Полученное в § 31 правило сложения моментов определяет возможные значения полного момента системы, состоящей из двух частиц (или более сложных частей), обладающих момен- тами j 1 и jf*2 х). Это правило в действительности тесно связано со свойствами волновых функций по отношению к пространствен- ным вращениям и непосредственно следует из свойств спиноров. Волновые функции частиц с моментами ji и J2 представля- ют собой симметричные спиноры рангов 2j\ и 2j2, а волновая функция системы дается их произведением в A06.1) Симметризуя это произведение по всем индексам, получим сим- метричный спинор ранга 2{ji + 32I отвечающий состоянию с полным моментом ji + 32- Далее, упростим произведение A06.1) по одной паре индексов, из которых один должен принадле- жать ^ , а ДРУГОИ — Ф (в противном случае получится нуль); при этом, в силу симметрии каждого из спиноров ф^ и ф^2\ без- различно, какие именно индексы берутся из A, /i,..., и р, <т,... После симметризации получим симметричный спинор ранга 2(ji +J2 — 1)? отвечающий состоянию с моментом ji + 32 — 12) • г) Строго говоря, мы везде будем иметь в виду, не оговаривая этого каж- дый раз особо, систему, состоящую из частей, взаимодействие которых на- столько слабо, что в первом приближении их моменты можно считать сохра- няющимися. Все излагаемые ниже результаты относятся, конечно, не только к сложению полных моментов двух частиц (или систем), но и к сложению орбитального момента и спина одной и той же системы в предположении достаточной слабости спин-орбитальной связи. 2)Во избежание недоразумений полезно сделать следующее замечание. Волновая функция системы из двух частиц есть всегда спинор ранга 2(ji + J2), вообще говоря, отличного от 2j, где j — полный момент системы. Такой спинор, однако, может быть эквивалентен спинору более низкого ран- га. Так, волновая функция системы двух частиц с моментами j\ = 32 = 1/2 есть спинор второго ранга; но если полный момент j = 0, то этот спинор антисимметричен и потому сводится к скаляру. Вообще полным моментом j определяется симметрия спинорной волновой функции системы: она сим- метрична по 2j индексам и антисимметрична по остальным индексам. 524 СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ Продолжая этот процесс, мы найдем в соответствии с извест- ным уже нам правилом, что j пробегает значения от j\ + 32 ДО \ji — .7215 причем каждое по одному разу. С математической точки зрения, речь идет здесь о разло- жении прямого произведения D^1' x ?)^2) двух неприводимых представлений группы вращений (с размерностями 2ji + 1 и 2J2 + 1) на неприводимые части. В этих терминах правило сло- жения моментов записывается в виде разбиения Для полного решения задачи о сложении моментов мы долж- ны еще рассмотреть вопрос о составлении волновой функции системы с заданным значением полного момента по волновым функциям составляющих ее двух частиц. Начнем с наиболее простого случая сложения двух моментов в равный нулю суммарный момент. При этом, очевидно, долж- но быть ji = jf'2, а проекции моментов mi = — 7712- Пусть ^jm — нормированные волновые функции состояний одной частицы с моментом j и его проекцией т (в неспинорном представлении). Искомая волновая функция системы фо представляет собой сум- му произведений волновых функций обеих частиц с противопо- ложными значениями т: m=— j (j—общее значение j\ и j?). Множитель перед суммой есть результат нормировки. Что касается коэффициентов в сумме, то все они должны быть одинаковы по своей абсолютной ве- личине— уже в силу того, что все значения проекций т мо- ментов частиц равновероятны. Порядок же чередования зна- ков в A06.2) легко найти с помощью спинорного представления волновых функций. В спинорных обозначениях сумма в A06.2) представляет собой скаляр (полный момент системы равен нулю!) фA)\ц...