В ряде важных случаев нахождение полного интеграла урав- нения Гамильтона-Якоби может быть достигнуто путем так на- зываемого разделения переменных, сущность которого состоит в следующем. Допустим, что какая-либо координата — обозначим ее через q\ — и соответствующая ей производная dS/dqi входят в урав- нение Гамильтона-Якоби только в виде некоторой комбинации (p(qijdS/dqi), не содержащей никаких других координат (или времени) и производных, т.е. уравнение имеет вид •{••*•?•?•*«)}-•• ^ где qi обозначает совокупность всех координат за исключением q\. Будем искать в этом случае решение в виде суммы S = Sf(qi,t) + S1(q1). D8.2) Подставив это выражение в уравнение D8.1), получим •{••'•?•? ¦»(*•?)}- °- <48-3> Предположим, что решение D8.2) найдено. Тогда после под- становки его в уравнение D8.3) последнее должно обратиться в тождество, справедливое, в частности, при любом значении ко- ординаты q\. Но при изменении q\ может меняться только функ- ция ф; поэтому тождественность равенства D8.3) требует, что- бы и функция ф сама по себе была постоянной. Таким образом, уравнение D8.3) распадается на два уравнения: «1, D8-4) где oci — произвольная постоянная. Первое из них есть обыкно- венное дифференциальное уравнение, из которого функция Si(qi) может быть определена простым интегрированием. После это- го остается дифференциальное уравнение в частных производ- ных D8.5), но уже с меньшим числом независимых переменных. § 48 РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ 197 Если таким способом можно последовательно отделить все s координат и время, то нахождение полного интеграла уравне- ния Гамильтона-Якоби целиком сводится к квадратурам. Для консервативной системы речь фактически идет лишь о разделе- нии s переменных (координат) в уравнении D7.6), и при полном разделении искомый интеграл уравнения имеет вид S = ? Sk(qk; ocu..., ots) - Е(оси ..., аа% D8.6) к где каждая из функций Sk зависит лишь от одной из координат, а энергия Е как функция произвольных постоянных ос\,..., <xs получается подстановкой So = ??& в уравнение D7.6). Частным случаем разделения является случай циклической переменной. Циклическая координата q\ вовсе не входит в явном виде в функцию Гамильтона, а потому и в уравнение Гамиль- тона-Якоби. Функция ф(#ь dS/dqi) сводится при этом просто к dS/dqi, и из уравнения D8.4) имеем просто S\ = otiqi, так что S = Sf(qht) + otiqi. D8.7) Постоянная оц есть при этом не что иное, как постоянное зна- чение импульса pi = dS/dqi, отвечающего циклической коор- динате. Отметим, что отделение времени в виде члена —Et для консервативной системы тоже соответствует методу разделения переменных для «циклической переменной» t. Таким образом, все рассматривавшиеся ранее случаи упро- щения интегрирования уравнений движения, основанные на ис- пользовании циклических переменных, охватываются методом разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби. К ним добавляется еще ряд случаев, когда разделение переменных воз- можно, хотя координаты не являются циклическими. Все это приводит к тому, что метод Гамильтона-Якоби является наи- более могущественным методом нахождения общего интеграла уравнений движения. Для разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби существен удачный выбор координат. Рассмотрим некоторые примеры разделения переменных в различных координатах, кото- рые могут представить физический интерес в связи с задачами о движении материальной точки в различных внешних полях.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Разделение переменных» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
