Совокупность всех преобразований симметрии данного тела называют его группой преобразований симметрии, или просто группой симметрии. Выше мы говорили об этих преобразова- ниях, как о геометрических перемещениях тела. В квантовоме- ханических применениях удобнее, однако, рассматривать преоб- § 92 ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 437 разования симметрии как преобразования координат, оставля- ющие инвариантным гамильтониан данной системы. Очевидно, что если система совмещается сама с собой при некотором по- вороте или отражении, то соответствующее преобразование ко- ординат не изменит ее уравнения Шредингера. Таким образом, мы будем говорить о группе преобразований, по отношению к которым инвариантно данное уравнение Шредингерах). Изучение групп симметрии удобно производить с помощью общего математического аппарата так называемой теории групп, основы которого излагаются ниже. Мы будем рассматривать сначала группы, каждая из которых содержит конечное чис- ло различных преобразований (так называемые конечные груп- пы). О каждом из преобразований, входящих в состав группы, говорят, как об элементе группы. Группы симметрии обладают следующими очевидными свой- ствами. В состав всякой группы входит тождественное преоб- разование Е (о нем говорят, как о единичном элементе груп- пы). Элементы группы можно перемножать друг с другом; под произведением двух (или нескольких) преобразований подразу- мевается результат их последовательного применения. Очевид- но, что произведение всяких двух элементов группы есть эле- мент той же группы. Для умножения элементов имеет место закон ассоциативности (АВ)С = А(ВС), где Д В, С —элемен- ты группы. Закон коммутативности, однако, не имеет, вообще говоря, места; в общем случае АВ ф В А. Для каждого элемен- та группы А имеется в той же группе обратный элемент А~1 (обратное преобразование) такой, что АА~1 = Е. В некоторых 1) Такая точка зрения позволяет включить в рассмотрение не только груп- пы поворотов и отражений, о которых идет здесь речь, но и другие типы преобразований, оставляющих неизменным уравнение Шредингера. К ним относятся перестановки координат тождественных частиц, входящих в со- став данной системы (молекулы или атома). О совокупности всех возмож- ных в данной системе перестановок тождественных частиц говорят, как о ее группе перестановок (мы имели уже с ними дело в §63). Излагаемые ниже общие свойства групп относятся и к группам перестановок; более по- дробным изучением этого вида групп мы не станем заниматься. По поводу применяемых в этой главе обозначений надо сделать следую- щее замечание. Преобразования симметрии представляют собой по суще- ству такие же операторы, какие мы рассматриваем на протяжении всей книги, и их следовало бы обозначать буквами со шляпками. Мы не дела- ем этого, имея в виду общепринятые обозначения, а также учитывая, что это не может привести в настоящей главе к недоразумениям. По той же причине мы пользуемся для обозначения тождественного преобразования общепринятым символом Е, а не 1, как это соответствовало бы обозначе- ниям в остальных главах. Наконец, оператор инверсии обозначается в этой главе символом / вместо использованного в § 30 символа Р, принятого в современной литературе по квантовой механике. 438 ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ ГЛ. XII случаях элемент может совпадать со своим обратным, в част- ности, Е~1 = Е. Очевидно, что взаимно обратные элементы А и Л коммутативны. Элемент, обратный произведению АВ двух элементов, равен (АВ)-1 = В'1 А'1 и аналогично для произведения большего числа элементов; в этом легко убедиться, производя перемножение и используя за- кон ассоциативности. Если все элементы группы коммутативны, то такая группа называется абелевой. Частным случаем абелевых являются так называемые циклические группы. Под циклической понимают группу, все элементы которой могут быть получены путем воз- ведения одного из них в последовательные степени, т. е. группу, состоящую из элементов где п есть некоторое целое число. Пусть G есть некоторая группаг). Если из нее можно выде- лить некоторую совокупность элементов Н такую, что она сама тоже будет составлять группу, то группу Н называют подгруп- пой группы G. Один и тот же элемент группы может входить в различные ее подгруппы. Взяв любой элемент А группы и возводя его в последова- тельные степени, мы получим в конце концов единичный эле- мент (поскольку полное число элементов в группе конечно). Если п есть наименьшее число, при котором Ап = Е, то п называется порядком элемента А, а совокупность элементов А, А2,..., Ап = Е—периодом А. Период обозначают симво- лом {^4}; он составляет сам по себе группу, т.е. является под- группой исходной группы, причем подгруппой циклической. Для того чтобы проверить, является ли данная совокупность элементов группы ее подгруппой, достаточно убедиться в том, что при умножении всяких двух ее элементов получается эле- мент, содержащийся в той же совокупности. Действительно, то- гда вместе со всяким элементом А будут иметься и все его сте- пени, в том числе Ап~1 {п— порядок элемента), играющий роль обратного (так как Ап~1А = Ап = Е); будет иметься, очевидно, и единичный элемент. Полное число элементов группы называют ее порядком. Лег- ко видеть, что порядок подгруппы есть делитель порядка всей ) Мы будем обозначать группы курсивными жирными буквами. § 92 ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 439 группы. Для этого рассмотрим подгруппу Н группы G, и пусть G\ есть некоторый элемент группы G, не принадлежа- щий Н. Умножая все элементы Н на G\ (например, справа), мы получим совокупность (или, как говорят, комплекс) эле- ментов, обозначаемый как HG\. Все элементы этого комплекса принадлежат, очевидно, группе G. Однако ни один из них не принадлежит Н] действительно, если бы для каких-либо двух элементов На, Нъ, принадлежащих Д", было HaG\ = Нъ, то от- сюда следовало бы G\ = i?