В классической механике столкновения двух частиц полно- стью определяются их скоростями и прицельным расстоянием (расстоянием, на котором они прошли бы друг мимо друга при отсутствии взаимодействия). В квантовой механике меняется сама постановка вопроса, так как при движении с определен- ными скоростями понятие траектории, а с нею и прицельного расстояния теряет смысл. Целью теории является здесь лишь вычисление вероятности того, что в результате столкновения частицы отклонятся (или, как говорят, рассеются) на тот или иной угол. Мы говорим здесь о так называемых упругих столк- новениях, при которых не происходит никаких превращений ча- стиц или (если это частицы сложные) не меняется их внутреннее состояние. Задача об упругом столкновении, как и всякая задача двух тел, сводится к задаче о рассеянии одной частицы с приведен- ной массой в поле U(г) неподвижного силового центра1). Сведе- ние осуществляется переходом к системе координат, в которой покоится центр инерции обеих частиц. Угол рассеяния в этой системе обозначим через в. Он связан простыми формулами с углами в\ и 02 отклонения обеих частиц в «лабораторной» систе- ме координат, в которой одна из частиц (вторая) до столкнове- ния покоилась: m2sin6> й тг-6> тг + 7П2 cos в 2 где mi, rri2 — массы частиц (см. I, § 17). В частности, если массы обеих частиц одинаковы (mi = 7712), то получается просто 01 = |, 02 = ^; A23.2) 1) Мы пренебрегаем спин-орбитальным взаимодействием частиц (если они обладают спином). Предполагая поле центрально-симметричным, мы тем самым исключаем здесь из рассмотрения также и такие процессы, как, на- пример, рассеяние электронов на молекулах. 610 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVII сумма 61+62 = тг/2, т. е. частицы разлетаются под прямым углом. Ниже в этой главе мы пользуемся везде (где противное не ого- ворено особо) системой координат, связанной с центром инерции, а под т подразумевается приведенная масса сталки- вающихся частиц. Свободная частица, движущаяся в положительном направле- нии оси ?, описывается плоской волной, которую мы запишем в виде ф = elkz, т.е. выберем нормировку, при которой плот- ность потока в волне равна скорости частиц v. Рассеянные ча- стицы описываются вдали от центра расходящейся сфериче- ской волной вида fF)e: /г, где fF)—некоторая функция угла рассеяния 6 (угол между осью z и направлением рассеянной частицы); эту функцию называют амплитудой рассеяния. Та- ким образом, точная волновая функция, являющаяся решением уравнения Шредингера с потенциальной энергией U®, должна иметь на больших расстояниях асимптотический вид ф ~ eikz Вероятность рассеянной частице пройти в единицу времени через элемент поверхности dS = г2 do {do—элемент телесного угла) равна vr~2\f\2dS = v\f\2do1). Ее отношение к плотности потока в падающей волне равно da= \fF)\2do. A23.4) Эта величина имеет размерность площади и называется эффек- тивным сечением (или просто сечением) рассеяния внутри те- лесного угла do. Если положить do = 2тг sin 6 d6, то мы получим сечение da = 2тг sin 6\fF)\2d6 A23.5) для рассеяния в интервале углов между 6 и 6 + d6. Решение уравнения Шредингера, описывающее рассеяние в центральном поле U(г), должно, очевидно, быть аксиально- симметричным относительно оси z — направления падающих ча- стиц. Всякое такое решение может быть представлено в виде 1) В этом рассуждении молчаливо подразумевается, что падающий пучок частиц ограничен широкой (во избежание дифракционных эффектов), но конечной диафрагмой, как это и имеет место в реальных экспериментах по рассеянию. По этой причине нет интерференции между обоими членами в выражении A23.3); квадрат \ф\2 берется в точках, в которых отсутствует падающая волна. §123 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ 611 суперпозиции волновых функций