Теперь вернемся к свойствам тензора эффективной массы во всем интервале энергий зоны. Следует отдавать себе отчет, что массы mi и т2 в формулах (3.151) и (3.152) не равны друг другу (если они не совпали случайно) и ни одна из них, вообще говоря, не равна обычной массе электронов. Величины гпх и Ш2 отражают способность электрона у дна зоны или дырки у ее потолка реагировать на внешнее поле, действующее совместно с межатомным периодическим потенциалом. В зависимости от вида этого потенциала эффективная масса численно может быть больше или меньше обычной массы изолированного электрона. Для промежуточных областей энергетического интервала внутри зоны, расположенных достаточно высоко по отношению к 8i и достаточно низко по отношению к 62 тензор эффективной массы неизбежно имеет более сложный вид. Характер сложностей определяется симметрией кристалла и величиной периодического потенциала. В тех случаях, когда этот потенциал 3.5. Динамика движения электронов 295 Рис. 3.51. Поверхность Ферми для меди. Поверхность Ферми в этом металле формируется электронами, расположенными в заполненной наполовину 4s-30He. Эта форма поверхности была получена Пиппардом (1957 г.) из результатов измерений анизотропии аномального скин-эффекта в меди [Smith G. Е. The Fermi Surface, eds. W. A. Harrison, M. B. Webb, Wiley, 1960]. Рис. 3.52. Часть ферми-поверхности меди, показанная в представлении повторяющихся зон. Для энергетических состояний на границе зоны эффективная масса положительна в направлении kb и &с, но отрицательна в направлении ka, перпендикулярном плоскости зонной границы. Часть ферми-поверхности, имеющая форму такого типа, известна в литературе под названием «шейки». В магнитном поле электрон можно заставить прецессировать вокруг такой «шеечной орбиты» постоянной энергии. мал (как предполагалось при построении кривых постоянной энергии на рис. 3.45) или когда он велик (как на рис. 3.42), поверхности постоянной энергии должны отклоняться от сферической формы и не описываться квадратичными зависимостями (3.151) и (3.152). В качестве примера формы поверхности промежуточной энергии на рис. 3.51 дано объемное изображение поверхности Ферми в k-пространстве для меди. Эту поверхность можно получить из сферы, вытянув ее наружу вдоль направлений [111] (таким образом, чтобы вдоль этих направлений она достигала границы зоны Бриллюэна), и вдавив по различным направлениям [ПО]. В результате «эффективная масса», соответствующая состоянию с энергией Ферми, в большой степени зависит от направления соответствующего волнового вектора. Поверхность Ферми, изображенная на рис. 3.51, была получена в результате большого числа чрезвычайно сложных экспе- 296 Гл. 3. Электроны в металлах риментов56, в которых использовались методы, развивающиеся с середины 50-х годов. Некоторые из этих средств экспериментального исследования будут рассмотрены в настоящем разделе. При изучении динамики электронов можно наблюдать движение электрона, который имеет как положительные, так и отрицательные компоненты тензора эффективной массы, как у электронов на поверхности Ферми меди вблизи областей, примыкающих к границе зоны. Особенности движения электрона в этих областях к-прост- ранства можно более ясно себе представить, обратившись к рис. 3.52. На этом рисунке использовано представление повторяющихся зон, в котором ситуация, существующая с одной стороны от зонной границы, повторяется как зеркальное отражение с другой стороны. (Такой способ представления правомерен, поскольку состояния, разделенные вектором обратной решетки, одинаковы. Поэтому правая часть рис. 3.52 изображает состояния, которые равным образом могли быть представлены на расстоянии одной ширины зоны слева.) Для гиперболической поверхности энергии на рис. 3.52 эффективная масса должна быть отрицательна в направлении ка, перпендикулярном к плоскости зонной границы, и положительна в направлениях, ортогональных ка. Динамика движения электрона на такой гиперболической поверхности энергии отражает наличие положительных и отрицательных компонент