ДИПЛОМНІ КУРСОВІ РЕФЕРАТИ


ИЦ OSVITA-PLAZA

Реферати статті публікації

Пошук по сайту

 

Пошук по сайту

Головна » Реферати та статті » Фізика » Теоретична фізика у 10 томах

Формула Борна
Сечение рассеяния может быть вычислено в общем виде в
очень важном случае, когда рассеивающее поле может рассма-
триваться как возмущение1). В § 45 было показано, что это
возможно при выполнении хотя бы одного из двух условий:
\U\ « -^ A26.1)
та
или
\U\ < - = ^-ка, A26.2)
а та
где а — радиус действия поля t/®, a U— порядок его величины
в основной области его существования. При выполнении первого
) В развитой в § 123 общей теории это приближение соответствует случаю,
когда все фазы 6i малы; сверх того, необходимо, чтобы эти фазы могли быть
вычислены из уравнения Шредингера, в котором потенциальная энергия
рассматривается как возмущение (см. задачу 4).
§ 126 ФОРМУЛА БОРНА 623
условия рассматриваемое приближение применимо при всех ско-
ростях. Из второго же условия видно, что оно во всяком случае
применимо для достаточно быстрых частиц.
В соответствии с § 45 ищем волновую функцию в виде ф =
= ф^ + ^ , гДе Ф = е%^г соответствует падающей частице с
волновым вектором к = р/Н. Из формулы D5.3) имеем
^. A26.3)
Выбрав рассеивающий центр в качестве начала координат, вве-
дем радиус-вектор Ro в точку наблюдения ф^ и обозначим че-
рез п7 единичный вектор в направлении Rq. Пусть радиус-вектор
элемента объема dV' есть г', тогда R = Ro — г7. На больших рас-
стояниях от центра Rq ^> г7, так что
R= |R0-r7| ^Яо-r'n'.
Подставив это в A26.3), получим следующее асимптотическое
выражение для ^
(где к7 = кп' — волновой вектор частицы после рассеяния).
Сравнивая с определением амплитуды рассеяния в A23.3), по-
лучим для нее выражение
J A26.4)
в котором мы произвели переобозначение переменных интегри-
рования и ввели вектор
q = k7 - к A26.5)
с абсолютной величиной
0
q = 2ksm -, A26.6)
где в — угол между к и к7, т.е. угол рассеяния.
Наконец, возведя в квадрат модуль амплитуды рассеяния, по-
лучим следующую формулу для сечения рассеяния в элемент
телесного угла do:
2
da =
Ue~lcirdV
do. A26.7)
624 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVII
Мы видим, что рассеяние с изменением импульса на Ты\ опре-
деляется квадратом модуля соответствующей компоненты Фу-
рье поля U. Формула A26.7) была впервые получена Борном
(М. Вот, 1926); такое приближение в теории столкновений часто
называют борновским приближением.
Отметим, что в этом приближении имеет место соотношение
') = /*(k',k) A26.8)
между амплитудами прямого и обратного (в буквальном смысле
слова) процессов рассеяния, т. е. процессов, отличающихся друг
от друга перестановкой начального и конечного импульсов, без
изменения их знаков, как при обращении времени. Таким обра-
зом, в рассеянии появляется дополнительное (помимо теоремы
взаимности A25.12)) свойство симметрии. Это свойство тесно
связано с малостью амплитуд рассеяния в теории возмущений
и непосредственно следует из условия унитарности A25.8), если
пренебречь в нем интегральным членом, квадратичным по f1).
Формула A26.7) может быть получена также и другим спо-
собом (который, однако, оставляет неопределенной фазу ампли-
туды рассеяния). Именно, мы можем исходить из общей форму-
лы D3.1), согласно которой вероятность перехода между состо-
яниями непрерывного спектра дается формулой
dwfi = ^-\Ufi\25(Ef-Ei)dvf.
В данном случае мы должны применить эту формулу к пере-
ходу из состояния падающей свободной частицы с импульсом р
в состояние частицы с импульсом р', рассеянной в элемент те-
лесного угла do'. В качестве интервала состояний dvj выбираем
б?3У/BтгЯK. Подставив для разности конечной и начальной энер-
гий Ef — Ei = (p/2 - р2)/2га, имеем
dwplp = 4J^\UP>P\25(PI2-P2)@^- A26.9)
Волновые функции падающей и рассеянной частиц — плоские
волны. Поскольку в качестве интервала состояний dvj выбран
элемент пространства р/BтгЯ), то конечная волновая функция
должна быть нормирована на 5-функцию от р/BтгН):
<ф , = е^г'п. A26.10)
х) Отсюда ясно, что это свойство исчезает уже при переходе ко второму
приближению теории возмущений. Мы убедимся в этом непосредственным
образом в § 130 в связи с формулой A30.13).
§ 126 ФОРМУЛА БОРНА 625
Начальную же волновую функцию нормируем на единичную
плотность потока
^ A26.11)
Тогда выражение A26.9) будет иметь размерность площади и
представляет собой дифференциальное сечение рассеяния.
Наличие ^-функции в формуле A26.9) означает, что р1 = р,
т. е. абсолютная величина импульса не меняется, как и должно
быть при упругом рассеянии. Можно исключить 5-функцию, пе-
рейдя к сферическим координатам в импульсном пространстве
(т.е. заменив $р' на pf2dpfdof = {l/2)p'd(pl2)do') и проинтегри-
ровав по d{p'2). Интегрирование сводится к замене абсолютного
