Перейдем теперь к конкретному определению неприводимых представлений точечных групп. Огромное большинство молекул обладает лишь осями симметрии второго, третьего, четвертого и шестого порядков. Поэтому мы не будем рассматривать группы икосаэдра Y,Yh\ группы Cn, Cnh, Cnv, Dn, Dnh будем рас- сматривать лишь со значениями п=1, 2, 3, 4, 6, а группы S2m Dnd-cn = l, 2, 3. Характеры представлений этих групп даны в табл. 7. Изо- морфные группы имеют одинаковые представления и приводят- ся вместе в одной таблице. Числа перед символами элементов группы в первых строках указывают числа элементов в соответ- ствующих классах (см. §93). В первых столбцах указаны при- нятые условные обозначения представлений. Одномерные пред- ставления обозначаются буквами Л, В, двумерные—буквой Е, а трехмерные — F (обозначение Е для двумерного неприводи- мого представления не смешивать с обозначением Е для еди- ничного элемента группы!I). Функции базисов представлений А симметричны, а функции В — антисимметричны по отноше- нию к поворотам вокруг главной оси n-го порядка. Функции различной симметрии по отношению к отражению а^ отлича- ются количеством штрихов (один или два), а индексы g и и указывают на симметрию по отношению к инверсии. Вместе с обозначениями представлений буквами ж, у, z указано по како- му представлению преобразуются сами координаты; ось z везде выбрана вдоль главной оси симметрии. Буквы е и ио обозначают: е = е2-/3, и = в2-/6 = -с4, Наиболее просто определение неприводимых представлений для циклических групп (группы Cn, Sn). Циклическая группа, как и всякая абелева группа, имеет лишь одномерные представ- ления. Пусть G—производящий элемент группы (т.е. элемент, возведение которого в последовательные степени дает все эле- менты группы). Поскольку Gg = E (g — порядок группы), то 1) Причина, по которой два комплексно сопряженных одномерных пред- ставления обозначаются как одно двумерное, выяснится в § 96. 460 ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ ГЛ. XII Таблица 7 Характеры неприводимых представлений точечных групп Ci Ag Au\ x; y\ z c2 A-z В] х\ у Cs A';x;y A";z E E E 1 1 c2 a -1 -1 Cs A;z E' x ± iy < I E 1 1 1 C3 1 e2 C2 1 s2 ? c2h Ag Bg Ащ z Bu',x;y C2v Av,z B2',y A2 Вг;х D2 A Bs\x B\\z B2\y E E E 1 1 1 1 c2 c2 Cl 1 -1 1 -1 <Th crv ci 1 -1 -1 1 / ci 1 1 -1 -1 Czv A\\ z A2 E\x,y D3 Аг A2;z E-x,y E E 1 1 2 2C3 2C3 1 1 -1 Зсгу SU2 1 -1 0 c4 A;z В E;x±iy Si A B;z ( E;x±iyl l E E 1 1 1 1 c4 Si 1 -1 i —i c2 c2 1 1 -1 -1 o4 q3 o4 1 -1 —i i C6 A;z В ( Ег < f E2',x±iy I E 1 1 1 1 1 1 C6 1 -1 uj2 — UJ UJ -uj2 Cs 1 1 — UJ uj2 uj2 — UJ c2 1 -1 1 1 -1 -1 C2 1 1 uj2 — UJ — UJ uj2 ci 1 -1 — UJ uj2 -co2 UJ C^v A^z A2 Вг в2 E;x,y Аг A2;z Вг в2 E;x,y D2d Аг A2 Вг B2;z E;x,y E E E 1 1 1 1 2 c2 c2 c2 1 1 1 1 -2 2C4 2C4 254 1 1 -1 -1 0 2av 2U2 2U2 1 -1 1 -1 0 2a'v 2U'2 2crd 1 -1 -1 1 0 $95 НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ТОЧЕЧНЫХ ГРУПП 461 Таблица 7 (продолжение) Аг A2;z Вг в2 Е2 Ei',x,y C6v Av,z А2 в2 Вг Е2 Ei\x,y Т А тр ) F;x,y,z Е ЗС2 1 1 1 1 1 1 3 -1 Dsh А[ А'2 А'1 A'2'\z Е'\х,у Е" 4С3 4С32 1 1 ? S2 е2 е 0 0 Е Е Е 1 1 1 1 2 2 О Аг А2 Е F2 Fi',x,i с2 с2 (УК 1 1 -1 -1 2 -2 Td Аг А2 Е F2;x 2С3 2С3 2С3 1 1 1 1 -1 -1 Е Е 1 1 2 3 3 2С6 2С6 253 1 1 -1 -1 -1 1 8С3 8С3 1 1 -1 0 0 3?/2 3< зи2 ЗС2 ЗС2 1 1 2 -1 -1 1 -1 1 -1 0 0 6С2 Qo-d 1 -1 0 1 -1 ЗЩ За[, 3av 1 -1 -1 1 0 0 6С4 6S4 1 -1 0 -1 1 ясно, что при воздействии оператора G на функцию базиса последняя может умножиться только на yl, т. е.