фB) ? A06.3) составленный из двух спиноров ранга 2j. Заметив это, мы найдем знаки в A06.2) непосредственно из формулы E7.3). Следует, однако, иметь в виду, что однозначными явля- ются, вообще говоря, лишь относительные знаки членов сум- мы A06.2), общий же знак может оказаться зависящим от § 106 З^'-символы 525 «порядка сложения» моментов. Действительно, если опустить все спинорные индексы (среди которых j + га единиц и j — га двоек) у ф^ и поднять у ^ , то скаляр A06.3) умножится на (—IJ-?, т.е. при полу цел ом j изменит знак. Далее, рассмотрим систему с равным нулю полным момен- том, составленную из трех частиц с моментами j>i, j>2, j% и их проекциями mi, 7712, газ• Условие равенства полного момента ну- лю подразумевает, что mi + 7712 + газ = 0, a ji, j'2, js имеют такие значения, что каждое из них может получиться в резуль- тате векторного сложения двух других, т.е. геометрически j>i, j2, js должны быть сторонами замкнутого треугольника; дру- гими словами, каждое из них не меньше разности и не больше суммы двух других: \ji - h\ ^ Зз ^ Л + h и т- д- Очевидно, что алгебраическая сумма j\ + 32 + Зъ является при этом целым числом. Волновая функция рассматриваемой системы имеет вид сум- мы х т2 га3 171117121713 взятой по значениям каждого из rrij в пределах от — j\ до j\. Ко- эффициенты в этой формуле называют 3j-символами Вагнера. По определению, они отличны от нуля только при условии rai + 7712 + газ = 0. При перестановке индексов 1, 2, 3 волновая функция A06.4) может измениться лишь на несущественный фазовый множи- тель. Фактически З^'-символы могут быть определены как чи- сто вещественные (см. ниже) и тогда неоднозначность ф$ может заключаться лишь в неопределенности ее общего знака (как это имеет место и для функции A06.2)). Это значит, что перестанов- ка колонок 3j-символа может либо оставлять его неизменным, либо менять его знак. Наиболее симметричный способ определения коэффициентов в сумме A06.4), которым и принято определять З^'-символы, за- ключается в следующем. В спинорных обозначениях ф$ пред- ставляет собой скаляр, составленный как произведение трех спи- норов фу1)^--- ? ^B)V---5 <0(ЗМм- упрощенное по всем парам индек- сов, каждая из которых относится к двум различным спинорам. Условимся, что в каждой паре, относящейся к частицам 1 и 2, спинорный индекс будет писаться сверху у ф^ и снизу у ф^] в паре, относящейся к частицам 2 и 3, — сверху у ф^ и снизу 526 СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ у ф^6'] в паре, относящейся к частицам 3 и 1, — сверху у ^ и снизу у ф^ (легко подсчитать, что всего имеется соответствен- но ji + 32 - J3, 32 + h - Л и Л + h - h пар каждого из этих «сортов»). Этим правилом знак фо устанавливается однозначно. Очевидно, что при таком определении циклическая переста- новка индексов 1, 2, 3 оставляет фо неизменной. Это значит, что З^'-символ не меняется при циклической перестановке его столбцов. Перестановка же двух (любых) индексов приведет, как легко сообразить, к необходимости поднять нижние и опу- стить верхние индексы во всех ji + 32 + Зъ парах. Это значит, что фо умножится на (—1)л+:/2+;/з. друГИМИ словами, З^'-символы обладают свойством ' h Л h \ = (_i\h+32+te (h h h \ и т д ТП2 тгь\ т%) ^ ' \mi 7712 т%) ' т. е. меняют знак при перестановке двух колонок, если ji + j>2 + + j?