Для выяснения некоторых особенностей квантовомеханиче- ского двилсения полезно изучить случай, не имеющий, правда, непосредственного физического смысла, — движение частицы в поле с потенциальной энергией, обращающейся в некоторой точ- ке (начале координат) в бесконечность по закону С/(г) ~ —/3/г2 (/3 > 0); вид поля вдали от начала координат нас не будет ин- тересовать. Мы видели в § 18, что этот случай — как раз проме- жуточный между теми, когда имеются обычные стационарные § 35 ПАДЕНИЕ ЧАСТИЦЫ НА ЦЕНТР 151 состояния, и случаями, когда происходит «падение» частицы в начало координат. Вблизи начала координат уравнение Шредингера в рассма- триваемом случае будет следующим: В" + -В1 + ^R = 0 C5.1) г г (В(г) — радиальная часть волновой функции), где введена по- стоянная 9 п Zi [lip 7 / 7 i \ /ОГ О\ 7 = —2 Н^ + Ч (oo.zj и опущены все члены более низкого порядка по 1/г; значение энергии Е предполагается конечным, и потому соответствующий член в уравнении тоже опущен. Ищем В в виде В ~ г5; тогда получаем для 5 квадратное уравнение 5E + 1) +7 = О с двумя корнями Гл л Пг C5.3) Для дальнейшего исследования удобно поступить следую- щим образом. Выделим вокруг начала координат малую область радиуса го и заменим функцию —j/r2 в этой области постоян- ной величиной —j/tq. Определив волновые функции в таком «обрезанном» поле, мы затем посмотрим, что получается при переходе к пределу г о —>> 0. Предположим сначала, что j < 1/4. Тогда 5i и 52 — веще- ственные отрицательные числа, причем si > 52- При г > го об- щее решение уравнения Шредингера имеет вид (речь идет везде о малых г) В = ArSl + BrS2 C5.4) (Л, В — постоянные). При г < го решение уравнения R -\—R -\—^R = 0, конечное в начале координат, имеет вид ^. C5.5) Г Го При г = го функция R и ее производная R1 должны быть непре- рывными функциями. Удобно написать одно из условий в виде 152 ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ ГЛ. V условия непрерывности логарифмической производной от rR. Это приводит к уравнению Ar?+1 + Br?+i -=kctZkr° или A(S1 + 1)С + B(s2 Решенное относительно отношения В /А, это уравнение дает вы- ражение вида - = const -rg1". C5.6) Переходя теперь к пределу г о —>• 0, находим, что В/А —>• О (напоминаем, что s\ > 52). Таким образом, из двух расходящих- ся в начале координат решений уравнения Шредингера C5.1) должно быть выбрано то, которое обращается в бесконечность менее быстро: R = A-^. C5.7) Пусть теперь 7 > 1/4. Тогда 5i и 52 комплексны: Повторяя предыдущие рассуждения, снова придем к равенству C5.6), которое при подстановке значений s\ и 52 дает В г л/47—I /or o\ — = const -rov J . C5.8) При го —>* 0 это выражение не стремится ни к какому определен- ному пределу, так что прямой переход к пределу го —>> 0 невозмо- ж:ен. С учетом C5.8) общий вид вещественного решения может быть написан следующим образом: 1 / / 1 г \ i? = const •— cosf д/7 In h const I. C5.9) V r V у 4 ro / Эта функция обладает нулями, число которых неограниченно растет с уменьшением tq. Поскольку, с одной стороны, выраже- ние C5.9) справедливо для волновой функции (при достаточно малых г) при любом конечном значении энергии Е частицы, а, с другой стороны, волновая функция нормального состояния со- всем не должна иметь нулей, то мы приходим к выводу, что § 35 ПАДЕНИЕ ЧАСТИЦЫ НА ЦЕНТР 153 «нормальное состояние» частицы в рассматриваемом поле соот- ветствует энергии Е = — ос. Но во всяком состоянии дискретного спектра частица находится, в основном, в области пространства, в которой Е > U. Поэтому при Е —>• — ос частица находится в бесконечно малой области вокруг начала координат, т. е. проис- ходит «падение» частицы на центр. «Критическое» поле С/кр, при котором становится возмож- ным падение частицы на центр, соответствует значению 7=1/4. Наименьшее значение коэффициента при — 1/г2 получается, ко- гда / = 0, т. е. 2 UKP = -?-;. C5.10) Из формулы C5.3) (для s±) видно, что допускаемое решение уравнения Шредингера (вблизи точки, где U ~ 1/г2) расхо- дится при г —>• 0 не быстрее чем 1/л/г. Если поле обращается при г —>• 0 в бесконечность медленнее чем 1/г2, то в уравнении Шредингера в области вблизи начала координат можно вовсе пренебречь U(г) по сравнению с остальными членами, и мы по- лучим те же решения, что и для свободного движения, т.е.ф~г1 (см §33). Наконец, если поле обращается в бесконечность быст- рее чем 1/г2 (как —1/г5 с s > 2 ), то волновая функция вблизи начала координат пропорциональна г5/4 (см. задачу к § 49). Во всех этих случаях произведение гф обращается при г = 0 в нуль. Далее, исследуем свойства решений уравнения Шредингера в поле, спадающем на больших расстояниях по закону U ~ —/3/г при произвольном его виде на малых расстояниях. Предполо- жим сначала, что 7 < 1/4- Легко видеть, что в этом случае может существовать лишь конечное число отрицательных уров- ней энергии1). Действительно, при энергии Е = 0 уравнение Шредингера на больших расстояниях имеет вид C5.1) с общим решением C5.4). Но функция C5.4) не имеет (при г ф 0) нулей; поэтому все нули искомой радиальной волновой функции лежат на конечных расстояниях от начала координат и их число, во всяком случае, конечно. Другими словами, порядковый номер уровня Е = 0, замыкающего дискретный спектр, конечен. Если же 7 > 1/4, то дискретный спектр содержит бесконеч- ное число отрицательных уровней энергии. Действительно, вол- новая функция состояния с Е = 0 имеет на больших расстояниях вид C5.9) с бесконечным числом нулей, так что ее порядковый номер во всяком случае бесконечен. г) Предполагается, что при малых г поле таково, что падения частицы не происходит. 154 ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ ГЛ. V Наконец, пусть поле U = —/3/г2 во всем пространстве. Тог- да при 7 > 1/4 происходит падение частицы. Если лее 7 < 1/4, то отрицательные уровни энергии отсутствуют вовсе. Действи- тельно, волновая функция состояния сВ = 0 будет во всем про- странстве вида C5.7); она не имеет вовсе нулей на конечных рас- стояниях, т. е. соответствует наиболее низкому (при данном /) уровню энергии.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Падение частицы на центр» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
