевается малость Г; в противном случае такая бли- зость была бы вообще невозможна). Разложив функцию Bi(E) § 134 РЕЗОНАНС НА КВАЗИДИСКРЕТНОМ УРОВНЕ 677 по степеням разности Е — (Eq — iF/2) и ограничиваясь членом первого порядка, напишем ( у, A34.6) где Ъ\ — постоянная. Подставив это в A34.4), получим следую- щее выражение для волновой функции состояния, близкого к квазистационарному: - Ео + ir)bze"*fer]. A34.7) Фаза 5i этой функции дается формулой I ?-*T+,r/J М'<0))' A34 8) где ехрBг(У{0)) = (—l)/+1bf/Ь/. A34.9) При |?? — i?o| ^ Г фаза 5/ совпадает с if , так что 6^ есть значение фазы вдали от резонанса. В области резонанса 5i сильно зависит от энергии. Переписав A34.8) с помощью формулы /о. , лч exp(zarctgA) 1 + гЛ expB^arctgA) = —^ ^—^- = ^v ь J exp(-zarctgA) I - гЛ в виде ^ = ^@) - axctg Г A34.10) 2{Ь — Ьо) видим, что при прохождении через всю резонансную область (от Е <^ Е$ до Е ^> Е$) фаза меняется на тг. При Е = Ео — гГ/2 функция A34.7)сводится к Е> г.* Акт щ = щ е Если нормировать волновую функцию условием равенства еди- нице интеграла от |^|2 по области внутри системы, то полный поток в этой расходящейся волне, равный г?|гГЬ*|2, должен со- впадать с вероятностью распада A34.2). Отсюда найдем \ЪХ\2 = 1/GшГ). A34.11) 678 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVII Полученные результаты позволяют определить амплитуду упругого рассеяния частицы с энергией Е, близкой к некото- рому квазидискретному уровню составной системы, состоящей из рассеивающей системы вместе с рассеиваемой частицей. В общей формуле A23.11) в члене с тем значением /, которому соответствует уровень Е$, надо подставить выражение A34.8). Тогда получим № = f@)@) - 2' + 1F I'] expBtf<°>)fl(coBfl), A34.12) где f(®'F) — амплитуда рассеяния вдали от резонанса, не зави- сящая от свойств квазистационарного состояния (она опреде- ляется формулой A23.11) с Si = 6} во всех членах суммыI). Амплитуду /(°)@) называют амплитудой потенциального рас- сеяния, а второй член в формуле A34.12) — амплитудой резо- нансного рассеяния. Последняя имеет полюс при Е = Е$ — гГ/2, находящийся, согласно сказанному выше, на нефизическом ли- сте2) . Формула A34.12) определяет упругое рассеяние в области резонанса на одном из квазидискретных уровней составной си- стемы. Область ее применимости определяется требованием, чтобы разность \Е — Е$\ была мала по сравнению с расстояни- ем D до соседних квазидискретных уровней \Е-Е0\ <?>. A34.13) Эта формула несколько упрощается, если речь идет о рас- сеянии медленных частиц, т. е. если длина волны частиц в ре- зонансной области велика по сравнению с размерами рассеива- ющей системы. При этом существенно лишь s-рассеяние; будем считать, что уровень Eq относится именно к движению с / = 0. Амплитуда потенциального рассеяния сводится теперь к веще- ственной постоянной —а (см. § 132K). В амплитуде же резонанс- ного рассеяния полагаем / = 0 и заменяем ехрBг5д ) единицей, ) Если речь идет о рассеянии заряженной частицы на системе заряженных частиц, то для фаз б\ надо воспользоваться выражением A35.11). 