> — нечетное число. Наконец, легко видеть, что —mi —ТП2 - л (h h h \ \mi vri2 m^J Действительно, изменение знака ^-компонент всех моментов может рассматриваться как результат поворота на угол тг во- круг оси у. Но такое преобразование эквивалентно поднятию всех нижних и опусканию всех верхних спинорных индексов (см. E8.5)). От выражения A06.4) можно перейти к важной формуле, определяющей волновую функцию ф^ш системы, состоящей из двух частиц и обладающей заданными значениями j и т. Для этого будем рассматривать совокупность частиц 1 и 2 как од- ну систему. Поскольку момент j этой системы вместе с момен- том J3 частицы 3 складывается в равный нулю суммарный мо- мент, должно быть j = jf'3, m = — тпз- Согласно A06.2) можно тогда написать Эту формулу надо сравнить с выражением A06.4) (в котором пишем j, — т вместо ^з, т%). При этом, однако, надо предвари- тельно учесть, что правило составления суммы в A06.7) соглас- но A06.3) не соответствует правилу составления суммы A06.4): для приведения A06.7) к A06.4) надо, как легко сообразить, пе- реставить верхние и нижние индексы в парах, соответствующих § 106 З^'-символы 527 частицам 1 и 3; это приводит к появлению дополнительного мно- жителя (—iyi—32+эзт g результате получим1) 777,2 —1 1711,ГП2 A06.8) где суммирование по mi и rri2 производится с учетом условия Формула A06.8) дает искомое разложение волновой функ- ции системы по волновым функциям обеих частиц, обладающих определенными моментами j\ и j2- Ее можно записать в виде ^i1^22L2' m2 = га - гаь A06.9) Коэффициенты (m1m2|im) = (-l)^-^+-^2jTl(^i ^ _Jm) A06.10) составляют матрицу преобразования от полной ортонормиро- ванной системы Bji + I)Bj2 + 1) волновых функций состояний | TTii7712) к такой же системе волновых функций состояний \jm) (при заданных значениях ji, j'2). Их называют коэффициента- ми векторного сложения или коэффициентами Клебша-Гор- дана. Обозначение символом (ynim2\jm) соответствует общему способу обозначений коэффициентов разложения одной систе- мы функций по другой согласно A1.18). Для упрощения записи мы опустили в этом символе совпадающие в обеих системах функций квантовые числа ji, J2\ ПРИ необходимости эти числа включаются в обозначение: (jimiJ2m2\jiJ2JmJ) • Матрица преобразования A06.9) унитарна (см. § 12). Поэтому коэффициенты обратного преобразования A06.11) 3 = \J2-jl\ комплексно сопряжены с коэффициентами преобразования A06.9). Мы увидим ниже, что эти коэффициенты вещественны; г) При обращении времени волновые функции заменяются, согласно F0.2): VW -)¦ (-1)*-тф;,-т. Легко проверить, что при таком преобразовании функций ^1Ш1, Фз2т2 в правой части A06.8) таким же образом преобразуется и функция фэт в левой части. 2) В литературе используется также обозначение С^т2 или С^ГП1^2ГП2 для коэффициентов Клебша-Гордана. 528 СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ поэтому просто Согласно общим правилам квантовой механики квадраты коэф- фициентов разложения A06.11) определяют вероятности системе иметь те или иные значения j>, т (при заданных j>i, mi и j2, ГП2). Унитарность преобразования A06.9) означает, что его коэф- фициенты удовлетворяют определенным условиям ортогональ- ности. Согласно формулам A2.5), A2.6) имеем Е ^ (m1m2\jm)(m1m2\j/m) = Е |jra)(raim'2|jra) = 79 7 \ / 7l 79 7 ni2 —m) Vm'i mo — m A06.13) Явное общее выражение З^'-символов довольно громоздко. Оно может быть представлено в виде1) л h h \ = mi Ш2 ш x(J2+m2-z)\(j3-j2+m1+z)\(j3-j1-m2 + z)\}-1}. A06.14) Суммирование производится по всем целым числам z\ одна- ко, поскольку факториал отрицательного числа равен ос, число 1) Коэффициенты разложения A06.9) были впервые вычислены Вигнером A931). Свойства же симметрии этих коэффициентов и симметричное выра- жение A06.14) для них найдены Рака (G. Racah, 1942). Наиболее прямым путем вычисления является, вероятно, прямой переход от спинорного пред- ставления фо (надлежащим образом нормированного) к представлению в виде суммы A06.4) с помощью формулы соответствия E7.6) (заметим, что вещественность коэффициента в этой формуле автоматически приводит к вещественности З^'-символов). Другой вывод дан в книге Эдмондса (см. при- меч. на с. 272). Из этой же книги