Ряд важных свойств амплитуды рассеяния может быть уста- новлен путем изучения ее как функции энергии рассеиваемой частицы Е, формально рассматриваемой как комплексная пере- менная. Рассмотрим движение частицы в поле U(г), достаточно быст- ро обращающемся на бесконечности в нуль, — требуемая сте- пень быстроты убывания будет указана ниже. Для упрощения последующих рассуждений будем сначала считать, что орби- тальный момент частицы / = 0. Напишем асимптотический вид г) Строго говоря, к этой амплитуде следует добавить член, отвечающий вкладу в рассеяние на малые углы от прицельных расстояний р —>• сю. Этот вклад, однако, вообще говоря, мал по сравнению с написанным. 2) Этот тип рассеяния называют сиянием в связи с определенными метео- рологическими явлениями, в теории которых он встречается. 636 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVII волновой функции — решения уравнения Шредингера с / = 0 для произвольного заданного значения Е— в форме = гф = А(Е) exp(-V 2™Er) + В(Е) ехр( и будем рассматривать Е как комплексную переменную; будем при этом определять V'—Е как положительную величину при вещественных отрицательных значениях Е. Волновая функция предполагается нормированной каким-либо определенным усло- вием, скажем, условием ф@) = 1. На левой части вещественной оси (Е < 0) экспоненциаль- ные множители в первом и втором членах в A28.1) веществен- ны; один из них убывает, а другой возрастает при г —>• ос. Из условия вещественности х следует, что функции А(Е) и В(Е) вещественны при Е < 0; в свою очередь отсюда следует, что эти функции имеют комплексно сопряженные значения в любых двух точках, расположенных симметрично относительно веще- ственной оси: А(Е*) = А*(Е), В(Е*) = В*(Е). A28.2) Совершая переход с левой вещественной полуоси на правую полуось через верхнюю полуплоскость, мы получим асимптоти- ческое выражение для волновой функции при Е > 0 в виде Х = А(Е)егкг + В(Е)е-гкг, к = ^^. A28.3) Если же произвести переход через нижнюю полуплоскость, то мы получим бы X = A*(E)e~ikr + B*(E)eikr' Поскольку х должна быть однозначной функцией Е, это значит, что А{Е) = В*(Е) при Е > 0 A28.4) (это соотношение следует также и непосредственно из веще- ственности х ПРИ Е > 0). Однако, благодаря неоднозначности корня у/—Е в A28.1), сами коэффициенты А(Е) и В(Е) неодно- значны. Для устранения этой неоднозначности разрежем ком- плексную плоскость вдоль правой вещественной полуоси. На- личие разреза делает однозначным л/—Е и тем самым обеспе- чивает однозначность определения функций А(Е) и В(Е). При этом на верхнем и нижнем краях разреза эти функции имеют комплексно сопряженные значения (в выражении A28.3) А(Е) и В(Е) берутся на верхнем краю разреза). § 128 АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ 637 Разрезанную указанным образом комплексную плоскость бу- дем называть физическим листом римановой поверхности. Со- гласно принятому нами определению на всем этом листе имеем Re V^E > 0. A28.5) В частности, на верхнем краю разреза определенный таким образом л/—Е переходит в —г^/Ё1). В A28.3) множители егкг и е~гкг, а с ними и оба члена в X—одинакового порядка величины; асимптотическое выраже- ние вида A28.3) поэтому всегда законно. На всем же остальном физическом листе первый член в A28.1) экспоненциально зату- хает, а второй — возрастает при г —>> ос (ввиду A28.5)). Поэтому оба члена в A28.1) оказываются различного порядка величины и это выражение, как асимптотическая форма волновой функ- ции, может оказаться незаконным — малый член в нем на фоне большого может оказаться недопустимым превышением точно- сти. Для законности выражения A28.1) отношение малого члена к большому не должно быть меньше относительного порядка ве- личины потенциальной энергии (U/E), которой пренебрегают в уравнении Шредингера при переходе к асимптотической обла- сти. Другими словами, поле С/(г) должно удовлетворять усло- вию: U® убывает при г —>> ос быстрее, чем г Re у—Е). A28.6) Если это условие выполняется для любого Re л/—Е > 0, т. е. если U(г) убывает быстрее, чем е"сг A28.6а) с любой положительной постоянной с, асимптотическое выра- жение вида A28.1) справедливо на всем физическом листе. Бу- дучи решением уравнения с конечными коэффициентами, оно не имеет особенностей по Е. Это значит, что функции А(Е) и В(Е) регулярны на всем физическом листе, за исключением точки Е = 0; последняя, будучи точкой начала разреза, являет- ся точкой разветвления этих функций. ) Везде ниже в этом параграфе мы изучаем свойства амплитуды рассея- ния на физическом листе. В дальнейшем, однако, нам придется в некоторых случаях рассматривать также и второй, нефизический лист римановой по- верхности (см. § 134). На этом листе Re^?