г) Группа C2h (и изоморфные с ней Civ и -D2) абелева, так что все ее неприводимые представления тоже одномерны, причем ха- рактеры могут быть равны только ±1 (так как квадрат каждого элемента есть Е). Далее, рассмотрим группу C^v. По сравнению с группой Сз здесь прибавляются отражения av в вертикальных плоскостях (относящиеся все к одному классу). Функция, инвариантная по отношению к повороту вокруг оси (функция базиса представ- ления А группы Сз), может быть симметричной или антисим- метричной по отношению к отражениям av. Функции же, умно- жающиеся при повороте Сз на е и е1 (функции базисов комплекс- но сопряженных представлений Е\ при отражении переходят друг в друга2). Из этих рассуждений следует, что группа C%v (и изоморфная с ней D^) имеет два одномерных и одно двумер- ное неприводимое представление с характерами, указанными в г) Для точечной группы Сп в качестве функций ф молено, например, вы- брать функции ф = elkif (к = 1,2,..., п), где <р — угол поворота вокруг оси, отсчитываемый от некоторого определенного направления, 2) Эти функции можно взять, например, в виде ф\ = e%Lf>, Ф2 = е~г(р. При отражении в вертикальной плоскости (р меняет знак. 462 ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ ГЛ. XII таблице. В том, что мы действительно нашли все неприводимые представления, можно убедиться, из того, что сумма I2 + I2 + + 22 = 6, т. е. равна порядку группы. Аналогичными рассуждениями находятся характеры пред- ставлений других групп такого же типа (С^, Cqv). Группа Т получается из группы D2 = V добавлением пово- ротов вокруг четырех наклонных осей третьего порядка. Функ- ция, инвариантная по отношению к преобразованиям группы V (базис представления Л), может умножаться при повороте С% на 1, е или е2. Функции же базиса трех одномерных представ- лений Si, B2, S3 группы V при поворотах вокруг осей третьего порядка переходят друг в друга (что видно, если взять, напри- мер, в качестве этих функций сами координаты ж, у, z). Таким образом, получаем три одномерных и одно трехмерное неприво- димое представление A2 + 12 + 12 + 32 = 12). Наконец, рассмотрим изоморфные группы О и Т^. Груп- па Td получается из группы Т добавлением отражений а^ в плоскостях, каждая из которых проходит через две оси тре- тьего порядка. Функция базиса единичного представления А группы Т может быть симметричной или антисимметричной по отношению к этим отражениям (относящимся все к одному классу), что дает два одномерных представления группы Т^. Функции, умножающиеся на е или е2 при повороте вокруг оси третьего порядка (базис комплексно сопряженных представле- ний Е группы Т), при отражении в плоскости, проходящей че- рез эту ось, переходят друг в друга, так что получается одно двумерное представление. Наконец, из трех функций базиса представления F группы Т одна преобразуется при отражении сама через себя (причем может остаться неизменной или изменить знак), а две другие — переходят друг в друга. Таким образом, получаем всего два од- номерных, одно двумерное и два трехмерных представления1). Что касается остальных интересующих нас точечных групп, то их представления можно получить непосредственно из уже выписанных, если заметить, что эти группы являются прямы- ми произведениями рассмотренных уже групп на группу С{ (или Сs). Именно, = C6 x d, Se = C3x d, Th = Tx ) Упомянем, что неприводимые представления большей размерности D-й и 5-й) имеются в группах икосаэдра. 5 96 НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕРМОВ 463 Каждое из этих прямых произведений имеет вдвое больше неприводимых представлений, чем исходная группа, причем по- ловина из них симметрична (обозначаются индексом g), а дру- гая половина антисимметрична (индекс и) по отношению к ин- версии.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Неприводимые представления точечных групп» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
