Друде использовал грубое упрощение, приписав всем электронам одну и ту же тепловую скорость. От этого упрощения отказался Г. А. Лоренц (1905 г.) (не следует путать с Л. Лоренцем, который публиковал свои работы двадцатью пятью годами раньше). Лоренц3 исследовал свойства классического распределения электронных скоростей Максвелла — Больцмана. Он рассмотрел возмущение распределения Максвелла в присутствии электрического или температурного градиента, каждый из которых должен приводить как к смещению, так и к искажению симметрии равновесной функции распределения (3.4). Лоренц воспользовался приближением кинетического уравнения Больцмана, с которым мы уже сталкивались в разд. 2.5 в связи с фононной теплопроводностью и диффузией в твердом теле. Тогда было указано, что приближение уравнения Больцмана используется во многих областях физики для описания переноса подвижных частиц путем рассмотрения их статистического распределения. В модели Лоренца речь идет о переносе электрического заряда, связанного с частицами электронного 3 Лекции Лоренца имеются в английском переводе: Lorentz Н. A. The Theory of Electrons, Dover, 2nd ed., 1952. 3.2. Классическая теория свободных электронов 201 Рис. 3.5. Распределение скоростей в пространстве скоростей для больцманов- ского электронного газа в термодинамическом равновесии (а) и распределение того же ансамбля электронов, когда к нему приложено электрическое поле в ^-направлении (б). Центр тяжести распределения теперь совпадает с точкой пересечения двух штриховых линий Распределение, несомненно, не только сместилось, но и изменило форму газа (электропроводность), а также с переносом теми же электронами кинетической энергии (электронная теплопроводность). Строгий анализ электропроводности в больцмановском приближении достаточно сложен, однако намеченное здесь упрощенное рассмотрение позволяет показать все его основные моменты. Более подробное обсуждение читатель найдет в монографиях Зейтца4 или Займана5. Предположим, что распределение скоростей электронного газа в металле в отсутствие каких-либо внешних полей и воздействий соответствует равновесному распределению fo [формула (3.4)]. Это распределение было показано на рис. 3.4, а и повторно изображено на рис. 3.5, а. Чтобы упростить уравнение Больцмана, предположим, что металл однороден, так что величина f0 не зависит от пространственных координат. Приложим теперь к металлу электрическое поле, создающее направленный дрейф электронов. Распределение скоростей f в присутствии поля будет, вообще говоря, отличаться от /0- Для простоты опять рассмотрим случай однородного поля Е, при котором пространственная производная величины (/—f0) равна нулю. Тогда для любой точки металла и любого момента 4 Seitz F. Modern Theory of Solids, McGraw-Hill, 1940. [Имеется перевод: Зейтц Ф. Современная теория твердого тела.— М.— Л.: Гостехиздат, 1948.] 5 Ziman J. М. Principles of Theory of Solids, Cambridge, 2nd ed., 1972 [Имеется перевод: Займам Дж. Принципы теории твердого тела — М • Мир, 1966.1 202 Гл. 3. Электроны в металлах времени, когда действует поле, скорость изменения функции распределения / со временем представляет собой сумму двух слагаемых (-irHit) +(-£) • <3-23> V Ш / \ 01 /ПОЛ V 01 /столки Первый член справа отражает влияние поля на изменение распределения, а второй отражает роль рассеяния в восстановлении равновесного распределения. Уравнение (3.23) должно выполняться в каждой точке пространства скоростей. Поскольку сила равна скорости изменения импульса, а электрон со скоростью v обладает импульсом mv и в электрическом поле Е испытывает силу —еЕ, первый член в правой части уравнения (3.23) равен Таким образом, влияние электрического поля на изменение функции распределения определяется производной этой функции по скорости (которая связана с производной по энергии). Предполагается, что рассеивающие столкновения полностью уничтожают результаты ускоряющего действия поля на длине пробега, предшествующей столкновению, и восстанавливают распределение скоростей f0. Поэтому, рассматривая роль столкновений в минимизации величины (f—f0), Лоренц предположил, что величина (df/dt) столки должна быть прямо пропорциональна (/о—/). Эту пропорциональность можно выразить через время релаксации тг: (df/dt)CTOJlKH = (fo-f)hr. (3.25) Заметим, что величина тг определена для каждой