<0. A28.5 а) Переход с правой полуоси на нефизический лист осуществляется непосред- ственно вниз, через разрез. 638 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVII Связанным состояниям частицы в поле С/(г) соответствуют волновые функции, обращающиеся при г —>• ос в нуль. Это зна- чит, что второй член в A28.1) должен отсутствовать, т.е. дис- кретным уровням энергии соответствуют нули функции В(Е). Поскольку уравнение Шредингера имеет лишь вещественные собственные значения, все нули В(Е) на физическом листе ве- щественны (и расположены на левой части вещественной оси). Функции А(Е) и В(Е) при Е > 0 непосредственно связаны с амплитудой рассеяния в поле U®. Действительно, сравнив A28.3) с асимптотическим выражением %, написанным в форме C3.20) X = const .[e*(fer+*°) - е-»(*'+*>)]? A28.7) мы видим, что -Ш=е2г5о(Е)- A28-8) Амплитуда же рассеяния с моментом / = 0 есть, согласно A23.15), /о = — (еШо - 1) = , П (- + lV A28.9) при этом А и В берутся на верхнем краю разреза. Рассматривая теперь амплитуду рассеяния как функцию Е на всем физическом листе, мы видим, что дискретные уровни энергии являются ее простыми полюсами. Если поле U(г) удо- влетворяет условию A28.6а), то, согласно сказанному выше, ам- плитуда рассеяния не имеет других особых точекх). Вычислим вычет амплитуды рассеяния относительно полю- са, который она имеет в каком-либо дискретном уровне Е = = Eq < 0. Для этого напишем уравнения, которым удовлетворя- ют функция % и ее производная по энергии: х +(Eu) o у) +№^)| Умножив первое на дх/дЕ, второе — на %, вычтя почленно одно из другого и проинтегрировав по dr, получим о х) За исключением точки Е = 0, являющейся особой ввиду указанной вы- ше особенности функций А{Е) и В(Е). Амплитуда рассеяния, однако, оста- ется при Е —>• 0 конечной (см. §132). Ниже мы, для краткости, не будем каждый раз делать эту оговорку. § 128 АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ 639 Применим это соотношение при Е = Е$ и г —>• ос. Интеграл в правой части равенства при г —>• ос обращается в единицу, если волновая функция связанного состояния нормирована обычным условием f x2dr = 1. В левую же часть подставляем х из A28.1), учитывая при этом, что вблизи точки Е = Eq А(Е) _, В результате получаем /3 = — —^ л 7 С помощью этих выражений найдем, что вблизи точки Е = = Ео главный член в амплитуде рассеяния (совпадающий с ам- плитудой для / = 0) имеет следующий вид: / = -**-** . A28.11) J 2т Е+\Е0\ V } Таким образом, вычет амплитуды рассеяния в дискретном уров- не определяется коэффициентом Ао в асимптотическом выраже- нии A28.12) нормированной волновой функции соответствующего стацио- нарного состояния. Возвращаясь к исследованию аналитических свойств ампли- туды рассеяния, рассмотрим случаи, когда условие A28.6а) не выполняется. В таких полях в выражении A28.1) лишь возраста- ющий член является корректной частью асимптотической фор- мы решения уравнения Шредингера на всем физическом ли- сте. Соответственно этому, можно по-прежнему утверждать, что функция В(Е) не имеет особенностей. Функция же А(Е) в этих условиях может быть определена в комплексной плоскости лишь как аналитическое продолжение функции, представляющей собой коэффициент в асимптотиче- ском выражении х на правой вещественной полуоси, где оба чле- на в х являются законными. Такое продолжение, однако, дает теперь, вообще говоря, различные результаты в зависимости от того, производится ли оно с верхней или с нижней стороны раз- реза. Для достижения однозначности мы условимся определять А(Е) в верхней и нижней полуплоскостях как аналитические продолжения соответственно с верхней и нижней сторон пра- вой полуоси; разрез же при этом должен быть, вообще говоря, 640 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVII продолжен на всю вещественную ось. Определенная таким обра- зом функция по-прежнему обладает свойством А(Е*) = А*(Е), но, вообще говоря, не вещественна ни на правой, ни на левой части вещественной оси. Она может также в принципе обладать особенностями. Покажем, однако, что существует тем не менее категория полей, для которых функция А(Е) не обладает особенностями внутри физического листа, хотя условие A28.6а) не выполня- ется. Для этого будем рассматривать % как функцию комплекс- ного г при заданном (комплексном) значении Е. При этом до- статочно ограничиться значениями Е в верхней полуплоскости, поскольку значения функции А(Е) в обеих полуплоскостях ком- плексно сопряжены друг с другом. Для таких значений г, при которых Ег2 есть вещественное положительное число, оба члена в волновой функции A28.1) одинакового порядка, т.