Рассмотрим снова систему, состоящую из двух частей (о ко- торых будем говорить как о подсистемах 1 и 2), и пусть /L сферический тензор, характеризующий первую из них. Его мат- ричные элементы по отношению к волновым функциям этой же подсистемы определяются, согласно A07.6), формулой г) Более подробное изложение теории Э^-символов, а также о свойст- вах Зп^'-символов см. цитированную на с. 272 книгу Эдмондса и книги: А. П. Юцис, И. Б. Левинсон, В. В. Ванагас. Математический аппарат тео- рии момента количества движения. — Вильнюс, 1960; Д. А. Варшалович, А. Н. Москалев, В. К. Херсонский. Квантовая теория углового момента. — М.: Наука, 1975. 544 СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ Возникает вопрос о вычислении матричных элементов этих лее величин по отношению к волновым функциям системы в целом; покажем, как они могут быть выражены через те же приве- денные матричные элементы, которые фигурируют в выраже- ниях A09.1). Состояния системы в целом определяются квантовыми чи- слами jiJ2JMniri2 (J, М — величина и проекция момента всей системы). Поскольку /^ относится к подсистеме 1, ее оператор коммутирует с оператором момента подсистемы 2. Поэтому ее матрица диагональна по J2\ она диагональна также и по осталь- ным квантовым числам П2 этой подсистемы. Эти индексы (j>2, П2) мы будем для краткости опускать и будем писать искомые матричные элементы в виде Согласно A07.6) их зависимость от числа М определяется фор- мулой (n[flJ'M'\fi1q)\n1j1JM) = Т ]с Т \ , . , (л\ '-* Г** *J \ I ' •' Т' 11 ?\*-)\\ ' Т\ I Л Г\С\ О\ М1 о Ml \n^lJ W*k \\nmJ/' A09.2) Для установления связи между приведенными матричными элементами в правых частях A09.1) и A09.2) пишем, по опреде- лению матричных элементов: _ t -м) Подставив сюда A09.1), A09.2) и сравнив полученное соотноше- ние с формулой A08.4), мы увидим, что отношение приведен- ных матричных элементов (в A09.1), A09.2)) должно быть про- порционально определенному (^/-символу. Тщательное сравнение обоих указанных соотношений приводит к следующей оконча- § 109 МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПРИ СЛОЖЕНИИ МОМЕНТОВ 545 тельной формуле: A09.3) (здесь jimax — большее из ji, j[; Jmin—меньшее из J, J'). Ана- логичная формула для приведенных матричных элементов сферического тензора, относящегося к второй подсистеме: A09.4) Отсутствие полной симметрии между выражениями A09.3) и A09.4) (в показателе степени у —1) связано с зависимостью фазы волновых функций от порядка сложения моментов. Эту разни- цу надо иметь в виду, если приходится вычислять матричные элементы одновременно для обеих подсистем. Далее, найдем полезную формулу для матричных элементов по отношению к волновым функциям всей системы от скаляр- ного произведения (см. определение A07.4)) двух сферических тензоров одинакового ранга fc, относящихся к различным под- системам (и потому коммутирующих друг с другом). Соглас- но A07.10) эти матричные элементы выражаются через приве- денные матричные элементы каждого из тензоров (по отноше- нию к волновым функциям системы в целом) следующим обра- зом: ^ (здесь использовано, что матрица величины, относящейся к од- ной из подсистем, диагональна по квантовым числам другой под- системы). Подставив сюда A09.3), A09.4) и воспользовавшись формулой суммирования A08.8), получим искомую формулу, вы- ражающую матричные элементы скалярного произведения через приведенные матричные элементы каждого из тензоров по отно- 546 СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ шению к волновым функциям соответствующих подсистем: (n'1n'2j[j'2JM\(fjc1)fjc2)H0\nln2jlj2JM) = = (_1)Jlmin+j2max + ./ ) ^ Л A I x V ) U jl J2f (Ю9.5)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Матричные элементы при сложении моментов» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