значения р1 на р в подынтегральном выражении, и мы получим
da =
тр
/•
do1.
Подставив сюда функции A26.10), A26.11), мы снова вернемся
к формуле A26.7).
В виде A26.7) эта формула применима к рассеянию в поле
XJ{x,y,z\ являющемся функцией от координат в любой их ком-
бинации, а не только от г. Но в случае центрального поля U(г)
она может быть подвергнута дальнейшему преобразованию.
В интеграле
воспользуемся сферическими пространственными координатами
г, $, (р с полярной осью, выбранной в направлении вектора q
(полярный угол обозначаем через $ в отличие от угла рассея-
ния в). Интегрирование по $ и <р может быть произведено, и в
результате получим
оо 2тг тг
Г I [u®eiqrcos*r2smtfd$d(pdr = 47r f
0 0 0
Подставив это выражение в A26.4), получим следующую форму-
лу для амплитуды рассеяния в центрально-симметричном поле:
A26.12)
626 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVII
При в = 0 (т. е. q = 0) стоящий здесь интеграл расходится,
если U(г) убывает на бесконечности, как 1/г3, или медленнее
(в согласии с общими результатами § 124).
Обратим внимание на следующее интересное обстоятель-
ство. Импульс р частицы и угол рассеяния в входят в A26.12)
только через q. Таким образом, в борновском приближении се-
чение рассеяния зависит отрий только в комбинации psm(9/2).
Возвращаясь к общему случаю произвольных полей U(x, у, z),
рассмотрим предельные случаи малых (к а <С 1) и больших
(ка ^> 1) скоростей.
При малых скоростях можно в интеграле A26.4) положить
е~щг « 1, так что амплитуда рассеяния
/ = —^ / UdV, A26.13)
а если U = U®, то
j = _2mf [/®r2dr. A26.14)
Рассеяние оказывается здесь изотропным по направлениям и не
зависящим от скорости, что находится в согласии с общими ре-
зультатами § 132.
В обратном предельном случае больших скоростей рассея-
ние резко анизотропно и направлено вперед, в узком конусе с
углом раствора Д# ~ 1/ка. Действительно, вне этого конуса ве-
личина q велика, множитель е~щг есть быстро осциллирующая
функция и интеграл от его произведения на медленно меняющу-
юся функцию U близок к нулю.
Закон убывания сечения при больших значениях q не явля-
ется универсальным и зависит от конкретного вида поля. Если
поле U(г) имеет какую-либо особенность при г = 0 или при ка-
ком-либо другом вещественном значении г, то определяющую
роль в интеграле в A26.12) играет область вблизи этой точки
и убывание сечения происходит по степенному закону. То же
самое относится и к случаю, когда функция U® не имеет осо-
бенности, но не является четной—основную роль в интеграле
играет при этом область вблизи г = 0. Если же U® есть четная
функция г, то интегрирование можно формально распростра-
нить и на отрицательные значения г, т. е. производить его вдоль
всей вещественной оси переменной г, после чего (если U(г) не
имеет особых точек на вещественной оси) можно сместить путь
интегрирования в комплексную область до его «зацепления» за
ближайшую комплексную особую точку. В результате при боль-
ших q интеграл оказывается убывающим по экспоненциальному
§ 126 ФОРМУЛА БОРНА 627
закону. Следует, однако, иметь в виду, что для вычисления этой
экспоненциально малой величины борновское приближение, во-
обще говоря, непригодно (см. также § 131).
Хотя величина дифференциального сечения рассеяния внут-
ри конуса Ав ~ 1/ка от скорости в основном не зависит, но,
благодаря уменьшению угла раствора конуса, полное сечение
рассеяния (если интеграл f da вообще сходится) при больших
энергиях убывает. Именно, полное сечение убывает вместе с
величиной телесного угла, вырезываемого конусом, пропорци-
онально (АвJ ~ 1/к2а2, т.е. обратно пропорционально энергии.
Во многих физических применениях теории столкновений
в качестве величины, характеризующей рассеяние, фигурирует
интеграл
atr = /A - cos 6)da, A26.15)
называемый часто транспортным сечением. Соображения, ана-
логичные указанным выше, показывают, что при больших ско-
ростях эта величина обратно пропорциональна квадрату энер-
гии.

Ви переглядаєте статтю (реферат): «Формула Борна» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»

Заказать диплом курсовую реферат
Реферати та публікації на інші теми: МАКРОЕКОНОМІЧНЕ РЕГУЛЮВАННЯ ІНВЕСТИЦІЙНОГО ПРОЦЕСУ
Контроль за дотриманням розрахункової дисципліни
Оцінка підприємства на ринку факторів виробництва та на ринку збу...
Аудит Звіту про власний капітал
ПРАКТИКА ВИКОРИСТАННЯ РІЗНИХ ФОРМ ФІНАНСОВОЇ САНАЦІЇ НА ПРИКЛАДІ ...


Категорія: Теоретична фізика у 10 томах | Додав: koljan (26.11.2013)
Переглядів: 822 | Рейтинг: 0.0/0
Всього коментарів: 0
Додавати коментарі можуть лише зареєстровані користувачі.
[ Реєстрація | Вхід ]

Онлайн замовлення

Заказать диплом курсовую реферат

Інші проекти




Діяльність здійснюється на основі свідоцтва про держреєстрацію ФОП