Рассмотрим замкнутую систему со многими степенями сво- боды, совершающую финитное (по всем координатам) дви- жение. Предположим при этом, что задача допускает полное разделение переменных в методе Гамильтона-Якоби. Это зна- чит, что при соответствующем выборе координат укороченное действие представляет собой сумму 5о = ?йЫ E2.1) г функций, каждая из которых зависит только от одной из координат. Поскольку обобщенные импульсы _ dSp _ dSj Pi ~ dqi ~ dqi' то каждая из функций Si может быть представлена в виде = J ju dqi. E2.2) Эти функции неоднозначны. В силу финитности движения каждая из координат может пробегать значения лишь в опреде- ленном конечном интервале. При изменении qi в этом интервале «вперед» и «назад» действие получает приращение E2.3) где Ii есть интеграл Ii = ^jpidqi, E2.4) взятый по указанному изменению qi 1). ) Подчеркнем, однако, что здесь идет речь о формальном изменении координаты qi во всем допустимом интервале ее значений, а не об изме- нении за период реального движения (как это было в случае одномерного движения). Реальное финитное движение системы с несколькими степеня- ми свободы не только является в общем случае периодическим в целом, но даже изменение со временем каждой из ее координат в отдельности не является периодическим (см. ниже). § 52 УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ 213 Произведем теперь каноническое преобразование аналогич- но тому, как это было сделано в предыдущем параграфе для случая одной степени свободы. Новыми переменными будут «пе- ременные действия» 1{ и «угловые переменные» _ dSo(q,I) _ ^ dSk(qk,I) ,„ -ч к где производящей функцией снова является действие, выражен- ное в функции координат и величин If, уравнения движения в этих переменных д=0, w, f дают Ii = const, E2.6) щ = ^lt + const. E2.7) Мы найдем также аналогично E0.7), что полному измене- нию координаты qi («вперед» и «назад» ) отвечает изменение соответствующего wi на 2п\ Awi = 2тг. E2.8) Другими словами, величины Wi(q,I) являются неоднозначными функциями координат, которые при изменении последних с воз- вращением к первоначальным значениям могут изменяться на любое целое кратное от 2тс. Это свойство можно сформулиро- вать также и как свойство функции W{ (p, q) (выраженной через координаты и импульсы) в фазовом пространстве системы. По- скольку сами величины /;, если их выразить через рид, явля- ются однозначными функциями этих переменных, то, подставив Ii(pj q) в Wi(q, /), мы получим функцию Wi(p, q), которая при об- ходе по любой замкнутой кривой в фазовом пространстве может измениться на целое кратное от 2тс (либо на нуль). Отсюда следует, что всякая однозначная функция состояния системы F(p,q) x), будучи выражена через канонические пере- менные, является периодической функцией угловых перемен- х) «Вращательные координаты» — углы (р (см. примеч. на с. 204) — неод- нозначно связаны с состоянием системы, так как значения (р, отличающиеся на целое кратное 2я, отвечают одному и тому же положению системы. По- этому, если среди координат q имеются такие углы, то они могут входит в функцию F(q,p) лишь в виде таких выражений, как cos (p или sincp, связь которых с состоянием системы однозначна. 214 КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГЛ. VII ных с периодом 27Г по каждой из них. Ее можно поэтому разло- жить в кратный ряд Фурье вида сю сю Р= ? ••• Е Allh...lsexp[i(l1w1 + --- + lsws)] l^=—oo ls=—oo (Zi, Z2,..., ls — целые числа). Подставив же сюда угловые пере- менные как функции времени, найдем, что временная зависи- мость F определяется суммой вида V2{(f f)} E2.9) ll=—сю ls=—сю Каждый из членов этой суммы есть периодическая функция времени с частотой Ziwi + --- + Zsws, E2.10) представляющей собой сумму целых кратных от основных частот о>, = f • E2.11) Но поскольку все частоты E2.10) не являются, вообще говоря, целыми кратными (или рациональными частями) какой-либо одной из них, то вся сумма в целом не является строго пери- одической функцией. Это относится, в частности, и к самим ко- ординатам q и импульсам р системы. Таким образом, движение системы не является в общем слу- чае строго периодическим ни в целом, ни по какой-либо из ко- ординат. Это значит, что если система прошла через какое-либо состояние, то она не пройдет через него повторно ни через какое конечное время. Можно, однако, утверждать, что по истечении достаточно большого промежутка времени она пройдет сколь угодно близко от этого состояния. Это свойство имеют в виду, называя такое движение условно-периодическим. В различных частных случаях две (или более) из основных частот a)i могут оказаться соизмеримыми (при произвольных значениях величин Ц). В таких случаях говорят о наличии вы- рождения, а если все s частот соизмеримы, то движение системы называют полностью вырожденным. В последнем случае, оче- видно, движение строго периодично и тем самым траектории всех частиц замкнуты. Наличие вырождения приводит, прежде всего, к уменьше- нию числа независимых величин (/;), от которых зависит энер- гия системы. Пусть две частоты cui и Ш2 связаны соотношением § 52 УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ 215 дЕ дЕ ,ко 1Оч где ni и П2 — целые числа. Отсюда следует, что величины 1\ и /2 