2) Отметим, что формула A33.15) для резонансного рассеяния медленных частиц на положительном уровне ес//0 при Е, близких к е, полностью соответствует резонансному члену в A34.12). При этом значения Eq и Г даются формулами A33.16), а ввиду малости Е фаза 8\ мала, так что 3) Предполагается, что рассеивающее поле достаточно быстро убывает с расстоянием. В § 145 излагаемые результаты будут применены к рассеянию медленных нейтронов ядрами. § 134 РЕЗОНАНС НА КВАЗИДИСКРЕТНОМ УРОВНЕ 679 поскольку 5q = —otk <С 1. Таким образом, получаем В узкой области \Е — Eq\ ~ Г второй член велик по сравнению с амплитудой а и последняя должна быть опущена. Однако при удалении от точки резонанса оба члена могут сравняться. В приведенных выводах молчаливо подразумевалось, что величина самого уровня Eq не слишком мала, и резонансная область не находится в окрестности точки Е = 0. Если же речь идет о резонансе на первом квазидискретном уровне составной системы, расположенном на расстоянии от точки Е = 0, малом по сравнению с расстоянием до следующего уровня (Eq <С D), то разложение A34.6) может стать незаконным; это проявляется уже в том, что амплитуда A34.14) не стремится при Е —>> 0 к постоянному пределу, как это требовалось бы для s-рассеяния согласно общей теории. Рассмотрим случай близкого к нулю квазидискретного уров- ня, снова предполагая, что в резонансной области рассеиваемые частицы настолько медленны, что существенно лишь s-рассея- ние. Разложение коэффициентов В\(Е) волновой функции долж- но производиться теперь по степеням самой энергии Е. Точка Е = 0 является точкой разветвления функций В\(Е), причем обход вокруг нее с верхней на нижнюю сторону разреза пре- вращает Bi(E) в Bf(E). Это значит, что разложение происхо- дит по степеням у/—Е, меняющего знак при указанном обходе. Представим первые члены разложения функции Bq(E) для ве- щественных положительных Е в виде В0(Е) = (Е-ео + ijVE)bo(E), A34.15) где sq и 7 — вещественные постоянные, а Ьо(Е)— функция энер- гии, тоже разлагаемая по степеням лЛБ, но не имеющая нулей вблизи точки Е = О1). Квазидискретному уровню Е = Eq — гГ/2 соответствует обращение в нуль множителя Е — 8q + i'yvE, про- долженного в нижнюю полуплоскость нефизического листа; по- этому для определения Е$ и Г имеем уравнение 11 Е0--Т-е0 + i^VEo ~ гТ/2 = 0 A34.16) 2 г) Функция Ьо(Е) определяет, согласно A34.9), фазу потенциального рас- сеяния. При рассеянии медленных частиц первые члены ее разложения: bo(E) = const -гA + гак). 680 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVII (постоянные ео и 7 должны быть положительными для того, чтобы были положительными Е$ и Г). Так, уровню с шириной Г <С Eq соответствует соотношение во ^> 72 между постоянны- ми во и 7- При этом из A34.16) имеем Е$ = во, Г = 27д/^о- Выражение A34.15) заменяет собой в рассматриваемом слу- чае формулу A34.6); соответствующим образом должны быть изменены дальнейшие формулы (надо заменить везде Е$ на eq и Г на 2jy/E). Поэтому для амплитуды рассеяния получим вместо A34.14) следующее выражение: / = -а. ~ -i= — f- A34.17) (мы подставили здесь к = у2тЕ/И, где т — приведенная масса частицы и рассеивающей системы). При Е —>• 0 эта амплитуда стремится, как и следует, к постоянному пределу (тем самым оправдывается форма разложения A34.15)). Отметим, что выражение вида A34.17) включает в себя так- же и случай близкого к нулю истинного дискретного уровня составной системы, получающийся при соответствующем соот- ношении между постоянными ео и 7- Если \ео\ <С 72? то Для энергий Е ^С 72 в знаменателе резонансного члена можно пре- небречь первым членом (Е). Пренебрегая также амплитудой потенциального рассея- ния а, получим формулу / = —[гк — V2mso/Hj]~1J совпадающую с формулой A33.7) (причем н = —^/2тео/Н/у). Она соответствует резонансу на уровне Е = ?q/72? являющемся истинным или виртуальным дискретным уровнем в зависимости от того, положительна или отрицательна постоянная к.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Резонанс на квазидискретном уровне» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
