Надлежащим выбором направления оси z всегда можно об- ратить в нуль одну из компонент (например, ф2) заданного спи- нора ^Л~волнов°й функции частицы со спином 1/2. Это оче- видно уже из того, что направление в пространстве определяет- ся двумя величинами (углами), т.е. число имеющихся в нашем распоряжении параметров как раз равно числу величин (веще- ственная и мнимая части комплексного ф2), которые мы хотим обратить в нуль. Физически это значит, что если частица со спином 1/2 (будем говорить для определенности об электроне) находится в состо- янии, описываемом некоторой спиновой волновой функцией, то существует такое направление в пространстве, вдоль которого проекция спина частицы имеет определенное значение а = 1/2. Можно сказать, что в таком состоянии электрон полностью по- ляризован. Существуют, однако, и такие состояния электрона, которые можно назвать частично поляризованными. Эти состояния опи- сываются не волновыми функциями, а лишь матрицами плот- ности, т. е. они являются смешанными (по спину) состояниями (см. § 14). Спиновая (или поляризационная) матрица плотности элек- трона представляет собой спинор второго ранга рх^, нормиро- ванный условием Л = Л + Л = 1 E9.1) и удовлетворяющий условию «эрмитовости» (Р\Г = А- E9-2) В случае чистого (т. е. вполне поляризованного) спинового состо- юр волновой функции ф : яния электрона спинор рх сводится к произведению компонент E9.3) 276 СПИН ГЛ. VIII Диагональные компоненты матрицы плотности определяют вероятности значений +1/2 и —1/2 проекции спина электрона на ось z. Поэтому среднее значение этой проекции sz = \ (Л - Л), или, учитывая E9.1), Л = - + sz, р22 = - - sz. E9.4) В чистом состоянии среднее значение величин sj- = sx ± г5у вычисляется как Так как согласно E5.6) и E5.7), операторы s± выражаются мат- рицами /О 1\ /0 0\ j 5 = ^ j то находим Соответственно в смешанном состоянии будет рх2 = 5_, р21 = 5+. E9.5) С помощью матриц Паули формулы E9.4) и E9.5) могут быть записаны совместно в виде p\ = ^\ + 2o\s). E9.6) Таким образом, все компоненты поляризационной матрицы плотности электрона выражаются через средние значения ком- понент его вектора спина. Другими словами, вещественный век- тор s полностью определяет свойства поляризации частицы со спином 1/2. В предельном случае полной поляризации одна из компонент этого вектора (при соответствующем выборе направ- ления осей) равна 1/2, а две другие —нулю. В обратном случае неполяризованного состояния все три компоненты равны нулю. В общем же случае произвольной частичной поляризации и про- извольном выборе системы координат имеет место неравенство 0 ^ р ^ 1, где есть величина, которую можно назвать степенью поляризации электрона. § 60 ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ И ТЕОРЕМА КРАМЕРСА 277 Для частицы с произвольным спином s матрица плотности есть спинор рх^-~p(j ранга 4s, симметричный по первым 2s и по последним 2 s индексам и удовлетворяющий условиям /""V.. = !> E9-7) V., E9.8) Для подсчета числа независимых компонент матрицы плотно- сти замечаем, что среди возможных наборов значений индексов Л, /i,... (или индексов р, сг,...) имеется лишь 2s + 1 существенно различных. Учитывая также, что компоненты спинора р ^'"р<7 связаны одним соотношением E9.7), найдем, что число различ- ных компонент равно Bs + IJ — 1 = 4s(s + 1). Хотя эти компо- ненты являются комплексными величинами, но в силу соотно- шений E9.8) это обстоятельство не увеличивает общего числа независимых величин, характеризующих состояние частичной поляризации частицы и равного, таким образом, 4s(s + l)г). Для сравнения укажем, что состояние полной поляризации частицы описывается всего 4s величинами Bs+ 1 комплексных компонент волновой функции фх^--^ связанных одним условием нормиров- ки и содержащих одну несущественную для описания состояния общую фазу). Как и всякий спинор ранга 4s, спинор р^'"ра эквивалентен совокупности неприводимых тензоров рангов 4s, 4s — 2,..., 0. В данном случае имеется всего по одному тензору каждого из этих рангов, поскольку в силу свойств симметрии спинора рх^-~p(j ка- ждое его упрощение может происходить лишь одним способом — по одному (любому) из индексов Л, /i,... и одному из р, <т,... Кроме того, скаляр (тензор ранга 0) вообще отсутствует, сводясь в силу условия E9.7) к единице.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Частичная поляризация частиц» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
