Независимо от того, насколько сложной и разнообразной может быть форма поверхностей постоянной энергии, для каждой энергии, лежащей в пределах данной зоны, всегда можно определить скалярную плотность состояний g(e) таким образом, чтобы выполнялось равенство 2N = ]~g(e)de. (3.154) е, Типичный вид такого распределения состояний, соответствующего двум состояниям на каждый атом твердого тела, показан на рис. 3.53. Такая кривая может быть описана с помощью (зависящей от энергии) эффективной массы по плотности состояний. Изобразим поверхность постоянной энергии в приведенном k-пространстве первой зоны для энергии электрона е. (Это будет набор эквивалентных поверхностей, если ситуация подобна изображенной на рис. 3.50). Пусть полная площадь этой поверхности (или поверхностей) равна S, тогда объем к-про- странства, заключенного между поверхностями, соответствующими энергиям е и (e + de), равен к dS ■W (3.155) Поскольку объем k-пространства, приходящийся на одно электронное состояние, для кристалла с объемом V составляет (4я3/У)» плотность состояний (для единичного объема) можно определить равенством ««"-Ит^г]*- (3156) В простейшем случае 8 = e1+^-(k-k1)2, (3.157) причем Ш\ не зависит от направления (k—ki). В этой удачной ситуации de/dk=h2k/mu a $dS = 4nk2, поэтому *<"=iHi?-r<t-e->"2- (ЗЛ58) 3.5. Динамика движения электронов 299 Рис. 3.53. Типичная кривая зависимости плотности состояний от энергии внутри зоны. Полная площадь, заключенная под кривой, дает полное число состояний в зоне, равное для простой зоны удвоенному числу атомов в кристалле. Для энергий, не слишком превышающих еь кривизна определяется параметром массы тх. «Дырочная» масса т2 определяет кривизну кривой для самой верхней части зоны. Для промежуточных энергий g(e) не изменяется с энергией ни как (е— ei)'/2, ни как (еа—е)'/а. Особенности Ван Хова на кривой плотности состояний должны возникнуть при энергиях Ео и еь. (Через ев обозначена наименьшая энергия, при которой поверхность постоянной энергии соприкасается с границей зоны.) Это выражение отличается от формулы (3.44) для модели свободных электронов Зоммерфельда только использованием величины т\ вместо обычной массы электрона57. 57 Если энергия растет как квадрат волнового вектора (т. е. эффективная масса т* не зависит от энергии), то решения уравнения Шредингера [(- hV2m) V2 + Г (г)) у = еУ в соответствующем интервале энергий совпадают с решениями уравнения (— hV2m*) V2* = е\|>. Другими словами, «свобода» модели Зоммерфельда вновь получена перенормировкой массы, учитывающей влияние периодического потенциала. (Можно провести аналогию с перенормировкой массы в квантовой электродинамике.) Предположим, что полученные таким образом состояния лежат вблизи дна зоны. В этом случае часто возникает вопрос: можно ли пользоваться тем же самым значением т* для описания состояний ниже дна зоны, т. е. связанных состояний, соответствующих некоторому локализованному дефекту. Уравнение Шредингера для электрона, находящегося в поле неподвижного положительного заряда, имеет вид [(— hV2m*) V2 - (еа/4яКе0г)] г|> = ег|>, где, как можно надеяться, х — макроскопическая диэлектрическая проницаемость. Это уравнение дает состояния вида (3.128) с энергетическим спектром, отличающимся от спектра атома водорода множителем (m*/x2m). Такая «во- дородоподобная модель» или «модель эффективной массы» может успешно применяться при описании связанных состояний с малой энергией связи (состояний, которые в реальном пространстве занимают область, значительно превышающую элементарную ячейку). Для связанных состояний с большой 300 Гл. 3. Электроны в металлах Независимо от того, насколько сложными могут быть поверхности постоянной энергии в k-пространстве (многосвязанные деформированные, незамкнутые поверхности и т. д.), во всех случаях, когда величина g(e) такова, что -±-[g(в)]2-*const, (3.159) аг можно считать, что плотность состояний