Уже сами по себе законы сохранения импульса и энергии позволяют сделать во многих случаях ряд важных заключений о свойствах различных механических процессов. При этом осо- бенно существенно то обстоятельство, что эти свойства совер- шенно не зависят от конкретного рода взаимодействия между участвующими в процессе частицами. Начнем с процесса, представляющего собой «самопроизволь- ный» (т.е. без воздействия внешних сил) распад частицы на две «составные части», т.е. на две другие частицы, движущиеся по- сле распада независимо друг от друга. Наиболее просто этот процесс выглядит при рассмотрении его в системе отсчета, в которой частица (до распада) покоилась. В силу закона сохранения импульса сумма импульсов обеих об- разовавшихся в результате распада частиц тоже равна нулю, т.е. частицы разлетаются с равными и противоположно направлен- ными импульсами. Их общее абсолютное значение (обозначим его ро) определяется законом сохранения энергии где mi и 7712 — массы частиц, Е\ъш и Е^вн — их внутренние энер- гии, а Е"вн — внутренняя энергия первоначальной (распадаю- щейся) частицы. Обозначим буквой ? «энергию распада», т.е. разность ? = ?вн " #1bh " #2bh A6.1) (очевидно, что эта величина должна быть положительной для того, чтобы распад был вообще возможен). Тогда имеем ? = d(J_ + J-) = *i-, A6.2) 2 Vmi ш2/ 2m' v J чем и определяется po (га — приведенная масса обеих частиц); скорости же частиц г>ю = po/mi, г>20 = Ро/т2- § 16 РАСПАД ЧАСТИЦ 59 Перейдем теперь к системе отсчета, в которой первичная ча- стица движется до распада со скоростью V. Эту систему отсчета обычно называют лабораторной (или л-системой) в противопо- ложность «системе центра инерции» (или ц-системе), в кото- рой полный импульс равен нулю. Рассмотрим одну из распад- ных частиц и пусть v и vo — ее скорости соответственно в л- и д-системах. Из очевидного равенства v = V+vo, или v—V = vo, имеем v2 + V2 - 2vV cos 6 = vg, A6.3) где 6 — угол вылета частицы по отношению к направлению ско- рости V. Этим уравнением определяется зависимость скорости распадной частицы от направления ее выле- та в л-системе. Она может быть представлена графи- чески с помощью диа- граммы, изображен- ной на рис. 14. Ско- рость v дается векто- ром, проведенным в какую-либо точку окружности радиуса vq х) из точки А, отсто- ящей на расстояние V от центра окружности. Случаям V < vq и V > vq отвечают соответственно рис. 14 аи б. В первом слу- чае частица может вылететь под любым углом 6. Во втором же случае частица может вылететь только вперед, под углом 6, не превышающим значения 6тах, даваемого равенством sinemax = ^ A6.4) (направление касательной к окружности, проведенной из точ- ки А). Связь между углами вылета 6 и во в л- и д-системах очевид- на из той же диаграммы и дается формулой tge= ^osin0° A6.5) & v0 cos Эо + V v J Если решить это уравнение относительно cos6o, то после эле- ментарных преобразований получим б) V >v0 Рис. 14 j Точнее — любую точку сферы радиуса vo, диаметральным сечением которой является изображенная на рис. 14 окружность. 60 СТОЛКНОВЕНИЕ ЧАСТИЦ ГЛ. IV cos е0 = -— sin2e±coseA/i - ^sin2e. A6.6) При vq > V связь между G и Go однозначна, как это видно из рис. 14 а. В формуле A6.6) надо при этом выбрать знак + перед корнем (так чтобы было Go = 0 при 6 = 0). Если же г>о < V, то связь между 6 и Go неоднозначна: каждому значению 6 от- вечают два значения Go, соответствующие (на рис. 14 6") векто- рам vo, проведенным из центра окружности в точки В или С; им отвечают два знака перед корнем в A6.6). В физических применениях приходится обычно иметь дело с распадом не одной, а многих одинаковых частиц, в связи с чем возникают вопросы о распределении распадных частиц по на- правлениям, энергиям и т.д. При этом мы будем предполагать, что первичные частицы ориентированы в пространстве хаоти- ческим, т.е. в среднем изотропным образом. В д-системе ответ на эти вопросы тривиален: все распадные частицы (одинакового рода) имеют одинаковую энергию, а их распределение по направлениям вылета изотропно. Последнее утверждение связано со сделанным предположением о хаотично- сти ориентации первичных частиц. Оно означает, что доля числа частиц, летящих в элементе телесного угла б?оо, пропорциональ- на величине этого элемента, т.е. равна doo/An. Распределение по углам Go получим отсюда, подставив doo = 27tsinGo сЮо, т.е. \ sinGodGo. A6.7) Распределения в л-системе получаются путем соответствую- щего преобразования этого выражения. Определим, например, распределение по кинетической энергии в л-системе. Возводя в квадрат равенство v = vo + V, находим v2 = vl + V2 + 2г>0 V cos Go, откуда Вводя сюда кинетическую энергию Г = mv2 /2 (где т есть rai или 7П2, смотря по тому, какого рода распадные частицы мы рассматриваем) и подставляя в A6.7), получим искомое распре- деление ^ A6.8) v J § 16 РАСПАД ЧАСТИЦ 61 Кинетическая энергия может пробегать значения от наименьше- го Tmin = (m/2)(vQ — VJ до наибольшего Tmax = (m/2)(vo + VJ. В этом интервале частицы распределены согласно A6.8) одно- родно. При распаде частицы на более чем две части законы сохра- нения импульса и энергии оставляют, естественно, значитель- но больший произвол в скоростях и направлениях распадных частиц, чем при распаде на две части. В частности, энергии раз- летающихся частиц в ц- системе отнюдь не имеют одного опреде- ленного значения. Существует, однако, верхний предел кинети- ческой энергии, которую может при этом унести с собой каждая из распадных частиц. Для определения этого предела будем рассматривать сово- купность всех распадных частиц за исключением одной задан- ной (с массой TTii) как одну систему; ее «внутреннюю» энергию обозначим через EfBH. Тогда кинетическая энергия частицы rai будет, согласно A6.1), A6.2), равна ро М — ггц / rp (М — масса первичной частицы). Очевидно, что Гю будет иметь наибольшее возможное значение, когда Евн минимальна. Для этого надо, чтобы все распадные частицы за исключением ча- стицы TTii двигались с одной и той же скоростью; тогда Евн сводится просто к сумме их внутренних энергий, а разность Е"вн — ?"ibh — Е'вн есть энергия распада ?. Таким образом, ^^- A6-9)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Распад частиц» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