непрерывного спектра, отве- чающих движению в данном поле частиц с заданной энергией fi?k2 /2т и орбитальными моментами с различными величина- ми / и равными нулю z-проекциями (эти функции не зависят от азимутального угла ср вокруг оси z, т. е. аксиально-симметрич- ны). Таким образом, искомая волновая функция имеет форму оо A23.6) где А\ —постоянные, a Rm® —радиальные функции, удовлетво- ряющие уравнению \Щ^ ^] = 0. A23.7) Коэффициенты А\ должны быть выбраны так, чтобы функция A23.6) имела на больших расстояниях асимптотический вид A23.3). Покажем, что для этого надо положить At = \{2l + l)il ехр(г<У,), A23.8) где 5i — фазовые сдвиги функций R^i. Тем самым будет решена также и задача о выражении амплитуды рассеяния через эти фазы. Асимптотический вид функции R^i дается формулой C3.20) Rki « - sin(kr - у +5t) = = -{(-гI exp[i(kr + Si)} - il exp[-i(kr + Si)}}, ir Подставив это выражение, а также A23.8) в A23.6), получим асимптотическое выражение волновой функции в виде -ifer + Ste*kr}, A23.9) 1=0 где введено обозначение St = expBiSi). A23.10) С другой стороны, разложение плоской волны C4.2) после такого же преобразования есть оо eikz и J y-/2/ + i)Pl(CO8e)[(i)l+1e-ikr + eikr]. 2ikr 1=0 612 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ГЛ. XVII Мы видим, что в разности ф — elkz все члены, содержащие мно- жители е~гкг, как и следовало, выпадают. Для коэффициента же при егкг/г в этой разности, т.е. для амплитуды рассеяния, на- ходим - A23-п) Эта формула решает задачу о выражении амплитуды рассеяния через фазы 5i (H. Faxen, J. Holtsmark, 1927)г). Проинтегрировав da по всем углам, мы получим полное се- чение рассеяния а, представляющее собой отношение полной ве- роятности рассеяния частицы (в единицу времени) к плотности потока в падающей волне. Подставляя A23.11) в интеграл 7Г сг = 2тг /|/@)|2siii0d0 и помня, что полиномы Лежандра с различными / взаимно ор- тогональны, а 7Г Г P?(cos6)sm6d6= —?—, 1 У J 21 + 1' О получим следующее выражение для полного сечения: оо а = % VB/ + I) sin2 Sh A23.12) к, • Каждый из членов этой суммы представляет собой парциаль- ное сечение а\ для рассеяния частиц с заданным орбитальным х) Принципиальный интерес представляет вопрос о восстановлении вида рассеивающего потенциала по предполагаемым известным фазам Si. Этот вопрос решен И. М. Гельфандом, Б. М. Левитаном и В. А. Марченко. Оказы- вается, что для определения U® достаточно в принципе знать 5о (к) как функцию волнового вектора во всей области от& = 0до& = оо,а также коэффициенты ап в асимптотических (при г —> оо) выражениях апе~ХпГ/г (хп = л/2т\Еп\/П) волновых функций состояний, соответствующих дискретным (отрицатель- ным) уровням энергии Еп, если таковые вообще имеются. Определение U® по этим данным сводится к решению определенного линейного интеграль- ного уравнения. Систематическое изложение этого вопроса можно найти в книге: В. деАльфаро, Т. Редснсе. Потенциальное рассеяние. -М.: Мир, 1966. § 123 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ 613 моментом /. Отметим, что максимальное возможное значение этого сечения есть <Т/тах = ^B/ + 1). A23.13) Сравнив его с формулой C4.5), видим, что число частиц, рассе- янных с моментом /, может оказаться в 4 раза большим числа таких частиц в падающем потоке. Это обстоятельство является чисто квантовым эффектом, связанным с интерференцией меж- ду рассеянными и нерассеянными частицами. Ниже нам будет удобно пользоваться также парциальными амплитудами рассеяния //, которые мы определим как коэффи- циенты разложения № = ^B/ + l)/,fl(cos0). A23.14) Согласно A23.11) они связаны с фазами S\ соотношением а парциальные сечения а/ = 4тгB/ + 1)|//|2. A23.16)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Общая теория рассеяния» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
