Выбор обобщенных координат q не ограничен никакими ус- ловиями — ими могут быть любые s величин, однозначно опре- деляющие положение системы в пространстве. Формальный вид уравнений Лагранжа B.6) не зависит от этого выбора, и в этом смысле можно сказать, что уравнения Лагранжа инвариантны по отношению к преобразованию от координат ^i, ^2, • • • к лю- бым другим независимым величинам Qi, Q25 • • • Новые коорди- наты Q являются функциями старых координат д, причем допу- стим и такой их выбор, при котором эта связь содержит в явном § 45 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 187 виде также и время, т.е. речь идет о преобразованиях вида Qi = Qi(q,t) D5.1) (их называют иногда точечными преобразованиями). Наряду с уравнениями Лагранжа при преобразовании D5.1) сохраняют, разумеется, свою форму D0.4) и уравнения Гамиль- тона. Последние, однако, допускают в действительности гораздо более широкий класс преобразований. Это обстоятельство есте- ственным образом связано с тем, что в гамильтоновом методе импульсы р играют наряду с координатами q роль равноправных независимых переменных. Поэтому понятие преобразования мо- жет быть расширено так, чтобы включить в себя преобразование всех 2s независимых переменных ридк новым переменным Р и Q по формулам Qi = Q»(p,?,«), Pi = Pi&q,t). D5.2) Такое расширение класса допустимых преобразований являет- ся одним из существенных преимуществ гамильтонового метода механики. Однако отнюдь не при произвольных преобразованиях вида D5.2) уравнения движения сохраняют свой канонический вид. Выведем теперь условия, которым должно удовлетворять пре- образование, для того чтобы уравнения движения в новых пе- ременных Р, Q имели вид «<-з?г- ъ—т D5-3) с некоторой новой функцией Гамильтона Н'(Р, Q). Среди таких преобразований особенно важны так называемые канонические. К формулам для канонических преобразований можно прий- ти следующим путем. В конце § 43 было показано, что уравне- ния Гамильтона могут быть получены из принципа наименьшего действия, представленного в форме 5 f&Pidqi-Hdt) = 0 D5.4) J г (причем варьируются независимо все координаты и импульсы). Для того чтобы новые переменные Р и Q тоже удовлетворяли уравнениям Гамильтона, для них тоже должен быть справедлив принцип наименьшего действия 5 / СС Я dQi ~ H'dt) =0. D5.5) J i 188 КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГЛ. VII Но два принципа D5.4) и D5.5) эквивалентны друг другу только при условии, что их подынтегральные выражения отличаются лишь на полный дифференциал произвольной функции F ко- ординат, импульсов и времени; тогда разность между обоими интегралами будет несущественной при варьировании постоян- ной (разность значений F на пределах интегрирования). Таким образом, положим Y,Pi dqi-Hdt = Y, Pi dQi - H'dt + dF. Преобразования, удовлетворяющие такому требованию, и назы- вают каноническими 1). Всякое каноническое преобразование ха- рактеризуется своей функцией F, которую называют произво- дящей функцией преобразования. Переписав полученное соотношение в виде dF = Y,Pi dqi - ? Pi dQi + (#' - H) dt, D5.6) мы видим, что OF p 3F ч, TT.dF. {A-7, Рг = ^ Рг = ~Щ~г Я=Я + ^' D5-7) при этом предполагается, что производящая функция задана как функция старых и новых координат (и времени): F = F(q, Qy t). При заданной функции F формулы D5.7) устанавливают связь между старыми (р, q) и новыми (Р, Q) переменными, а также дают выражение для новой гамильтоновой функции. Может оказаться удобным выражать производящую функ- цию не через переменные q и Q, а через старые координаты q и новые импульсы Р. Для вывода формул канонических преоб- разований в этом случае надо произвести в соотношении D5.6) соответствующее преобразование Лежандра. Именно, переписы- ваем его в виде Выражение, стоящее под знаком дифференциала в левой части равенства, выраженное через переменные g, P, и является новой г) Заметим, что кроме канонических преобразований, сохраняют канони- ческий вид уравнений движения и преобразования, при которых подынте- гральные выражения в D5.4) и D5.5) отличаются постоянным множителем. Примером может служить преобразование вида: Pi = api, Qi = q%, H' = aH с произвольной постоянной а. § 45 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 189 производящей функцией. Обозначив ее через Ф (g, P, t), имеем х) п -9Ф п _ дФ „, _ гт , дФ и. R, Аналогичным образом можно перейти к