Рассмотрим свойства упругого рассеяния в предельном слу- чае малых скоростей рассеиваемых частиц. Именно, скорость предполагается настолько малой, что длина волны частицы велика по сравнению с радиусом а действия поля U® (т. е. ка ^С 1), а ее энергия мала по сравнению с величиной поля внут- ри этого радиуса. Решение этого вопроса требует выяснения предельного закона зависимости фаз Si от волнового вектора к при малых значениях последнего. г) Формула C) (как и A31.4)) теряет применимость при слишком больших 2, когда сказываются дифракционные эффекты. 2) Напомним, что эта формула (при q ф 0) может быть получена (как было объяснено в тексте) и без применения уравнения Шредингера в потен- циальном поле. (Угол рассеяния обозначим через в в отличие от полярного угла (р.) 658 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVII При г < а в точном уравнении Шредингера A23.7) молено пренебречь лишь членом с к2: Щ + 1Щ _ l^^Rl = ^-U®Ri. A32.1) В области же а <С г <С 1/к молено опустить также и член с U®, так что остается ДЧ-Д{-^1)^ = 0. A32.2) Общее решение этого уравнения Ч-щ:. A32.3) Значения постоянных с\ и С2 могут быть в принципе определе- ны лишь путем решения уравнения A32.1) с конкретной функ- цией U(г); они, разумеется, различны для разных /. На еще больших расстояниях, г ^ 1/fc, в уравнении Шре- дингера может быть опущен член с С/(г), но при этом нельзя пренебрегать /с2, так что имеем Д" + -R[ + \k2 - ^4^1 Rl = °> A32.4) т. е. уравнение свободного движения. Решение этого уравнения (см. § 33) . A32-5> Постоянные коэффициенты выбраны здесь таким образом, что- бы при fcr С 1 это решение переходило в A32.3); тем самым достигается «сшивание» решения A32.3) в области fcr < 1 с ре- шением A32.5) в области кг ~ 1. Наконец, при кг ^ 1 решение A32.5) принимает асимптоти- ческий вид (см. § 33) . . 7 .... сък1 sin [кг Н cos Эта сумма может быть представлена в виде (*-?)• Дг «const--sin('A;r-y + б\ A32.6) § 132 РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ ЧАСТИЦ 659 где фаза Si определяется равенством (ввиду малости к все фазы Si оказываются малыми). Согласно A23.15) парциальные амплитуды рассеяния Л - — (e2iSl -1Ь- и мы приходим к выводу, что в предельном случае малых энер- ГИЙ /, оо к'1. A32.8) Таким образом, все парциальные амплитуды с I ф 0 оказы- ваются малыми по сравнению с амплитудой рассеяния с I = О (или, как говорят, s-рассеяния). Пренебрегая ими, имеем для полной амплитуды № ~ /о = т = ~ = -«. A32.9) к с\ так что da = a2d6, а полное сечение <т = 4тга2. A32.10) При малых скоростях рассеяние оказывается изотропным по всем направлениям, а его сечение не зависит от энергии ча- стиц1). Постоянную величину а называют длиной рассеяния] она может быть как положительной, так и отрицательной. В изложенных рассуждениях молчаливо подразумевалось, что поле U(г) убывает на больших расстояниях (г ^> а) доста- точно быстро для того, чтобы сделанные пренебрежения были законными. Легко выяснить, какова именно должна быть тре- буемая быстрота убывания U®. При больших г второй член в функции Ri A32.3) мал по сравнению с первым. Для того что- бы его сохранение было тем не менее законным, оставленные в уравнении A32.2) малые члены ^ С2/г^+1г2 должны быть все же велики по сравнению с членом URi ~ \Jc\r1, опущенным при переходе от A32.1) к A32.2). Отсюда следует, что U® должно г) При рассеянии электронов на атомах роль длины а, с которой должно сравниваться 1/к (условие ка <^С 1), играет атомный радиус, достигающий для сложных атомов нескольких боровских радиусов (нескольких Н2/те2). Ввиду большой величины этого радиуса постоянство сечения фактически имеет в этом случае место лишь до энергий порядка долей электрон-воль- та. При больших же энергиях электронов появляется сильная зависимость сечения от энергии (так называемый эффект Рамзауэра). 