Концентрация электронов и уровень Ферми в полупроводнике с простой зоной
Для количественного обоснования предыдущих рассуждений о концентрации свободных носителей рассмотрим сначала, как конкретная энергия Ферми е^ связана с заданной полной концентрацией электронов щ для простейшей зоны. Предположим, что эта зона имеет единственный энергетический минимум в центре зоны Бриллюэна (е = ес) и что сферические поверхности постоянной энергии в k-пространстве распределены вокруг этого минимума по параболическому закону, как того требует скалярная, не зависящая от энергии эффективная масса тс. Тогда плотность состояний для энергий, не слишком превышающих ес> составляет 1 / 2етс \з/2 *<е)^1* (~) (е-^)1/2» (4Л) что можно сравнить непосредственно с формулами (3.44) или (3.160). Предположим теперь, что некоторые состояния в такой зоне проводимости равновесно заполнены электронами, термически 364 Гл. 4. Полупроводники Рис. 4.2. Вырожденное распределение электронов проводимости в полупроводнике при очень большой концентрации электронов и (или) низкой температуре. Площадь затененной области в левой части рисунка представляет собой п0 из уравнения (4.2) для гг. Это уравнение требует решения е*>ес. Следовательно, энергия Ферми и концентрация электронов связаны соотношениями (4.6). возбужденными из нижних состояний [примесных и (или) состояний валентной зоны]. При температуре Т и для полной концентрации п0 м~3 в равновесии существует единственное распределение по энергиям для этих электронов и единственная энергия Ферми. Вероятность того, что состояние с энергией е заполнено, описывается функцией /(e), определяемой равенством (3.45), и искомое соотношение между концентрациями заполненных состояний с различными энергиями и полной концентрацией электронов имеет вид io=?f(e)g(e)d(e) = _ _J_ / 2mckbT у/2 Г l(e-ec)/k0T]md(s/k0T) Это совпадает с выражением (3.46) модели Зоммерфельда для свободного электронного газа в металле (если не учитывать перенормировки эффективной массы). Из рис. 4.2 и 4.3 видно, как плотность заполненных состояний меняется с энергией для двух важных предельных случаев. 1. Электронный газ в зоне проводимости вырожден (рис. 4.2), когда электронов проводимости много, а температура достаточно низка. В этих условиях при вычислении ин- 4.1 Равновесная статистика электронов 365 Рис. 4.3. Невырожденное, или «классическое», решение для уравнения (4.2), когда полное значение п0 мало и (или) велика температура. Вероятность заполнения /(e) принимает для диапазона энергий, где отлична от нуля плотность состояний, предельный больцмановский вид, так что электроны, заключенные в заштрихованной области, образуют классический газ. Величина По теперь связана с энергией Ферми соотношениями (4.9). теграла (4.2) следует положить sF—Sc^koT и все электропроводящие свойства будут определяться изменяющимся числом заполненных состояний ниже энергии Ферми. 2. Электронный газ является невырожденным) или классическим, когда полная концентрация электронов настолько мала (или температура так велика), что левая и правая части уравнения (4.2) уравновешивают друг друга при энергии Ферми, лежащей на несколько k0T ниже, чем ес. Как видно из рис. 4.3, только малая доля зонных состояний оказывается при этом заполненной даже для самых низких состояний. Поскольку /ь(в) = {1 + exp [(e-eF)/k0T)}-* -> ->exp(eF/fc0T)exp(—s/k0T) для e>eF, (4.3) распределение электронов по энергиям, когда величина п0 достаточно мала, действительно имеет классический больцмановский вид. Выражение (4.2) может быть записано в виде 1 / 2mck0T \з/2 / гР-*с\ 366 Гл. 4. Полупроводники где использован один из семейства интегралов Ферми—Дирака Fj(yo), определенных выражением (3.50). При обсуждении поведения электронного газа в металлах в гл. 3 мы в основном имели дело с предельным случаем сильного вырождения, которое может иметь место и в полупроводнике при том условии, что Когда это неравенство действительно хорошо выполняется, имеют место соотношения zF&*c+ (h2/2mc) (Зя2л0)2/3> по «(1/Зя2) [2тс (eF—sc) h*f2, (4.6) как это следует из асимптотического вида (3.52) для /^[(ef— —Zc)/koT)] в случае сильного вырождения. Однако электронная заселенность зоны полупроводника часто оказывается слишком малой, чтобы удовлетворить условию (4.5). Чтобы рассматривать такие ситуации, более близкие к «классическим», оказывается удобным переписать уравнение (4.2) в виде по = 2 {тск0Т/2пПГ2 J i + expKe-ejrW] ~ eclkoT =2 {mck0TI2nh2ft*F ,/2 ( \тЕс ) = Здесь /г0 выражается произведением двух величин. Одна из них, Nc = 2(mckoT/2nfi2)3/\ имеет размерность (длина)-3. Другая, безразмерная, представляет собой один из семейства интегралов Fj(y0), которые связаны с семейством Fj(yQ) соотношением 5 Fi(yo) = T(j+l)Sri(y0). (4.8) Удобная особенность семейства интегралов^j(yo) состоит в том, что все они асимптотически стремятся к ехр (у0), когда */0 принимает большие отрицательные значения. В частном случае интеграла 9ГЧ (у0) этим асимптотическим выражением можно 5 Эти две формы интегралов Ферми — Дирака и ссылки на их таблицы приведены в примечаниях 12 и 13 гл. 3. Выражая интеграл в первой строке соотношений (4.7) через #"u (6f—ec)/W), мы воспользовались равенством Г(3/2) = (яА/2). 4.1. Равновесная статистика электронов 367 пользоваться для у0<—2 с ошибкой, не превышающей 5 %. Следовательно, п0 « Nc ехр —^— » если (л0/#с)< 0,15 (4.9) eF « ес—Л0Т In (NJtio). Простая взаимосвязь концентрации электронов с уровнем Ферми, выражаемая соотношениями (4.9), чрезвычайно полезна при обсуждении многих ситуаций в полупроводниках, когда нет вырождения электронного газа. Можно использовать соотношение, несколько более сложное, чем (4.9) (однако все еще содержащее в качестве главного члена экспоненту), для случаев с несколько большей концентрацией, т. е. с «полувырождением». С комбинацией поправочных членов величина ST^ (у0) может быть выражена в аналитическом виде для любого значения у0у как положительного, так и отрицательного 6. Величину Afc, определенную выражением (4.7) и использованную в соотношениях (4.9), часто называют эффективной плотностью состояний зоны проводимости. Происхождение этого названия ясно из соотношений (4.9), из которых видно, что в случае классического (невырожденного) распределения величина п0 равна значению NCy умноженному на больцмановскую вероятность заполнения для е=ес. Таким образом, полная концентрация электронов (фактически распределенных по энергетическому интервалу, составляющему несколько k0T, как показано на рис. 4.3) такая же, как если бы вместо зоны существовал набор Nc уровней с одной и той же энергией ес. В численном выражении получим Nc = 2 (mck0T/2nh2Y'2 = 4,83 • 1021 (7Wm0)3/2 м"8, (4.10) где температура выражена в Кельвинах. В задаче 4.1 исследуется простая проверка условий, при которых п0 может быть либо гораздо больше Nc (вырождение), либо гораздо меньше Nc (невырожденный случай) в зависимости от температуры.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Концентрация электронов и уровень Ферми в полупроводнике с простой зоной» з дисципліни «Фізика твердого тіла»
