Сечение рассеяния может быть вычислено в общем виде в очень важном случае, когда рассеивающее поле может рассма- триваться как возмущение1). В § 45 было показано, что это возможно при выполнении хотя бы одного из двух условий: \U\ « -^ A26.1) та или \U\ < - = ^-ка, A26.2) а та где а — радиус действия поля t/®, a U— порядок его величины в основной области его существования. При выполнении первого ) В развитой в § 123 общей теории это приближение соответствует случаю, когда все фазы 6i малы; сверх того, необходимо, чтобы эти фазы могли быть вычислены из уравнения Шредингера, в котором потенциальная энергия рассматривается как возмущение (см. задачу 4). § 126 ФОРМУЛА БОРНА 623 условия рассматриваемое приближение применимо при всех ско- ростях. Из второго же условия видно, что оно во всяком случае применимо для достаточно быстрых частиц. В соответствии с § 45 ищем волновую функцию в виде ф = = ф^ + ^ , гДе Ф = е%^г соответствует падающей частице с волновым вектором к = р/Н. Из формулы D5.3) имеем ^. A26.3) Выбрав рассеивающий центр в качестве начала координат, вве- дем радиус-вектор Ro в точку наблюдения ф^ и обозначим че- рез п7 единичный вектор в направлении Rq. Пусть радиус-вектор элемента объема dV' есть г', тогда R = Ro — г7. На больших рас- стояниях от центра Rq ^> г7, так что R= |R0-r7| ^Яо-r'n'. Подставив это в A26.3), получим следующее асимптотическое выражение для ^ (где к7 = кп' — волновой вектор частицы после рассеяния). Сравнивая с определением амплитуды рассеяния в A23.3), по- лучим для нее выражение J A26.4) в котором мы произвели переобозначение переменных интегри- рования и ввели вектор q = k7 - к A26.5) с абсолютной величиной 0 q = 2ksm -, A26.6) где в — угол между к и к7, т.е. угол рассеяния. Наконец, возведя в квадрат модуль амплитуды рассеяния, по- лучим следующую формулу для сечения рассеяния в элемент телесного угла do: 2 da = Ue~lcirdV do. A26.7) 624 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVII Мы видим, что рассеяние с изменением импульса на Ты\ опре- деляется квадратом модуля соответствующей компоненты Фу- рье поля U. Формула A26.7) была впервые получена Борном (М. Вот, 1926); такое приближение в теории столкновений часто называют борновским приближением. Отметим, что в этом приближении имеет место соотношение ') = /*(k',k) A26.8) между амплитудами прямого и обратного (в буквальном смысле слова) процессов рассеяния, т. е. процессов, отличающихся друг от друга перестановкой начального и конечного импульсов, без изменения их знаков, как при обращении времени. Таким обра- зом, в рассеянии появляется дополнительное (помимо теоремы взаимности A25.12)) свойство симметрии. Это свойство тесно связано с малостью амплитуд рассеяния в теории возмущений и непосредственно следует из условия унитарности A25.8), если пренебречь в нем интегральным членом, квадратичным по f1). Формула A26.7) может быть получена также и другим спо- собом (который, однако, оставляет неопределенной фазу ампли- туды рассеяния). Именно, мы можем исходить из общей форму- лы D3.1), согласно которой вероятность перехода между состо- яниями непрерывного спектра дается формулой dwfi = ^-\Ufi\25(Ef-Ei)dvf. В данном случае мы должны применить эту формулу к пере- ходу из состояния падающей свободной частицы с импульсом р в состояние частицы с импульсом р', рассеянной в элемент те- лесного угла do'. В качестве интервала состояний dvj выбираем б?3У/BтгЯK. Подставив для разности конечной и начальной энер- гий Ef — Ei = (p/2 - р2)/2га, имеем dwplp = 4J^\UP>P\25(PI2-P2)@^- A26.9) Волновые функции падающей и рассеянной частиц — плоские волны. Поскольку в качестве интервала состояний dvj выбран элемент пространства р/BтгЯ), то конечная волновая функция должна быть нормирована на 5-функцию от р/BтгН): <ф , = е^г'п. A26.10) х) Отсюда ясно, что это свойство исчезает уже при переходе ко второму приближению теории возмущений. Мы убедимся в этом непосредственным образом в § 130 в связи с формулой A30.13). § 126 ФОРМУЛА БОРНА 625 Начальную же волновую функцию нормируем на единичную плотность потока ^ A26.11) Тогда выражение A26.9) будет иметь размерность площади и представляет собой дифференциальное сечение рассеяния. Наличие ^-функции в формуле A26.9) означает, что р1 = р, т. е. абсолютная величина импульса не меняется, как и должно быть при упругом рассеянии. Можно исключить 5-функцию, пе- рейдя к сферическим координатам в импульсном пространстве (т.