660 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVII убывать быстрее, чем 1/г2^+3, для того чтобы был справедли- вым закон A32.8) для парциальной амплитуды //. В частности, вычисление /о, а потому и результат A32.9) о не зависящем от энергии изотропном рассеянии справедливы лишь при более быстром, чем 1/г3, убывании С/(г) на больших расстояниях. Если поле U(г) убывает на больших расстояниях по экспо- ненциальному закону, то молено сделать определенные заключе- ния о характере дальнейших членов разложения амплитуд // по степеням к. Мы видели в § 128, что в этом случае амплитуда //, рассматриваемая как функция комплексной переменной Е, ве- щественна при вещественных отрицательных значениях Е1). То же самое относится поэтому и к функции gi(E) в выражении A25.15) (при Е < 0 гк вещественно). С другой стороны, функция gi(E) вещественна (по ее определению) при Е > 0. Таким образом, функция gi(E) оказывается вещественной при всех веществен- ных Е, а потому должна разлагаться по целым степеням Е, т. е. по четным степеням к. О самой же амплитуде fi(k) можно, сле- довательно, сказать, что она разлагается по целым степеням гк] все члены с четными степенями к вещественны, а члены с нечет- ными степенями к мнимы. Согласно A32.8) разложение fi(k) начинается с члена ~ Si/к со к21] соответственно этому разло- жение gi(k) начинается с члена, пропорционального к~21. При убывании поля на больших расстояниях по степенному закону U « (Зг~п сп^З результат A32.9) о постоянной ампли- туде, как уже было указано, несправедлив. Рассмотрим ситуацию, возникающую при различных значе- ниях п. Для п ^ 1 при достаточно малых скоростях, практиче- ски при всех значениях прицельного параметра р выполняется условие p\U{p)\ ^Hv A32.11) и потому рассеяние описывается классическими формулами (ср. условие A27.9)). При 1 < п < 2 неравенство A32.11) выполняется в значи- тельной области не слишком больших р; соответственно этому оказывается классическим рассеяние на не слишком малые углы. 1)При малых Е условие A28.6) выполняется уже для убывания U по за- кону е~Г//а. § 132 РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ ЧАСТИЦ 661 В то же время существует область значений р, для которых p\U(p)\<&Hv, A32.12) т. е. выполняется условие применимости теории возмущений (ср. A26.2)). При п > 2 на больших расстояниях имеет место неравенство \U\ « ?,, A32.13) и поэтому вклад в рассеяние, возникающий от взаимодействия на этих расстояниях, может быть вычислен с помощью теории возмущений (в то время как на более близких расстояниях усло- вие применимости теории возмущений может и не выполнять- сяI). Пусть го есть такое значение г, что при г ^> г о имеет место неравенство A32.13), и в то же время го <С 1/к. Вклад в амплитуду рассеяния от области расстояний г ^ го, согласно A26.12), дается интегралом A32.14) При 2 < п < 3 этот интеграл сходится на нижнем пределе и для малых скоростей (кго <С 1) можно заменить этот предел нулем, так что интеграл оказывается пропорциональным q~^~n\ т. е. отрицательной степени скорости. Этот вклад в амплитуду является, следовательно, в данном случае основным, так что / оо g"C"n), 2 < п < 3. A32.15) Тем самым определяется зависимость сечения рассеяния от ско- рости частиц и от угла рассеяния. При п = 3 интеграл A32.14) расходится логарифмически на нижнем пределе. При этом он все еще является главной частью амплитуды рассеяния, так что ^ n = 3. A32.16) Q При п > 3 вклад от области г ^ го убывает при к —>> О и рассеяние определяется постоянной амплитудой A32.9). Од- нако вклад A32.14) в амплитуду рассеяния, несмотря на свою ) Рассеяние при малых скоростях нигде не становится в этом случае ква- зиклассическим, так как неравенство A32.11) оказывается несовместимым с одновременно требуемым условием |?7(р)| < Е. 662 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVII относительную малость, и в этом случае представляет опреде- ленный интерес в силу его «аномальности». «Нормальной» си- туацией при достаточно быстром убывании U(г) является раз- ложимость f(k) по целым степеням /с, причем все веществен- ные члены разложения оказываются пропорциональными чет- ным степеням к. Между тем, взяв интеграл A32.14) несколько раз по частям (понижая при этом степень ? в знаменателе), мы выделим из него часть, содержащую четные степени fc, после че- го останется сходящийся при qro —>> 0 интеграл, пропорциональ- ный степени &п~3, которая, вообще говоря, не является четной1).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Рассеяние медленных частиц» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
