Все выведенные в §3,4 соотношения, описывающие свойст- ва собственных функций дискретного спектра, без труда могут быть обобщены на случай непрерывного спектра собственных значений. Пусть / — физическая величина, обладающая непрерывным спектром. Ее собственные значения мы будем обозначать просто той же буквой / без индекса, а соответствующие собственные функции будем обозначать Фу. Подобно тому как произволь- ная волновая функция Ф может быть разложена в ряд C.2) по собственным функциям величины с дискретным спектром, она может быть также разложена — на этот раз в интеграл — и по полной системе собственных функций величины с непрерывным спектром. Такое разложение имеет вид V(q)=JafVf(q)df, E.1) где интегрирование производится по всей области значений, ко- торые может принимать величина /. Более сложным, чем в случае дискретного спектра, является вопрос о нормировке собственных функций непрерывного спек- тра. Требование равенства единице интеграла от квадрата моду- ля функции здесь, как мы увидим далее, невыполнимо. Вместо этого поставим себе целью пронормировать функции Фу таким образом, чтобы \af\2 df представляло собой вероятность рассмат- риваемой физической величине иметь в состоянии, описываю- щемся волновой функцией Ф, значение в заданном интервале НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР 33 между / и / + df. Поскольку сумма вероятностей всех возмож- ных значений / должна быть равна единице, то имеем \af\2df = l E.2) (аналогично соотношению C.3) для дискретного спектра). Поступая в точности аналогично тому, как мы делали при выводе формулы C.5), и используя те же соображения, пишем, с одной стороны, \q = J\af\2df, и, с другой стороны, г тт« , /у *т*т ,, , I \1/\1/ /7/7 — / / /7 /.U/ /.U/ ПТ ПП J clq-JJa^^dfdq. Из сравнения обоих выражений находим формулу, определя- ющую коэффициенты разложения af=J*{q)**f(q)dq, E.3) в точности аналогичную C.5). Для вывода условия нормировки подставим теперь E.1) в E.3): Это соотношение должно иметь место при произвольных а у и по- тому должно выполняться тождественно. Для этого необходимо прежде всего, чтобы коэффициент при а у под знаком интеграла (т. е. интеграл J Ф^/Фх dq) обращался в нуль при всех f ф /. При f' = f этот коэффициент должен обратиться в бесконечность (в противном случае интеграл по df будет равен просто нулю). Та- ким образом, интеграл / Ф^/Ф^с?д есть функция разности / — /7, обращающаяся в нуль при отличных от нуля значениях аргумен- та и в бесконечность при равном нулю аргументе. Обозначим эту функцию через 8{f — /): r**fdq = 6(f'-f). E.4) Способ обращения функции 6(ff — /) в бесконечность при f — / = 0 определяется тем, что должно быть J6(f'-f)af.df' = 34 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ ГЛ. I Ясно, что для этого должно быть Js{f'-f)df' = l. Определенная таким образом функция называется 6- функци- ей1) . Выпишем еще раз определяющие ее формулы. Имеем 5(х) = О при х ф 0, 5@) = ос, E.5) причем так, что I 5(x)dx = 1. E.6) —оо В качестве пределов интегрирования можно написать любые другие, между которыми находится точка х = 0. Если f(x) есть некоторая функция, непрерывная при х = 0, то J S(x)f(x)dx = f@). E.7) —оо В более общем виде эта формула может быть написана как fs(x-a)f(x)dx = f(a), E.8) где область интегрирования включает точку х = a, a f(x) — непрерывна при х = а. Очевидно также, что (^-функция четна, т. е. 5(-х) = д(х). E.9) Наконец, написав оо S(ax)dx= f 5{y)d^ = ^-v J a \a\ — оо —оо приходим к выводу, что 5(ах) = ^-5(х), E.10) \а\ где а — любая постоянная. 