взята приведенная ниже таблица З^'-сим- волов. § 106 3.7-символы 529 членов в сумме фактически конечно. Коэффициент перед сум- мой явно симметричен по индексам 1, 2, 3; симметрия же суммы выявляется после соответствующего переобозначения перемен- ной суммирования z. Помимо свойств симметрии A06.5), A06.6), следующих про- стым образом из определения 3j-символов, последние обладают еще и другими свойствами симметрии, вывод которых, однако, более сложен, и мы его здесь не приводим. Эти свойства удобно формулировать, если ввести квадратную C х 3) таблицу чисел, связанных с параметрами З^'-символа следующим образом: ( л h h \ = h + h - л h + л - h л + h - зз ji-гпг 32-ГП2 h-™>3 A06.15) (сумма чисел в каждой строке и каждом столбце этой таблицы равна ji + J2 + Зз)- Тогда: 1) перестановка любых двух столб- цов таблицы умножает З^'-символ на (—1)л+^+^з (это свойство совпадает с A06.5)); 2) то же справедливо для перестановки лю- бых двух строк (в отношении двух нижних строк это свойство совпадает с A06.6)); 3) З^'-символ не меняется при замене строк таблицы ее столбцамиг). Выпишем ряд более простых формул для некоторых частных случаев. Значение C 3 \т —т соответствует формуле A06.2). Формулы (Л 32 Л +32 \_ (_1\ji-J2+m1+m2 x ]1/2 .. . . . A06.17) C1 . J2 33\=A\-j1+J2+m3x \31 3i ''*/3 ^^3/ ,1/2 г) См. T.Regge// Nuovo Cimento. 1958. V. 10. P. 544; 1959. V. 11. P. 116. Более глубокие математические аспекты свойства симметрии A06.15) (как и указанного ниже свойства A08.3) б^-символов) см. в обзорной статье Я. А. Смородинского и Л. А. Шелепина// УФН. 1972. Т. 106. С. 3. 530 СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ получаются непосредственно из A06.14). Вывод же формулы г (п., _i_ qo — о'о V (i-\ — io -\- 7ч V (— i-\ -\- io -\- ii V1 (h h \о о -, A06.18) где 2p = Л + h + h есть четное число, требует ряда дополнительных вычислений1) (при нечетном 2р этот З^'-символ равен нулю в силу свойства симметрии A06.6)). В табл. 9 приведены, для справок, значения З^'-символов для j3 = 1/2, 1, 3/2, 2. Для каждого j$ указано минимальное число З^'-символов, из которых с помощью соотношений A06.5), A06.6) можно получить остальные. Таблица 9 Формулы З^'-символов -ш-1/2 1/2/ (-1)' 3i m —ттг — h 3 h 3 3i т3 = 0 2ш [2jBj + l)Bj + 2)]1/2 [Bj + l)Bj + 2)Bj + 3)\ Шз = 1 \2(j-m)(j + m + l)]1/2 [Bj + l)Bj + 2)Bi + 3)J (— X) 1 1 \m —т — тз гпз J m3 = 1/2 x) См. указанную выше книгу Эдмондса. 1106 З^'-символы 531 Таблица 9 (продолжение) -(j +Зга+ 3/2) j - га + 1/2 11/2 3(j - ra + 1/2)(j - ra + 3/2)(j + ra + 3/2) ] 1/2 -2)Bj + 3)Bj + 4) ra3 = 3/2 3(j - m - 1/2)(j - m + 1/2)(j + m + 3/2) 1/2 (j - m - 1/2) (j - m + 1/2) (j - m + 3/2) 1/2 (-I)'- га —га — газ газ ra3 = 0 2[3ra2-j(j + 2)Bj -2ra , ' -l)Bj + 2)Bj + 3)Bj + 4) - ra + l)(j — m + 2)(j — m + 1) Bj + l)Bj + 2)Bj + 3)Bj + 4)Bj + 5) ra3 = 1 A + 2m) 6(j + ra + l)(j - ra) + 2)Bj + 3) 1/2 (j + ra + 2)(j - ra + 2)(j - ra + l)(j - ra) Bj + l)Bj + 2)Bj + 3)Bj + 4)Bj + 5) 1/2 m3 = 2 6 (j — m — l)(j — ra) (j + ra + 1) (j + ra + 2) 1 -2 (j - ra - l)(j - ra)(j - ra + l)(j + ra + 2) 1/2 (j - m- l)(j - m)(j - m + l)(j - ra + 2) Bj + l)Bj + 2)Bj + 3)Bj + 4)Bj + 5) 1/2 532 СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ Задача Определить угловую зависимость волновых функций частицы со спи- ном 1/2 в состояниях с заданными значениями орбитального момента /, полного момента j и его проекции т. Решение. Задача решается общей формулой A06.8), в которой надо под ф^1' понимать собственные функции орбитального момента (т. е. сфе- рические функции Y^), а под ф^2'— спиновую волновую функцию х(сг) (где а = ±1/2): Подставив значения З^'-символов, получим Ij + m fl\v . Ij-m
Ви переглядаєте статтю (реферат): «З j-символы» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
