Вернемся к вопросу о преобразовании спиноров и покажем, каким образом коэффициенты этого преобразования могут быть фактически выражены через углы поворота координатных осей. По определению оператора момента (в данном случае спина), выражение 1 + iS<p • us есть оператор поворота на угол 5ср вокруг направления, задаваемого единичным вектором п; в применении к волновой функции частицы со спином 1/2, т. е. к спинору пер- вого ранга, надо положить в этом операторе "s = а/2. Оператор же поворота на конечный угол ср вокруг того же направления будет соответственно даваться формулой Un = ехр(г<рпа/2) E8.1) (ср. A5.13)). Как и всякая функция матриц Паули (см. задачу 1, §55), это выражение сводится к линейному по этим матрицам выражению Un = cos((p/2) + ina • sin(<p/2). E8.2) Так, для поворота вокруг оси z находим тт ( \ ? , — • Ч> /^хр(г<р/2) 0 \ /го оЧ U (m) = COS - + IGZ SHI - = n / ¦ /n\\- E8.3) Это значит, что компоненты спинора при таком повороте преоб- разуются по закону В частности, при повороте на угол 2тг компоненты спинора ме- няют знак; таким же свойством будут, следовательно, обладать также и спиноры любого нечетного ранга (ср. конец §55). Аналогичным образом найдем матрицы преобразований, со- стоящих в повороте на угол (р вокруг оси х или оси у: \('cos(<p/2) ism(<p/2)\ jj , , ( cos(<p/2) >-\i{/2) (/2)J uvVP)-\ i^/2) cos(^J E8.4) 270 СПИН ГЛ. VIII Отметим частный случай поворота на угол тг вокруг оси у, при котором ф1' = ф2, ф2' = - 5а ф1 = *01? <ф2 = ф2- E8.5) Легко написать теперь матрицу преобразования при произ- вольном повороте координатных осей в зависимости от углов Эй- лера, определяющих этот поворот. Вращение осей, определяемое углами Эйлера а, /3, 7? произ- водится в три приема: 1) поворот на угол а @ ^ а ^ 2тг) вокруг оси z, 2) поворот на угол /3 @ ^ /3 ^ тг) вокруг нового положения оси у (ON на рис.20, так называемая линия узлов), 3) поворот на угол 7 @ ^ 7 ^ 2тг) во- круг получившегося окончательного по- ложения (z1) оси z1). Очевидно, что углы а, /3 совпадают со сферическими углами (/?, # новой оси z' по отношению к осям xyz: а = ср, /3 = в. Соответственно такому способу по- ворота осей, матрица полного преобра- Рис. 20 зования равна произведению трех мат- риц E8.3), E8.4): Непосредственным перемножением матриц окончательно нахо- дим *,0,7) = E8.6) Спиноры высших рангов преобразуются, по определению, как произведения компонент спинора первого ранга. В физи- ческих применениях, однако, представляют интерес не столько х) Системы xyz и х'у1V', как всегда, — правовинтовые, а положительное на- правление отсчета углов отвечает направлению буравчика, завинчиваемого в положительном направлении оси поворота. Данное здесь определение углов Эйлера (принятое в квантовомеханиче- ских применениях) отличается от определения в § 35 (см. т. I) тем, что второй поворот производится вокруг оси у, а не вокруг оси х. Углы а, /3, 7 связа- ны с углами (р, 0, ф в т. I (не смешивать со сферическими углами <р, в\) посредством 7Г ^ /^ / 7Г § 58 ОПЕРАТОР КОНЕЧНЫХ ВРАЩЕНИЙ 271 законы преобразования самих спиноров, сколько отвечающих им волновых функций ipjm. Пусть функции ipjm (га = j, j — 1,..., —j) описывают в ко- ординатной системе xyz состояние с определенным значением момента j, а функции ijjjm' — то же состояние по отношению к осям х'у1V; в первом случае т есть значение jz, а во втором: т! = jzt. Те и другие функции связаны друг с другом линейны- ми соотношениями, которые запишем в виде rtU'- E8.7) Коэффициенты D^Jm составляют (по отношению к индексам т'т) матрицу ранга 2j + 1 — матрицу конечных вращений D^\ ее элементы являются функциями углов поворота а, /3, 7 систе- мы х'у1 z1 относительно xyz. Конструктивное построение матрицы конечных вращений может быть произведено с помощью спинорного представления ФУНКЦИЙ ij)jm. При j = 1/2 две функции ^i/2m (m = ±1/2) составляют ковариантный спинор первого ранга. Согласно E6.13) его пре- образование (от системы х'у1z1 к системе xyz) осуществляется матрицей U E8.6), так что D^1/2) = U1). Запишем ее элементы в виде A/2) Jm'^ М е а где пу -1/2 1/2 -1/2 cos(/V2) sin(/3/2), E8.8) -sm(/3/2) cos(/3/2). При произвольном значении j функции ipjm связаны с ком- понентами симметричного ковариантного спинора ранга 2j фор- мулой E7.6). Матрица преобразования компонент спинора ран- га 2j есть произведение 2j матриц ZH1/2), каждая из которых г) Обратим внимание на то, что матричные индексы в E8.7) как раз рас- положены в порядке, отвечающем перемножению столбцов матрицы D^ с расположенными в строку функциями ф^т'. В символической записи ра- венство E8.7) должно было бы быть написано как ф^т = (i соответствии с записью в E6.13). 