е. заменив $р' на pf2dpfdof = {l/2)p'd(pl2)do') и проинтегри- ровав по d{p'2). Интегрирование сводится к замене абсолютного значения р1 на р в подынтегральном выражении, и мы получим da = тр /• do1. Подставив сюда функции A26.10), A26.11), мы снова вернемся к формуле A26.7). В виде A26.7) эта формула применима к рассеянию в поле XJ{x,y,z\ являющемся функцией от координат в любой их ком- бинации, а не только от г. Но в случае центрального поля U(г) она может быть подвергнута дальнейшему преобразованию. В интеграле воспользуемся сферическими пространственными координатами г, $, (р с полярной осью, выбранной в направлении вектора q (полярный угол обозначаем через $ в отличие от угла рассея- ния в). Интегрирование по $ и <р может быть произведено, и в результате получим оо 2тг тг Г I [u®eiqrcos*r2smtfd$d(pdr = 47r f 0 0 0 Подставив это выражение в A26.4), получим следующую форму- лу для амплитуды рассеяния в центрально-симметричном поле: A26.12) 626 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVII При в = 0 (т. е. q = 0) стоящий здесь интеграл расходится, если U(г) убывает на бесконечности, как 1/г3, или медленнее (в согласии с общими результатами § 124). Обратим внимание на следующее интересное обстоятель- ство. Импульс р частицы и угол рассеяния в входят в A26.12) только через q. Таким образом, в борновском приближении се- чение рассеяния зависит отрий только в комбинации psm(9/2). Возвращаясь к общему случаю произвольных полей U(x, у, z), рассмотрим предельные случаи малых (к а <С 1) и больших (ка ^> 1) скоростей. При малых скоростях можно в интеграле A26.4) положить е~щг « 1, так что амплитуда рассеяния / = —^ / UdV, A26.13) а если U = U®, то j = _2mf [/®r2dr. A26.14) Рассеяние оказывается здесь изотропным по направлениям и не зависящим от скорости, что находится в согласии с общими ре- зультатами § 132. В обратном предельном случае больших скоростей рассея- ние резко анизотропно и направлено вперед, в узком конусе с углом раствора Д# ~ 1/ка. Действительно, вне этого конуса ве- личина q велика, множитель е~щг есть быстро осциллирующая функция и интеграл от его произведения на медленно меняющу- юся функцию U близок к нулю. Закон убывания сечения при больших значениях q не явля- ется универсальным и зависит от конкретного вида поля. Если поле U(г) имеет какую-либо особенность при г = 0 или при ка- ком-либо другом вещественном значении г, то определяющую роль в интеграле в A26.12) играет область вблизи этой точки и убывание сечения происходит по степенному закону. То же самое относится и к случаю, когда функция U® не имеет осо- бенности, но не является четной—основную роль в интеграле играет при этом область вблизи г = 0. Если же U® есть четная функция г, то интегрирование можно формально распростра- нить и на отрицательные значения г, т. е. производить его вдоль всей вещественной оси переменной г, после чего (если U(г) не имеет особых точек на вещественной оси) можно сместить путь интегрирования в комплексную область до его «зацепления» за ближайшую комплексную особую точку. В результате при боль- ших q интеграл оказывается убывающим по экспоненциальному § 126 ФОРМУЛА БОРНА 627 закону. Следует, однако, иметь в виду, что для вычисления этой экспоненциально малой величины борновское приближение, во- обще говоря, непригодно (см. также § 131). Хотя величина дифференциального сечения рассеяния внут- ри конуса Ав ~ 1/ка от скорости в основном не зависит, но, благодаря уменьшению угла раствора конуса, полное сечение рассеяния (если интеграл f da вообще сходится) при больших энергиях убывает. Именно, полное сечение убывает вместе с величиной телесного угла, вырезываемого конусом, пропорци- онально (АвJ ~ 1/к2а2, т.е. обратно пропорционально энергии. Во многих физических применениях теории столкновений в качестве величины, характеризующей рассеяние, фигурирует интеграл atr = /A - cos 6)da, A26.15) называемый часто транспортным сечением. Соображения, ана- логичные указанным выше, показывают, что при больших ско- ростях эта величина обратно пропорциональна квадрату энер- гии.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Формула Борна» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