массы, которые могут быть определены экспериментально. Прежде чем закончить обсуждение рис. 3.52, необходимо отметить, что поверхность энергии всегда пересекает границу зоны под прямым углом. Это происходит потому, что электрон 56 Одним из чрезвычайно эффективных методов исследования поверхностей Ферми (поверхностей постоянной энергии) в металлах является измерение аномального скин-эффекта, т. е. высокочастотной проводимости чистого металлического образца на высоких частотах, на которых глубина проникновения переменного поля в металл гораздо меньше средней длины свободного пробега электрона. В ряде других методов использовано квантование электронных орбит в магнитном поле, в результате которого движение электрона в плоскости, перпендикулярной магнитному полю, периодично с циклотронной частотой о)с = (еВ/пг*). С этим квантованием, которое обсуждается ниже в данном разделе, связано большое число эффектов, включая циклотронный резонанс для соответствующей комбинации высокочастотного поля и постоянного магнитного поля, осциллирующую зависимость электропроводности и магнитной восприимчивости от постоянного магнитного поля и магнитную модуляцию коэффициента поглощения ультразвуковых волн В различных статьях, содержащихся в сб. The Fermi Surface, eds. W. A. Harrison, M B. Webb, Wiley, I960, сообщаются результаты, полученные этими методами. Исчерпывающий обзор используемых экспериментальных методов дан в работе: Pippard А. Б —Rep Physics, 23, 176 (1961). См. также- Zi- man J. Electrons in Metals, Taylor and Francis, 1963 [Имеется перевод- Займет Дж. Электроны в металлах.—М : Мир, 1962.] 3.5. Динамика движения электронов 297 на границе зоны не имеет (в реальном пространстве) компоненты скорости, перпендикулярной граничной плоскости зоны Бриллюэна (в k-пространстве). Как мы видели при одномерном анализе границ зон, на границе электронное состояние представляет собой не бегущую, а стоячую волну, поскольку здесь реализуются условия брэгговского отражения. В случае нескольких измерений разрешено движение, параллельное зонной границе, но движение, перпендикулярное границе, запрещено. По этой причине состояния Л и Л7 на рис. 3.52 отвечают одинаковым условиям движения. В связи с рис. 3.27, построенным для одномерной модели Кронига — Пенни, было отмечено, что, как правильно показано на рисунке, (dz/dk) обращается в нуль у дна и потолка каждой зоны, а величина (d2e/dk2) остается в этих точках конечной. Конечные вторые производные определяют величину электронной и дырочной эффективных масс, а обращающиеся в нуль первые производные подтверждают [см. формулу (3.141)], что достигается брэгговское состояние стоячей волны с нулевой групповой скоростью. По тем же причинам такую же кривизну имеют кривые, изображающие зависимость е(к) на рис. 3.24, 3.28, 3.37 и 3.38. Следует ли придерживаться такого же правила при изображении поверхностей постоянной энергии в многомерном k-пространстве? Только что в связи с рис. 3.52 было указано, что в соответствии с условием Брэгга [формула (3.133)] электрон на границе зоны в реальном пространстве должен иметь нулевую компоненту скорости, перпендикулярную к плоскости границы зоны Бриллюэна. Поэтому поверхность постоянной энергии в k-пространстве должна пересекать плоскость границы зоны под прямым углом. Обращаясь к приведенным ранее рисункам, мы видим, что на рис. 3.42, б кривые постоянной энергии в углах зоны подходят к зонной границе под прямыми углами. Прямые линии, соответствующие промежуточной энергии в зоне, должны слегка искривляться в направлении нормального падения на очень малом расстоянии от границы зоны. Энергетические кривые, разрезающие зонную границу на рис. 3.45 изображены не перпендикулярными к ней. Теперь мы понимаем, что это следовало бы сделать если бы периодический потенциал был конечным. Соответствующее искривление участков сечения поверхности Ферми на рис. 3.46 для алюминия получено в приближении ПСЭ.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Сложный вид эффективной массы» з дисципліни «Фізика твердого тіла»