точки пространства скоростей. Поэтому время релаксации, конечно, связано со средним временем свободного пробега тт модели Друде (формулы (3.8) и (3.16)), однако эта связь выражается интегральным соотношением. С помощью выражений (3.24) и (3.25) уравнение (3.23) можно представить в виде уравнения непрерывности Ф+'т-С*-)-^-* <"•> связывающего /0 с функцией распределения, возмущенной электрическим полем. На рис. 3.5, б показана функция распределения, смещенная электрическим полем в отрицательном направлении оси х. Заметим, что положение «центра тяжести» нового распределения, так же как и любое искажение его формы, определяется кон- 3.2. Классическая теория свободных электронов 203 куренцией между действием приложенного поля и процессов рассеяния. Предположение, сделанное Лоренцем и полностью оправданное для не слишком больших полей, состояло в том, что сдвиг величины / как целого, произведенный полем, должен быть мал по сравнению с scP. кв. Лоренц предположил также, что деформация распределения должна быть менее заметна, чем общий сдвиг. Если постоянное электрическое поле действует в течение времени, которое велико по сравнению с тг, то достигается стационарное состояние и первый член уравнения (3.26) обращается в нуль. Тогда из условия непрерывности следует, что второй и третий члены должны быть равны по величине и противоположны по знаку в каждой точке пространства скоростей, откуда получаем / = fo + (V? Elm) • (df/dv) (3.27) — возмущенное распределение для стационарного состояния. Интегрирование по этому распределению дает для всего электронного газа отличную от нуля дрейфовую скорость, т. е. металл обладает конечной электропроводностью. Если мы предположим, что поле, как на рис. 3.5, б, направлено вдоль оси л*, то плотность тока равна J х = — J evj dvx do у dvzi (3.28) а поскольку интеграл, содержащий /о» равен нулю, получаем Jx = вЕх = — { {Exe2/m) xrvx (df/dv) dvx dvy dv2. (3.29) Чтобы выполнить это интегрирование, сделаем еще одно упрощение, предположив, что тг зависит только от величины скорости электрона, но не зависит от направления его движения. При решении уравнения Больцмана обычно предполагают, что Тг зависит от скорости электрона по степенному закону: Tr = Asf. (3.30) Показатель степени / зависит от природы механизма рассеяния. Далее Лоренц предположил, что электроны упруго рассеиваются на неподвижном распределении атомных остатков. Для такого механизма рассеяния средняя длина свободного пробега X не зависит от скорости электрона, как указано в связи с формулой (3.7) и в задаче 3.2. Это означает, что величина А, должна быть равна величине А в формуле (3.30), а / = — 1, т. е. xr=X/s. (3.31) Если именно этот механизм рассеяния является определяющим, то поле оказывает наиболее сильное воздействие на медленно движущиеся электроны. 204 Гл. 3. Электроны в металлах Подстановка (3.31) в (3.29) дает для электропроводности интегральное выражение о = — j (№vjms) • {dfldvx) dvxdvydvz, (3.32) которое можно преобразовать в интеграл по скалярной скорости s, учтя, что после усреднения по всем электронам vx2 = = (s2/3) и что объем сферической оболочки в пространстве скоростей, имеющей радиус 5 и толщину dst равен 4ns2ds. Таким образом, интеграл (3.32) преобразуется в интеграл по скалярной скорости электрона s: оо о = (АпеУЗт) J Xs2 {—df0/ds) ds. (3.33) о Так же просто электропроводность можно выразить через интеграл по кинетической энергии электрона е =—ms2. Следует отметить, что главный вклад в электропроводность в выражении (3.33) дает интервал скоростей электронов, для которых функция распределения имеет максимальную отрицательную производную по скорости6. В задаче 3.4 предлагается вычислить интеграл (3.33) (и аналогичный интеграл по энергии), используя выражение (3.4) для /0, и убедиться в том, что о= *** . (3.34) Отметим, что выражение (3.34) имеет ту же общую форму, что и в модели Друде. Если длина свободного пробега определена так же, то выражения (3.19) и (3.34) различаются только множителем (Зл/8) =1,09. Аналогичным образом, приближение кинетического уравнения Больцмана, использованное Лоренцем, дает для электронной теплопроводности результат, подобный результату Друде, однако уменьшенный примерно на одну треть7.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Модель Лоренца» з дисципліни «Фізика твердого тіла»