^, т. е. G\ тоже принадлежало бы подгруппе Н в противоречии с предположением. Аналогично можно показать, что если G?2 есть элемент группы G, не при- надлежащий ни Д", ни HG\, то все элементы комплекса i?G?2, не будут принадлежать ни Д", ни HG\. Продолжая этот процесс, мы в конце концов исчерпаем весь запас элементов конечной группы G. Таким образом все элементы окажутся разбитыми по множествам (называемым смежными классами Н в G) Н, HG\, HG2, • • •, HGm) каждое из которых содержит по h элементов, где h — порядок подгруппы Н. Отсюда следует, что порядок группы G равен g = hm, чем и доказывается сделанное утверждение. Целое чи- сло т = g/h называют индексом подгруппы Н в группе G. Если порядок группы есть простое число, то из доказанного непосредственно следует, что такая группа вообще не обладает никакими подгруппами (за исключением Е и самой себя). Спра- ведливо и обратное утверждение: всякая группа, не имеющая подгрупп, непременно простого порядка и к тому же должна быть циклической (в противном случае она содержала бы эле- менты, период которых составлял бы подгруппу). Введем важное понятие о сопряженных элементах. Два эле- мента А л В называются сопряженными друг с другом, если А = СВС~\ где С есть тоже элемент группы (умножив написанное равен- ство справа на С и слева на С, получим обратное равенство В = С~1АС). Существенным свойством сопряженности явля- ется то, что если А сопряжено с В, а В с С, то и i сопря- жено с С; действительно, из В = Р~1АР^ С = Q~1BQ (где Р, Q — элементы группы) следует, что С = (PQ)~1A(PQ). По этой причине можно говорить о совокупности элементов груп- пы, сопряженных друг с другом. Такие совокупности называ- ются классами сопряженных элементов или просто классами группы. Каждый класс вполне определяется одним каким-либо своим элементом А] действительно, задав Л, мы получим весь 440 ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ ГЛ. XII класс, составляя произведения GAG~1, где G пробегает все эле- менты группы (при этом, конечно, каждый элемент класса мо- жет получиться и по нескольку раз). Таким образом, мы можем разбить всю группу на классы; каждый элемент группы может входить, очевидно, только в один из классов. Единичный эле- мент группы сам по себе составляет класс, так как для всякого элемента группы GEG~1 = Е. Если группа абелева, то то же самое имеет место для каждого ее элемента; поскольку все эле- менты такой группы, по определению, коммутативны, то каж- дый элемент сопряжен только самому себе и потому сам по себе составляет класс. Подчеркнем, что класс группы (не совпадаю- щий с Е) отнюдь не является ее подгруппой; это видно уже из того, что он не содержит единичного элемента. Все элементы одного и того же класса имеют одинаковый порядок. Действительно, если п есть порядок элемента А (так что Ап = Е), то и для сопряженного с ним элемента В = САС~1 имеет место (САС'1O1 = САпС~1 = Е. Пусть Н есть подгруппа G, a G\ — элемент G, не принадле- жащий Н. Легко убедиться в том, что совокупность элементов GiHG^1 удовлетворяет всем требуемым для группы свойствам, т.е. тоже есть подгруппа группы G. Подгруппы Н и GiHG^1 называются сопряженными; каждый элемент одной из них со- пряжен одному из элементов другой. Давая G\ различные зна- чения, мы получим ряд сопряженных подгрупп, которые могут оказаться частично совпадающими друг с другом. Может слу- читься, что все сопряженные с Н подгруппы совпадают с Н. В таком случае Н называют нормальным делителем (или ин- вариантной подгруппой) группы G. Так, например, всякая под- группа абелевой группы является, очевидно, ее нормальным де- лителем. Рассмотрим группу А с п элементами А, А'А",... и груп- пу В с т элементами В, В7, В",..., и пусть все элементы А (кроме единичного Е) отличны от элементов В и коммутативны с ними. Если перемножить каждый элемент группы А с каж- дым элементом группы I?, то мы получим совокупность пт эле- ментов, которые тоже составляют группу. Действительно, для всяких двух элементов этой совокупности имеем АВ - А1 В1 = = А А' - В В' = А" В'1\ т.е. опять элемент той же совокупности. Получившуюся группу порядка пт обозначают через А х В л называют прямым произведением групп А л В. Наконец, введем понятие изоморфизма групп. Две группы А и В одинакового порядка называются изоморфными, если меж- ду их элементами можно установить взаимно однозначное соот- ветствие такое, что если элементу А соответствует элемент В, § 93 ТОЧЕЧНЫЕ ГРУППЫ 441 а элементу А1—элемент В1, то элементу А" = А А1 соответ- ствует элемент В" = ВВ1. Такие две группы, рассматриваемые абстрактно, обладают, очевидно, тождественными свойствами, хотя конкретный смысл их элементов различен.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Группы преобразований» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