е. мы воз- вращаемся к той ситуации, которая имеет место для Е > 0 и ве- щественных г, когда оба члена в асимптотическом выражении х законны при любом стремящемся на бесконечности к нулю по- ле U(г). Поэтому можно утверждать, что А(Е) не может иметь особых точек при таких значениях Е, для которых С/(г) —>• 0, когда г стремится к ос вдоль луча, на котором Ег > 0. Ко- гда Е пробегает все значения в верхней полуплоскости, усло- вие Ег2 > 0 выделяет правый нижний квадрант плоскости ком- плексного г. Таким образом, мы приходим к выводу, что А(Е) не имеет особенностей внутри физического листа также и в слу- чаях, когда U(г) удовлетворяет условию1) U(г) —>• 0, когда г —>• ос в правой полуплоскости A28.13) (Л.Д.Ландау, 1961). Условия A28.6а) и A28.13) охватывают очень широкую ка- тегорию полей. Поэтому можно сказать, что амплитуда рассея- ния, как правило, не имеет особенностей внутри обеих полуплос- костей. На самой же левой полуоси (которая входит в состав физического листа при отсутствии разреза на ней) амплитуда рассеяния имеет полюсы, соответствующие энергиям связанных состояний; при наличии разреза здесь могут находиться и другие особенности. х) Ввиду вещественности U® на вещественной оси имеет место равенство U(г*) = U*(г); поэтому выполнение условия A28.13) в нижнем правом квад- ранте автоматически означает его выполнение во всей правой полуплоско- сти. § 128 АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ 641 Последнее имеет место, в частности, для полей вида U = const -rne-r/a A28.14) (с любым п). На отрезке 0 < — Е < Н2/(8та2) левой полуоси выполняется условие A28.6), так что на нем не должно быть разреза, и амплитуда рассеяния имеет здесь лишь полюсы, со- ответствующие связанным состояниям. На остальной части ле- вой полуоси могут иметься также и лишние полюсы и другие особенности (S. Т.Ма, 1946). Их появление связано с тем, что функция A28.14) перестает стремится к нулю, когда г —>> ос вдоль луча, на котором Ег2 > 0, сразу же как только Е по- падает под левую полуось (т. е. указанный луч попадает влево за мнимую ось плоскости комплексного г). Далее, рассмотрим аналитические свойства амплитуды рас- сеяния при \Е\ —>> ос. Когда Е —>> +ос вдоль вещественной оси, справедливо борновское приближение и амплитуда рассеяния стремится к нулю. Согласно сказанному выше такая же ситу- ация имеет место при стремлении Е к бесконечности в ком- плексной плоскости вдоль какой-либо прямой ajcgE = const, если при этом рассматривать такие комплексные значения г, для которых Ег2 > 0. Если U —>• 0, когда г —>• ос вдоль пря- мой argr = — (l/2)arg?? и никаких особых точек на этой пря- мой U(г) не имеет, то выполнено условие применимости борнов- ского приближения и амплитуда рассеяния по-прежнему стре- мится к нулю. Когда a,rgE пробегает все значения от 0 до тг, argr пробегает значения от 0 до — тг/2. В результате мы приходим к заключению, что амплитуда рассеяния стремится к нулю на бесконечности во всех направ- лениях в плоскости Е, если функция U(г) в правой полуплос- кости г не имеет особых точек и стремится к нулю на бесконеч- ности. Хотя мы говорили выше все время о рассеянии с моментом / = 0, но в действительности все изложенные результаты спра- ведливы и для парциальных амплитуд рассеяния с любым от- личным от нуля моментом. Разница в выводах состоит лишь в том, что вместо множителей е±гкг в асимптотических выраже- ниях х надо было бы писать точные радиальные волновые функ- ции свободного движения C3.16I). 1) Пользоваться же предельной формой C3.17) этих функций допустимо лишь при Е > 0; в остальной плоскости Е, где оба члена в \—различных порядков величины, использование этих предельных выражений внесло бы в х ошибку, вообще говоря, большую, чем ошибка, соответствующая прене- брежению U в уравнении Шредингера. 642 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVII Некоторые изменения надо ввести, при / ф О, в формулы A28.9) и A28.11). Вместо A28.7) имеем теперь yj = rR\ = const • < exp \i(kr —-+SA — exp — i(kr —- + 5i)\ > A28.15) и для парциальной амплитуды // (определенной согласно A23.15)) получим Н \ l A28.16) Главный ж:е член в амплитуде рассеяния вблизи уровня Е = Eq с моментом / дается, вместо A28.11), формулой A28.17)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Аналитические свойства амплитуды рассеяния» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