входят в энергию лишь в виде суммы П2/1 + 774/2- Весьма важной особенностью вырожденных движений яв- ляется увеличение числа однозначных интегралов движения по сравнению с их числом в общем случае невырожденной систе- мы (с тем же числом степеней свободы). В последнем случае из полного числа Bs — 1) всех интегралов движения однозначными являются всего s функций состояния системы; их полный набор составляют, например, s величин 1{. Остальные s — 1 интегралов можно представить в виде разностей Widh~WkWt- E2ЛЗ) Постоянство этих величин непосредственно следует из формулы E2.7), но ввиду неоднозначности угловых переменных они не являются однозначными функциями состояния системы. При наличии же вырождения положение меняется. Так, вви- ду связи E2.12) интеграл w\ri2 — W2Tii E2.14) хотя и является неоднозначным, но его неоднозначность сводит- ся к прибавлению любого целого кратного 2п. Поэтому доста- точно взять тригонометрическую функцию этой величины, для того чтобы получить новый однозначный интеграл движения. Примером вырожденного движения является движение в поле U = —ос/г (см. задачу к этому параграфу). Именно это обстоятельство приводит к появлению нового, специфического однозначного интеграла движения A5.17), помимо двух (рас- сматриваем движение сразу как плоское) обычных однозначных интегралов, — момента М и энергии Е1, — свойственных движе- нию в любом центральном поле. Отметим также, что появление дополнительных однознач- ных интегралов приводит в свою очередь еще к одному свой- ству вырожденных движений — они допускают полное разделе- ние переменных при различных, а не при одном определенном г) выборе координат. Действительно, величины Ii в координатах, осуществляющих разделение переменных, являются однознач- ) Мы отвлекаемся при этом от таких тривиальных изменений координат, как преобразования вида q[ = q[(qi), q'2 = < 216 КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГЛ. VII ными интегралами движения. Но при наличии вырождения чис- ло однозначных интегралов превышает s, и потому становится неоднозначным выбор тех из них, которые мы хотим получить в качестве величин 1{. В качестве примера снова упомянем кеплерово движение, до- пускающее разделение переменных как в сферических, так и в параболических координатах. В предыдущем параграфе было показано, что при одномер- ном финитном движении переменная действия является адиа- батическим инвариантом. Это утверждение остается в силе и для систем со многими степенями свободы. Оно доказывается в общем случае прямым обобщением способа, изложенного в на- чале § 51. Для многомерной системы с переменным параметром Л(?) уравнения движения в канонических переменных дают для ско- рости изменения каждой из переменных действия 1{ выражение, аналогичное E0.10): • дА • /гО1гч /, = -—Л, E2.15) где по-прежнему Л = (dSo/dX)i. Усреднение этого равенства надо производить по промежутку времени, большому по срав- нению с основными периодами системы, но малому по сравне- нию со временем изменения параметра Л(?). При этом Л снова выносится из-под знака усреднения, а усреднение производных дЛ/dwi производится так, как если бы движение происходило при постоянном Л и потому было условно периодическим. То- гда Л будет однозначной периодической функцией угловых пе- ременных Wi и средние значения ее производных дЛ/dwi обра- щаются в нуль. В заключение сделаем некоторые замечания по поводу свойств финитного движения замкнутых систем со многими (s) степенями свободы в наиболее общем случае, не предполагаю- щем разделимости переменных в соответствующем уравнении Гамильтона-Якоби. Основным свойством систем с разделяющимися переменны- ми является однозначность интегралов движения 1^ число ко- торых равно числу степеней свободы. В общем же случае систем с неразделяющимися переменными набор однозначных интегра- лов движения ограничивается теми, постоянство которых есть выражение свойств однородности и изотропии пространства и времени, т.е. законами сохранения энергии, импульса и момента. § 52 УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ 217 Фазовая траектория системы проходит по тем областям фа- зового пространства, которые определяются заданными посто- янными значениями однозначных интегралов движения. Для системы с разделяющимися переменными с ее s однозначными интегралами этими условиями определяется 5-мерное многооб- разие (гиперповерхность) в фазовом пространстве. В течение достаточно долгого времени траектория системы покроет эту гиперповерхность сколь угодно плотно. У системы же с неразделяющимися переменными, с ее мень- шим (при том же s) числом однозначных интегралов фазовая траектория заполняет собой в фазовом пространстве (полно- стью или частично) области (многообразия) большого числа из- мерений. Наконец, укажем, что если гамильтонова функция системы отличается от функции, допускающей разделение переменных, лишь малыми членами, то и свойства движения близки к свой- ствам условно-периодических движений, причем степень этой близости гораздо выше, чем степень малости дополнительных членов в функции Гамильтона.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Условно-периодическое движение» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
