Важнейшим случаем центральных полей являются поля, в которых потенциальная энергия обратно пропорциональна г и соответственно силы обратно пропорциональны г2. Сюда отно- сятся ньютоновские поля тяготения и кулоновские электроста- 52 ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ГЛ. III тические поля; первые, как известно, имеют характер притяже- ния, а вторые могут быть как полями притяжения, так и оттал- кивания. Рассмотрим сначала поле притяжения, в котором U = -ос/г A5.1) с положительной постоянной ос. График «эффективной» потен- циальной энергии су М2 Т Т I /1 С^ О \ г 2mr2 имеет вид, изображенный на рис. 10. При г —> 0 она обращается в +ос, а при г —»> ос стремится к нулю со стороны отрицательных значений; при г = М^/ост она имеет минимум, равный A5.3) Из этого графика очевидно, что при Е > 0 движе- q \^^^—= ние частицы будет инфинитным, а при Е < 0 — финитным. Рис- Ю Форма траектории получается с помощью об- щей формулы A4.7). Подставляя в нее U = —ос/г и производя элементарное интегрирование, получим Mir — mot/M . , Ф = arccos . ' ' + const. Выбирая начало отсчета угла ф так, чтобы const = 0, и вводя обозначения М 1л , 2ЕМ ft* л\ Р = —, е = \ И г-, A5.4) mot у тос перепишем формулу для траектории в виде р/г = 1 + е cos ф. A5.5) Это есть уравнение конического сечения с фокусом в начале ко- ординат; р л е — так называемые параметр и эксцентриситет орбиты. Сделанный нами выбор начала отсчета ф заключается, как видно из A5.5), в том, что точка с ф = 0 является ближай- шей к центру (так называемый перигелий орбиты). В эквивалентной задаче двух тел, взаимодействующих по за- кону A5.1), орбита каждой из частиц тоже представляет собой коническое сечение с фокусом в их общем центре инерции. Из A5.4) видно, что при Е < 0 эксцентриситет е < 1, т.е. орбита является эллипсом (рис. 11) и движение финитно в соот- §15 КЕПЛЕРОВА ЗАДАЧА 53 ветствии со сказанным в начале параграфа. Согласно известным формулам аналитической геометрии большая и малая полуоси эллипса п v M Р » min — A5.6) у/1-е2 \/2т\Е\ Наименьшее допустимое значение энергии совпадает с A5.3), при этом е = 0, т.е. эллипс обращается в окружность. Отметим, что большая полуось эллипса за- висит только от энергии (но не от момента) частицы. Наимень- шее и наибольшее расстояния до центра поля (фокуса эллипса) равны — р — (Л — \ = ]Ц = аA+е) A5-7) 1-е Эти выражения (с а и е из A5.6) и A5.4)) можно было бы, конечно, получить и непосредственно как корни уравнения С/Эф(г) = Е. Время обращения по эллиптической орбите, т.е. период дви- жения Г, удобно определить с помощью закона сохранения мо- мента в форме «интеграла площадей» A4.3). Интегрируя это ра- венство по времени от нуля до Г, получим 2га/ = ТМ, где / — площадь орбиты. Для эллипса / = р\ = nab, и с помощью формул A5.6) находим Рис. 11 A5.8) 1) Рис. 12 Тот факт, что квадрат периода должен быть пропорционален кубу линейных размеров орбиты, был указан уже в § 10. Отметим также, что период за- висит только от энергии частицы. При Е ^ 0 движение инфинитно. Если Е > 0, то эксцентри- ситет е > 1, т.е. траектория является гиперболой, огибающей центр поля (фокус), как показано на рис. 12. Расстояние пери- гелия от центра Гт1п = ~^\ = а(е ~ -1-)' A5.9) где 54 ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ГЛ. III р а п ~ е2 -1 ~~ 2Ё — «полуось» гиперболы. В случае же Е = 0 эксцентриситет е = 1, т.е. частица дви- жется по параболе, с расстоянием перигелия гш[п = р/2. Этот случай осуществляется, если частица начинает свое движение из состояния покоя на бесконечности. Зависимость координат частицы от времени при движении по орбите может быть найдена с помощью общей формулы A4.6). Она может быть представлена в удобном параметрическом виде следующим образом. Рассмотрим сначала эллиптические орбиты. Вводя а и е со- гласно A5.4), A5.6), запишем интеграл A4.6), определяющий время, в виде V ЩЩ J l rdr /та I rdr J I ос ~M^~V^J у/аЧ*-{г-а)*' \E\ 2m\E\ С помощью естественной подстановки г — а = —aecos?, этот интеграл приводится к виду гч 7г /7na3/г - г\ , ±. е cos ?Ла^= \ (?, — е sin ?,) + const. Выбирая начало отсчета времени так, чтобы обратить const в нуль, получим окончательно следующее параметрическое пред- ставление зависимости г от t: r = a(l-ecos?,), t= J^-(?, - esin?,) A5.10) (в момент t = 0 частица находится в перигелии). Через тот же параметр ?, можно выразить и декартовы координаты частицы х — г cos ф, у — г sin ф (оси х лу направлены соответственно по большой и малой полуосям эллипса). Из A5.5) и A5.10) имеем ех = р — г = аA — е2) — a(l — ecos?,) = ae(cos?, — e), а у найдем, как уг^—х*. Окончательно: х = a(cos ?, — е), у = ayl — е2 sin ?,. A5.11) §15 КЕПЛЕРОВА ЗАДАЧА 55 Полному обороту по эллипсу соответствует изменение парамет- ра ?, от нуля до 2п. Совершенно аналогичные вычисления для гиперболических траекторий приводят к результату г = a(ech?, — 1), t = Wmas/oc (esh?, — ?,), v A5.12) x = a(e — ch ?,), у = a\/e2 — 1 sh ?,, где параметр ?, пробегает значения от —ос до +ос. Обратимся к движению в поле отталкивания, в котором U=* A5.13) (а > 0). В этом случае эффективная потенциальная энергия монотонно убывает от + ос до нуля при изменении г от нуля до ос. Энергия частицы может быть только положительной и движение всегда инфинитно. Все вычисления для этого случая в точности аналогичны произведенным выше. Траектория является гиперболой - = — 1 + е cos ф A5.14) (рие определяются прежними формула- ми A5.4)). Она проходит мимо центра по- ля, как показано на рис. 13. Расстояние пе- ригелия гШт = -^—^ = а(е + 1). A5.15) рис. 13 Зависимость от времени дается параметрическими уравнениями г = а[есп с, i=A&(esh ?,+ ?), A5.1 х = a(ch ?, + е), у = а\/е2 — 1 sh ?,. В заключение параграфа укаж:ем, что при движении в по- ле U = ос/г (с любым знаком ос) имеется интеграл движения, специфический именно для этого поля. Легко проверить непо- средственным вычислением, что величина [vM] + — = const. A5.17) Действительно, ее полная производная по времени равна 56 ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ГЛ. III или, подставив М = ra[rv]: / . \ / . \ . av ar(vr) rar(vv) — rav(rv) + — — —V^-; положив здесь согласно уравнениям движения mv = ar/r3, мы найдем, что это выражение обращается в нуль. Сохраняющийся вектор A5.17) направлен вдоль большой оси от фокуса к перигелию, а по величине равен осе. В этом проще всего можно убедиться, рассмотрев его значение в перигелии. Подчеркнем, что интеграл движения A5.17), как и интегра- лы М и Е, является однозначной функцией состояния (поло- жения и скорости) частицы. Мы увидим в § 50, что появление такого дополнительного однозначного интеграла связано с так называемым вырождением движения.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Кеплерова задача» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
