Задача о движении двух взаимодействующих друг с другом частиц в квантовой механике может быть сведена к задаче об одной частице, — аналогично тому, как это может быть сделано в классической механике. Гамильтониан двух частиц (с масса- ми mi, ^2), взаимодействующих по закону U® G—расстояние между частицами), имеет вид Н = --^Ai - -^А2 + U®, C2.1) 2mi 2m где Ai, A2 —операторы Лапласа по координатам частиц. Вве- дем вместо радиусов-векторов частиц Г2 и ri новые переменные R и г: г = г2-гь R= ¦ ; C2.2) rai + 7712 г—вектор взаимного расстояния, a R—радиус-вектор центра инерции частиц. Простое вычисление приводит к результату; Н = ——^ -Дд - —А + U® C2.3) 2(rai + 1712) 2га (Ад и А — операторы Лапласа соответственно по компонен- там векторов R и г; mi + 7712 — полная масса системы; т = = ГП1ГП2/'(mi + 7712) —приведенная масса). Таким образом, га- мильтониан распадается на сумму двух независимых частей. Соответственно этому, можно искать ^(ri,^) в виде произве- дения (р(И)ф(г), где функция (р(И) описывает движение центра инерции (как свободное движение частицы с массой mi + 7712), а ф(г) описывает относительное движение частиц (как движение частицы массы m в центрально-симметричном поле U = U®). Уравнение Шредингера для движения частицы в централь- но-симметричном поле имеет вид -2^[Е-и(г)]ф = 0. C2.4) § 32 ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ 137 Воспользовавшись известным выражением для оператора Ла- пласа в сферических координатах, напишем это уравнение в виде ® + г2 дг\ дг) (^)J^]^_W = 0. C2.5) sm6d6\ dOJ sin2 <9 a^2 J П Если ввести сюда оператор B6.16) квадрата момента, то мы по- лучим 1) f 2га При движении в центрально-симметричном поле момент им- пульса сохраняется. Будем рассматривать стационарные состоя- ния с определенными значениями момента / и его проекций га. Заданием значений /ига определяется угловая зависимость вол- новых функций. Соответственно этому, ищем решения уравне- ния C2.6) в виде ф = 11(г)?1т(в,<р), C2.7) где YimF,(p)— сферические функции. Поскольку 1 Y\rn = = 1A + l)l^m, то для «радиальной функции» R® получаем уравнение 1 A.(r2d_R\ _ Щ1±к + ^[Е_ u{r)]R = о. (з2.8) г dr \ dr / г И Это уравнение не содерж:ит вовсе значения lz = га, что соот- ветствует известному уже нам B/ + 1)-кратному вырождению уровней по направлениям момента. Займемся исследованием радиальной части волновых функ- ций. Подстановкой R® = ^ C2.9) ) Если ввести оператор радиальной компоненты импульса рг в виде Ргф = -Игь- — (гф) = -iH ( — + - ) ф, г or \дг г / то гамильтониан запишется в виде H 2гп совпадающем по форме с классической функцией Гамильтона в сферических координатах. 138 ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ ГЛ. V уравнение C2.8) приводится к виду ^±Щ = 0. C2.10) Если потенциальная энергия U(г) везде конечна, то должна быть конечной во всем пространстве, включая начало коорди- нат, также и волновая функция ф, а следовательно, и ее ради- альная часть R®. Отсюда следует, что %(г) должна обращаться при г = 0 в нуль: Х(О) = 0. C2.11) В действительности это условие сохраняется (см. § 35) также и для поля, обращающегося при гчОв бесконечность. Уравнение C2.10) по форме совпадает с уравнением Шредин- гера для одномерного движения в поле с потенциальной энергией tMr) = ?/(г) + ?^±12, C2.12) равной сумме энергии U(г) и члена П2Щ + 1) П2\2 2тг2 2тг2 который можно назвать центробежной энергией. Таким образом, задача о движении в центрально-симметричном поле сводится к задаче об одномерном движении в области, ограниченной с одной стороны (граничное условие при г = 0). «Одномерный характер» имеет также и условие нормировки для функций %, определяющееся интегралом оо оо J\R\2r2dr = j\X\2dr. При одномерном движении в ограниченной с одной стороны области уровни энергии не вырождены (§21). Поэтому мож- но сказать, что заданием значения энергии решение уравне- ния C2.10), т.е. радиальная часть волновой функции, определя- ется полностью. Имея также в виду, что угловая часть волновой функции полностью определяется значениями / и га, мы прихо- дим к выводу, что при движении в центрально-симметричном поле волновая функция полностью определяется значениями Е, /, га. Другими словами, энергия, квадрат момента и его проек- ция составляют вместе полный набор физических величин для такого движения. § 32 ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ 139 Сведение задачи о движении в центрально-симметричном по- ле к одномерному позволяет применить осцилляционную теоре- му (§21). Расположим собственные значения энергии (дискрет- ного спектра) при заданном / в порядке возрастания, перенуме- ровав их порядковыми номерами пг, причем наиболее низкому уровню приписывается номер пг = 0. Тогда пг определяет число узлов радиальной части волновой функции при конечных значе- ниях г (не считая точки г = 0). Число пг называют радиальным квантовым числом. Число I при движении в центрально-симме- тричном поле иногда называют азимутальным квантовым чи- слом, am — магнитным квантовым числом. Для обозначения состояний с различными значениями мо- мента / частицы существует общепринятая символика; состоя- ния обозначаются буквами латинского алфавита со следующим соответствием: /=01234567... гоол*\ s р d f g h i k ... [6Z.i6) Нормальным состоянием при движении частицы в централь- но-симметричном поле всегда является s-состояние; действи- тельно, при / ф 0 угловая часть волновой функции во всяком слу- чае имеет узлы, между тем как волновая функция нормального состояния не должна иметь узлов вовсе. Можно также утвер- ждать, что наименьшее возможное при заданном / собственное значение энергии растет с увеличением /. Это следует уже из того, что наличие момента связано с добавлением в гамиль- тониане существенно положительного члена V?l(l + l)/Bmr2), растущего с увеличением /. Определим вид радиальной функции вблизи начала коорди- нат. При этом будем считать, что lim U®r2 = 0. C2.14) г—)>0 Ищем R® в виде степенного ряда по г, оставляя при малых г только первый член разложения; другими словами, ищем R® в виде R = const -rs. Подставляя это в уравнение получающееся из C2.8) умножением последнего на г2 и перехо- дом кг-^0, найдем Отсюда s = / или s = — (I + 1). 140 ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ ГЛ. V Решение с s = —(/ + 1) не удовлетворяет необходимым услови- ям; оно обращается в бесконечность при г = 0 (напомним, что I ^ 0). Таким образом, остается решение с s = /, т.е. вблизи начала координат волновые функции состояний с данным / про- порциональны г1: Ri « const-/. C2.15) Вероятность частице находиться на расстоянии от центра между г и г + dr определяется величиной r2|i?2| и поэтому про- порциональна r2(/+1). Мы видим, что она тем быстрее обращает- ся в нуль в начале координат, чем больше значение /.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Движение в центрально-симметричном поле» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
