Полученные формулы применимы в принципе к рассеянию в любом поле /7(г), обращающемся на бесконечности в нуль. Ис- следование этих формул сводится к исследованию свойств вхо- дящих в них фаз 8\. Для оценки порядка величины фаз Si с большими значения- ми / воспользуемся тем, что при больших / движение квазиклас- сично (см. § 49). Поэтому фаза волновой функции определяется интегралом го где го есть корень подкоренного выражения (г > го есть класси- чески доступная область движения). Вычтя отсюда фазу / го волновой функции свободного движения и положив г —>- ос, мы получим, по определению, величину 5/. При больших / зна- § 124 ИССЛЕДОВАНИЕ ОБЩЕЙ ФОРМУЛЫ 615 чение го тоже велико; поэтому во всей области интегрирова- ния U(г) мало, и мы получаем приближенно A24.1) По порядку величины этот интеграл (если он сходится) равен 6i ^ _ гъТЪ Порядок величины г о есть г о ~ 1/к. Если U(г) обращается на бесконечности в нуль, как г~п с п > 1, то интеграл A24.1) сходится и фазы S\ конечны. На- против, при п ^ 1 интеграл расходится, так что фазы 5i ока- зываются бесконечными. Это относится к произвольным /, так как сходимость или расходимость интеграла A24.1) зависит от поведения U® при больших г, а на больших расстояниях (где поле U(г) уже слабо) радиальное движение квазиклассично при любом /. Как надо понимать формулы A23.11), A23.12) при бес- конечных 5/, будет указано ниже. Рассмотрим сначала сходимость ряда A23.12), представля- ющего полное сечение рассеяния. При больших / фазы 5/ <^С 1, как это видно из A24.1), если учесть, что U® спадает быстрее, чем 1/г. Поэтому можно положить sin2 Si « ?2, и, таким обра- зом, сумма далеких членов ряда A23.12) будет порядка Хл>1 ^f- Согласно известному интегральному признаку сходимости ря- дов следует, что рассматриваемый ряд сходится, если сходится оо интеграл / ISf dl. Подставив сюда A24.2) и заменив / на /его, получим интеграл Если U® спадает на бесконечности, как г п с п > 2, то этот интеграл сходится, и полное сечение конечно. Напротив, если поле U(г) убывает, как 1/г2, или еще медленнее, то полное се- чение оказывается бесконечным. Физически это связано с тем, что при медленном убывании поля с расстоянием вероятность рассеяния на малые углы становится очень большой. Напомним в этой связи, что в классической механике во всяком поле, обра- щающемся в нуль только при г —>> ос, частица, проходящая на любом сколь угодно большом, но конечном, прицельном рассто- янии р, все же испытывает отклонение на некоторый малый, 616 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVII но отличный от нуля угол; поэтому полное сечение рассеяния оказывается бесконечным при всяком законе спадания [/(гI). В квантовой механике такое рассуждение неприменимо уже по- тому, что говорить о рассеянии на некоторый угол можно лишь при условии, чтобы этот угол был велик по сравнению с неопре- деленностью в направлении движения частицы. Если же при- цельное расстояние известно с точностью до Др, то тем самым создается неопределенность И/Ар в поперечной компоненте им- пульса, т.е. неопределенность ~ H/(mvAp) в угле. Ввиду большой роли, которую играет рассеяние на малые углы при медленном законе убывания U(г), естественно возни- кает вопрос— не будет ли расходиться амплитуда рассеяния /@) при 9 = 0 даже при U®, убывающем быстрее чем 1/г2. Положив в A23.11) в = 0, получаем для далеких членов сум- мы выражение, пропорциональное Хл>1^/- Рассуждая как в предыдущем случае, приходим при отыскании критерия конеч- ности суммы к интегралу оо расходящемуся уже при U® со г n (n ^ 3). Таким образом, амплитуда рассеяния обращается в бесконечность при 9 = 0 (п ^ 1) в полях, спадающих как 1/г3 или медленнее. Наконец, остановимся на случае, когда сама фаза Si беско- нечна, что имеет место при С/(г) со г~п(п ^ 1). Заранее очевид- но из полученных выше результатов, что при таком медленном убывании поля будет бесконечным как полное сечение, так и амплитуда рассеяния при 6 = 0. Остается, однако, вопрос о вы- числении f{9) для в ф 0. Прежде всего заметим, что имеет место формула2) ^ ]ГB/ + l)P/(cos6>) = 4EA - cosfl). A24.3) Другими словами, при всех в ф 0 эта сумма равна нулю. Поэтому в выражении A23.11) для амплитуды рассеяния можно при в ф 0 х) Это проявляется в расходимости интеграла f 2irpdp, которым определя- ется в классической механике полное сечение. 2) Эта формула представляет собой разложение E-функции по полино- мам Лежандра и непосредственно проверяется умножением с обеих сторон оо на sin OPi (cos 0) и интегрированием по dO. При этом интеграл f S(x)dx от о четной функции S(х) принимается равным 1/2. § 125 УСЛОВИЕ УНИТАРНОСТИ ДЛЯ РАССЕЯНИЯ 617 опустить единицу в квадратных скобках в каждом члене суммы, так что останется оо >s0)e2^. A24.4) Если умножить правую часть равенства на постоянный множи- тель ехр(—2г^о), то это не скажется на сечении, определяемом квадратом модуля |/@)|2, а фаза комплексной функции /@) из- менится лишь на несущественную постоянную. С другой сторо- ны, в разности Si — So выражений A24.1) расходящийся интеграл от U(г) сокращается и остается некоторая конечная величина. Таким образом, для вычисления амплитуды рассеяния в рассма- триваемом случае можно пользоваться формулой оо /@) = — У2B1 + l)P,(cos#)e2*№-4 A24.5)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Исследование общей формулы» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