характеризуется эффективной массой плотности состояний т*. Дело в том, что если величина g(e) конечна и удовлетворяет условию (3.159), ее всегда можно привести к виду g(e)=iH~iF)3/2(e_corist)l/2- (ЗЛ60) В тех случаях, когда условие (3.159) не выполняется, требуется введение массы плотности состояний, «зависящей от энергии». Трудность в понимании электронных явлений в металлах по сравнению с полупроводниками отчасти связана с тем, что электроны в полупроводнике, находятся в состояниях, близких к краю зоны (где велика вероятность того, что равенство (3.160) является хорошим приближением), в то время как электроны, обладающие энергией Ферми в металле, занимают такие состояния из промежуточного интервала энергий, для которых условие (3.159) обычно плохо выполняется58. энергией связи и малым боровским радиусом более существенную роль играет фактическая природа дефекта, ответственного за связанное состояние, поскольку в этом случае становится сомнительной обоснованность понятия диэлектрической проницаемости. Подобное рассмотрение состояний дефектов, конечно, более важно для диэлектриков и примесных полупроводников, чем для металлов. 58 Свойства металлов, которые определяются электронами проводимости, позволяют выяснить ситуацию для электронов с энергией Ферми, но они не могут дать информации о состояниях с более высокой или более низкой энергией. Однако электрон из области зоны, лежащей ниже энергии Ферми, может быть возбужден в незанятое состояние с более высокой энергией посредством поглощения фотона. Интенсивность такого оптического перехода зависит от природы волновых функций, описывающих верхнее и нижнее состояния, и от плотности состояний в этих двух зонах. Важной характеристикой при этом является комбинированная плотность состояний, связывающая верхнее и нижнее энергетические состояния для данной разности энергий (т. е. энергии фотона). Таким образом, интерпретация экспериментальных данных далеко не проста. Сингулярность в оптическом отражении можно ожидать, когда энергия фотона проходит через значение, для которого имеется особенность Ван Хова (см. примечание 46) у плотности состояний какой- либо из зон, или у комбинированной плотности состояний. Кроме отражения, оптическую связь между состояниями, лежащими ниже е^, и состояниями выше е^+ф, можно также изучать посредством фотоэмиссни (которая обсуждается в разд. 3.3). Фотоэмиссия и оптическое отражение (включая такие их варианты, как пьезоотражение и отражение, модулированное электрическим полем) являются полезными диагностическими средствами изуче- 3.5. Динамика движения электронов 301 Для того чтобы свести воедино различные эффекты, связанные с понятием «плотности состояний» и «эффективной массы», следует отметить, что если полный интервал энергий, который перекрывает зона, мал, то: 1) поверхности постоянной энергии должны отстоять в к- пространстве далеко друг от друга, т. е. градиент V^e должен быть мал; 2) среднее значение g(e) по энергетическому интервалу зоны велико; 3) в такой зоне электроны обладают большой эффективной массой /л*; 4) для таких «тяжелых» электронов ускорение в приложенном извне электрическом поле мало; 5) электронная подвижность в этой узкой зоне должна быть поэтому достаточно малой (подвижность, вероятнее всего, изменяется обратно пропорционально первой или второй степени эффективной массы, показатель степени определяется основным механизмом рассеяния); 6) электроны в такой зоне будут обладать большой электронной теплоемкостью Cv~m*\ 7) они будут также обладать большой парамагнитной восприимчивостью Паули (%т~ /п*). В силу таких же рассуждений зона, перекрывающая большой интервал энергий, содержит электронные состояния с малой эффективной массой, и электроны в таких состояниях будут иметь высокую подвижность и т. д.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Плотность состояний» з дисципліни «Фізика твердого тіла»