272 СПИН ГЛ. VIII действует на один из спинорных индексов. Произведя перемно- жение и вернувшись снова к функциям t/jjm, получим матрицу преобразования последних в виде Л?1>. Р,7) = eim'^S?mPeima, E8.9) причем функции (\^,m(f3) даются формулой1) )\(j-m)\\ х (sin|J P]_m, + 4COS/3), E8.10) где ^b) {^ - cos/3)-a(l + cos/3)-bx [A - cos/3)a+"(l + cosP)b+n] E8.11) — так называемые полиномы Якоби2). Отметим, что р(а>ьЦ-со8р) = {-l)nPib>a\cosp). E8.12) Функции (\^,ш обладают рядом свойств симметрии, которые можно было бы усмотреть из выражений E8.11) и E8.12), но проще вывести непосредственно из их определения как коэффи- циентов вращательного преобразования. Матрица D^' как матрица вращательного преобразования унитарна. Поскольку преобразование, обратное повороту (а,/3,7), есть поворот (—7, — /3, — ol) to для вещественной мат- рицы а^) отсюда получаются соотношения 1) Проведение вычислений молено найти в книге: A. R. Edmonds. Angular momentum in quantum mechanics. —Princeton, 1957 (см. также перевод статьи того же автора в сб.: Деформация атомных ядер. —М.: ИЛ, 1958). Опреде- ление функций D^;m, согласно E8.9), E8.10), отличается от принятого в книге Эдмондса перестановкой а и 7 (что более естественно в излагаемом подходе), а от принятого в статье еще и изменением знаков всех углов. ) Связь этих полиномов с гипергеометрическим рядом—см. §е (форму- ла (е.11)). 58 ОПЕРАТОР КОНЕЧНЫХ ВРАЩЕНИЙ 273 Далее, справедливы равенства При j = 1/2 они очевидны из E8.8), а их обобщение для про- извольных j очевидно из описанного выше способа построения матрицы преобразования. Произведем поворот на угол тг — /3 как два последовательных поворота на углы тг и —/3: arn'ra\K P) — Z^ат'т"\1Г)ат"т\ P) ~ У l> п-гп'гаУ Р)> m" или, используя E8.13), Результат двух поворотов вокруг одной и той же оси не зависит от их последовательности. Поэтому мы должны получить тот же результат, произведя повороты —/3 и тг в обратном порядке. Сделав это и сравнив ответ с E8.16), получим соотношение Из E8.17), E8.14) и E8.13) следует, что €>т(Р) = (-1Г'-т41<(/?) = (-l)m'-m^L(-/5)- E8-18) На основании E8.13)-E8.18) могут быть написаны различ- ные свойства симметрии полных функций D^Jm. Отметим, в частности, выражение комплексно сопряженной функции E8.19) С математической точки зрения, матрицы D^ дают унитарные неприводимые представления группы вращений с размерностью 2j + 1 (см. ниже, §98). Отсюда сразу следует соотношение орто- гональности и нормировки E8.20) где dui = sin C da d/3 dj. 274 спин ГЛ. VIII Ортогональность функций по индексам т и т! обеспечива- ется множителем ехр{г(та + 777/7)}- Ортогональность лее по ин- дексу j связана с функциями d , , для которых имеем 7Г /¦ {h) (Я)sinf3df3 E8.21) Наконец, приведем, для справок, выражения функций а^,ш для некоторых частных значений параметров. При j = 1 имеем w!/ 1 0 -1 !<> 1 + COS/3) 1 -cos/3) 0 ^^ sin/3 V2 cos/3 !sin/3 |A-сов/3), 1 2 E8.22) При целом j = / и m7 = 0 формулы E8.10) и E8.11) дают - РГ {cos P). E8.23) Происхож:дение этой формулы легко проследить из исходного определения E8.7). Будем относить значения функций ipjmr в правой части E8.7) к оси zf', на которой имеем (при j = /) = г E8.24) Функция же ijjjm в левой части будет тогда шаровой функцией У/т(/3, а) от сферических углов ср = а, в = /3 направления оси z'. Подставив E8.24) в E8.7), получим E8.25) что эквивалентно E8.23). § 59 ЧАСТИЧНАЯ ПОЛЯРИЗАЦИЯ ЧАСТИЦ 275 Наконец, приведем выражение функции при наибольшем воз- можном значении одного из индексов т^т!: ^ (cos^) (sin 2) . E8.26) {j + m)\{j-m)\\ \ 2) \ 2/ V '
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Оператор конечных вращений» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
