Для вычисления кинетической энергии твердого тела рас- смотрим его как дискретную систему материальных точек: 2 ' где суммирование производится по всем точкам, составляющим тело. Здесь и ниже мы опускаем индексы, нумерующие эти точ- ки, с целью упрощения записи формул. Подставив сюда C1.2), получим = Е ? Скорости V и Q одинаковы для всех точек твердого тела. По- этому в первом члене V2/2 выносится за знак суммы, а сумма 5^7п есть масса тела, которую мы будем обозначать буквой ц. Второй член запишем так: Отсюда видно, что если начало движущейся системы координат выбрано, как условлено, в центре инерции, то этот член обра- щается в нуль, так как в этом случае J^rar = 0. Наконец, в третьем члене раскрываем квадрат векторного произведения и в результате находим ifO2r2 — (OrY\ Dе? "Л Таким образом, кинетическая энергия твердого тела может быть представлена в виде суммы двух частей. Первый член в C2.1) есть кинетическая энергия поступательного движения — г) В общем же случае не взаимно перпендикулярных направлений V и П начало координат можно выбрать таким образом, чтобы V и ft стали парал- лельными, т.е. движение (в данный момент времени) будет совокупностью вращения вокруг некоторой оси и поступательного перемещения вдоль этой 132 ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ГЛ. VI она имеет такой вид, как если бы вся масса тела была сосре- доточена в его центре инерции. Второй член есть кинетическая энергия вращательного движения с угловой скоростью Q вокруг оси, проходящей через центр инерции. Подчеркнем, что возмож- ность такого разделения кинетической энергии на две части обу- словлена выбором начала связанной с телом системы координат именно в его центре инерции. Перепишем кинетическую энергию вращения в тензорных обозначениях, т.е. через компоненты Х{, ?1{ векторов г, ft г): Здесь использовано тождество $1^ = 6^ Л&, где 6^ — единичный тензор (компоненты которого равны единице при г = к и нулю при г ф к). Введя тензор 1гк = Y,m (xfoik - Х{Хк), C2.2) получим окончательное выражение для кинетической энергии твердого тела в виде Т = ^ + \1гЛпк. C2.3) Функция Лагранжа твердого тела получается из C2.3) вы- читанием потенциальной энергии L=^ + \ЦАПк - U. C2.4) Потенциальная энергия является в общем случае функцией ше- сти переменных, определяющих положение твердого тела, на- пример, трех координат X, У, Z центра инерции и трех углов, определяющих ориентацию движущихся осей координат отно- сительно неподвижных. Тензор Цк называется тензором моментов инерции или просто тензором инерции тела. Как ясно из определения C2.2), г) В этой главе буквами г, j к обозначаются тензорные индексы, пробе- гающие значения 1, 2, 3. При этом везде применяется извесное правило суммирования, согласно которому знаки сумм опускаются, а по всем два- жды повторяющимся (так называемым «немым») индексам подразумевает- ся суммирование по значениям 1, 2, 3; так, А{В{ = АВ, Аг = AiAi = А и т.д. Обозначение немых индексов можно, очевидно, менять произвольным образом (лишь бы оно не совпало с обозначением других фигурирующих в данном выражении тензорных индексов). § 32 ТЕНЗОР ИНЕРЦИИ 133 он симметричен, т.е. hk = hi- C2.5) Выпишем для наглядности его компоненты в явном виде в следующей таблице: ( -52тух "?т(х2 + z2) -"?myz . C2.6) -Yjnzx ~^2mzy 52m(x2 + у2)) Компоненты /жж, Iyy, Izz иногда называют моментами инерции относительно соответствующих осей. Тензор инерции, очевидно, аддитивен — моменты инерции тела равны суммам моментов инерции его частей. Если твердое тело можно рассматривать как сплошное, то в определении C2.2) сумма заменяется интегралом по объему тела: Iik = [ p(xfbik ~ xiXk) dV. C2.7) Как и всякий симметричный тензор второго ранга, тензор инерции может быть приведен к диагональному виду путем со- ответствующего выбора направлений осей х\, Ж2, #з- Эти на- правления называют главными осями инерции, а соответствую- щие значения компонент тензора — главными моментами инер- цищ обозначим их как /i, /2, /3. При таком выборе осей жх, #2, хз вращательная кинетическая энергия выражается осо- бенно просто: Гвр = \{hu\ + 12П22 + /3П§). C2.8) Отметим, что каждый из трех главных моментов инерции не может быть больше суммы двух других. Так, h + h = Е т(х\ + х22 + 2х\) > Е т{х\ + х\) = /3. C2.9) Тело, у которого все три главных момента инерции различ- ны, называют асимметрическим волчком. Если два главных момента инерции равны друг другу, 1\ = = /2^ -^3; то твердое тело называют симметрическим волчком. В этом случае выбор направления главных осей в плоскости х±х2 произволен. Если же все три главных момента инерции совпадают, то те- ло называют шаровым волчком. В этом случае произволен вы- 134 ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ГЛ. VI бор всех трех главных осей инерции: в качестве их можно взять любые три взаимно перпендикулярные оси. Нахождение главных осей инерции очень упрощается, если твердое тело обладает той или иной симметрией; ясно, что по- ложение центра инерции и направления главных осей инерции должны обладать той же симметрией. Так, если тело обладает плоскостью симметрии, то центр инерции должен лежать в этой плоскости. В ней же лежат две главные оси инерции, и третья — перпендикулярна к ней. Оче- видным случаем такого рода является система частиц, располо- женных в одной плоскости. В этом случае существует простое соотношение между тремя главными моментами инерции. Если плоскость системы выбрана в качестве плоскости х±Х2, то по- скольку для всех частиц х% = 0, имеем h=52mxl, l2=Y,mxb h = Y,m(x\ +ж|), так что h = h + h- C2.10) Если тело обладает осью симметрии какого-либо порядка, то центр инерции лежит на этой оси. С ней же совпадает одна из главных осей инерции, а две другие — перпендикулярны к ней. При этом если порядок оси симметрии выше второго, то тело является симметрическим волчком. Действительно, каж- дую главную ось (перпендикулярную к оси симметрии) можно повернуть тогда на угол, отличный от 180°, т.е. выбор этих осей становится неоднозначным, а это возможно лишь в случае сим- метрического волчка. Особым случаем является система частиц, расположенных вдоль одной прямой линии. Если выбрать эту прямую в качестве оси жз, то для всех частиц х\ = Х2 = 0, и потому два главных момента инерции совпадают, а третий равен нулю: h = I2 = ^2mxl J3 = 0. C2.11) Такую систему называют ротатором. Характерной особенно- стью ротатора в отличие от общего случая произвольного тела является то, что он имеет всего две (а не три) вращательные сте- пени свободы, соответствующие вращениям вокруг осей х\ ИЖ2; говорить же о вращении прямой вокруг самой себя, очевидно, не имеет смысла. Наконец, сделаем еще одно замечание по поводу вычисления тензора инерции. Хотя мы определили этот тензор по отноше- §32 ТЕНЗОР ИНЕРЦИИ 135 нию к системе координат с началом в центре инерции (только при таком определении справедлива основная формула C2.3)), для его вычисления, однако, может иногда оказаться удобным вычислить предварительно аналогичный тензор определенный по отношению к другому началу О1. Если рассто- яние ОО1 дается вектором а, то г = г' + а, Х{ = х^+щ] учитывая также, что 5^ гаг = 0, по определению точки О, найдем: 4 = Iik + \i(a%k ~ <цак). C2.12) По этой формуле, зная Цк, легко вычислить искомый тензор Цк.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Тензор инерции» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