формулам канони- ческих преобразований, выраженных через производящие функ- ции, зависящие от переменных р и Q или р и Р. Отметим, что связь между новой и старой гамильтоновыми функциями всегда выражается одинаковым образом: разность Н1 — Н дается частной производной по времени от производящей функции. В частности, если последняя не зависит от времени, то Н1 = Н. Другими словами, в этом случае для получения новой функции Гамильтона достаточно подставить в Н величины ру q, выраженные через новые переменные Р, Q. Широта канонических преобразований в значительной степе- ни лишает в гамильтоновом методе понятие обобщенных коор- динат и импульсов их первоначального смысла. Поскольку пре- образования D5.2) связывают каждую из величин Р, Q как с координатами q, так и с импульсами р, то переменные Q уже не имеют смысла чисто пространственных координат. Различие между обеими группами переменных становится в основном во- просом номенклатурным. Это обстоятельство весьма наглядно проявляется, например, в преобразовании Qi = pi, Pi = —qi 2), явно не меняющем канонический вид уравнений и сводящемся просто ко взаимному переименованию координат и импульсов. Ввиду этой условности терминологии переменные р и q в га- мильтоновом методе часто называют просто канонически сопря- женными величинами. Условие канонической сопряженности можно выразить с по- мощью скобок Пуассона. Для этого докажем предварительно об- щую теорему об инвариантности скобок Пуассона по отношению к каноническим преобразованиям. Заметим, что, взяв производящую функцию в виде г (где fi — произвольные функции), мы получим преобразование, при кото- ром новые координаты Qi = fi(q,?), т.е. выражаются только через старые координаты (но не импульсы). Это — точечные преобразования, которые естественным образом оказываются частным случаем канонических преоб- разований. 2) Ему отвечает производящая функция F = y^qiQj. 190 КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГЛ. VII Пусть {fg}p,q — скобка Пуассона величин / и g, в кото- рой дифференцирование производится по переменным р, g, a {f§}p,Q — скобка Пуассона тех же величин, дифференцируемых по каноническим переменным Р, Q. Тогда {fg}P,q = {fg}p,Q- D5.9) В справедливости этого соотношения можно убедиться пря- мым вычислением с использованием формул канонического пре- образования. Можно, однако, обойтись и без вычислений с по- мощью следующего рассуждения. Прежде всего замечаем, что в канонических преобразовани- ях D5.7) или D5.8) время играет роль параметра. Поэтому, если мы докажем теорему D5.9) для величин, не зависящих явно от времени, то она будет верна и в общем случае. Рассмотрим те- перь чисто формальным образом величину g как гамильтонову функцию некоторой фиктивной системы. Тогда согласно фор- муле D2.1) {fg}p,q = —df/dt. Но производная df/dt есть вели- чина, которая может зависеть лишь от свойств движения (на- шей фиктивной системы) как такового, а не от того или иного выбора переменных. Поэтому и скобка Пуассона {fg} не может измениться при переходе от одних канонических переменных к другим. Из формул D2.13) и теоремы D5.9) получим {QiQk}p,q = 0, {PiPk}p,q = 0, {PiQk}p,q = Ьк- D5.10) Это — записанные с помощью скобок Пуассона условия, кото- рым должны удовлетворять новые переменные, для того чтобы преобразование p,q —»> P,Q было каноническим. Интересно отметить, что изменение величин р, q при самом движении можно рассматривать как канонические преобразо- вания. Смысл этого утверждения состоит в следующем. Пусть qi,Pi — значения канонических переменных в момент времени ?, a <ft+T5 pt+т — их значения в другой момент t + т. Последние являются некоторыми функциями от первых (и от величины интервала т как от параметра): %+т = q{quPut,t), Pt+ч = p{quPt,t,t)- Если рассматривать эти формулы как преобразование от пе- ременных qt,pt к переменным <#+т> Pt+т, то это преобразо- вание будет каноническим. Это очевидно из выражения dS = 5^(pt+T %+т - Pi dqt) ~ {Щ+i ~ Ht)dt § 46 ТЕОРЕМА ЛИУВИЛЛЯ 191 для дифференциала действия 5г(^+т5 Qt)t), взятого вдоль истин- ной траектории, проходящей через точки qt и qt+T в заданные моменты времени t и ? + т (ср. D3.7)). Сравнение этой формулы с D5.6) показывает, что —S есть производящая функция преоб- разования.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Канонические преобразования» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