1) Дельта-функция была введена в теоретическую физику Дираком (P. A.M. Dime). НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР 35 Формула E.4) выражает собой правило нормировки соб- ственных функций непрерывного спектра; она заменяет собой условие C.6) дискретного спектра. Мы видим, что функции Фу и Фу/ с / ф f по-прежнему ортогональны друг к другу. Ин- тегралы же от квадратов |Ф/|2 функций непрерывного спектра расходятся. Функции Ф/(#) удовлетворяют еще одному соотношению, сходному с E.4). Для его вывода подставляем E.3) в E.1), что дает откуда сразу заключаем, что должно быть q'). E.11) Аналогичное соотношение может быть, разумеется, выведено и для дискретного спектра, где оно имеет вид q). E.12) Сравнив пару формул E.1) и E.4) с парой E.3) и E.11), мы видим, что, с одной стороны, функции Ф/(д) осуществляют раз- ложение функции Ф(д) с коэффициентами разложения ау, а, с другой стороны, формулу E.3) можно рассматривать как совер- шенно аналогичное разложение функции af = a(f) по функци- ям Ф^(д), причем роль коэффициентов разложения играет Ф(д). Функция а(/), как и Ф(д), вполне определяет состояние систе- мы; о ней говорят как о волновой функции в f-представлении (а о функции Ф(д) — как о волновой функции в д-представле- нии). Подобно тому как |Ф(д)|2 определяет вероятность для си- стемы иметь координаты в заданном интервале dq, так |а(/)|2 определяет вероятность значений величины / в заданном ин- тервале df. Функции же Ф/(д) являются, с одной стороны, соб- ственными функциями величины / в ^-представлении и, с дру- гой стороны, их комплексно сопряженные Ф^(^) представляют собой собственные функции координаты q в /-представлении. Пусть (/?(/)— некоторая функция величины /, причем такая, что <р и / связаны друг с другом взаимно однозначным образом. Каждую из функций Ф/(^) можно тогда рассматривать и как собственную функцию величины ср. При этом, однако, необхо- димо изменить нормировку этих функций. Действительно, соб- 36 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ ГЛ. I ственные функции Ф^(д) величины ср должны быть нормирова- ны условием между тем как функции Фу нормированы условием E.4). Аргу- мент ^-функции обращается в нуль при f = /. При /7, близком к /, имеем Используя выражение E.10), можно написать1) Сравнение E.13) с E.4) показывает теперь, что функции Ф<^ и связаны друг с другом соотношением т •'¦ EЛ4) Существуют такие физические величины, которые обладают в некоторой области своих значений дискретным спектром, а в другой—непрерывным. Для собственных функций такой вели- чины имеют, разумеется, место все те же соотношения, которые были выведены в этом и предыдущих параграфах. Надо только отметить, что полную систему функций образует совокупность собственных функций обоих спектров вместе. Поэтому разложе- ние произвольной волновой функции по собственным функциям такой величины имеет вид [ E.15) где сумма берется по дискретному, а интеграл — по всему непре- рывному спектру. Примером величины, обладающей непрерывным спектром, является сама координата q. Легко видеть, что соответствующим ей оператором является простое умножение на q. Действительно, х) Вообще, если <р(х) есть некоторая однозначная функция (однако обрат- ная ей функция может быть неоднозначной), то имеет место формула где ol% — корни уравнения (р(х) = 0. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД 37 поскольку вероятность различных значений координаты опреде- ляется квадратом |Ф(д)|2, то среднее значение координаты f 2 f * gr= / g$ dq= /Ф Сравнив это выражение с определением операторов соглас- но C.8), мы видим, что1) q = q. E.16) Собственные функции этого оператора должны определяться, согласно общему правилу, уравнением q^qo = qo^qo, где посред- ством q$ временно обозначены конкретные значения координа- ты в отличие от переменной q. Поскольку это равенство может удовлетворяться либо при Фдо = 0, либо при q = qo, то ясно, что удовлетворяющие условию нормировки собственные функ- ции есть2) ЪЧ0=5(д-до). E.17)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Непрерывный спектр» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
