Реферати статті публікації

Пошук по сайту

Головна » Реферати та статті » Фізика » Фізика твердого тіла

Модель Эйнштейна

Первый успех в этой области связан с именем Эйнштейна27,
который основывался на разработанной Планком (1900 г.)
квантовой теории излучения черного тела. Согласно этой
теории квантовый осциллятор, колеблющийся с частотой v =
= (со/2я), может находиться только в состояниях с энергией
En = nh(d, л = 0, 1, 2, 3, ... . (2.50)
Вероятность пребывания в состоянии п равна
gn=-exp(-En/k0T). (2.51)
Тогда средняя энергия этого осциллятора, находящегося в
тепловом равновесии, определяется как
оо
£ Enexp(-Enlk0T)
(Е) = -^ . (2.52)
5гехр(-£,ДоЛ
Несложные выкладки (см. задачу 2.12) приводят к
следующему результату для квантового гармонического осциллятора,
колеблющегося с частотой со:
(Е) = /ko/[exp (h(d/k0T)— 1]. (2.53)
Другой способ определения средней энергии состоит в
вычислении среднего числа фононов, соответствующего при
температурах Т колебаниям решетки с угловой частотой со:
(n)=[exp(h(o/k0T)—\]-K (2.54)
Величины (п) называют числами заполнения данной моды28.
27 Einstein Л.—Ann. Phys., 22, 180 (1907).
28 Согласно принципам современной квантовой механики, которые, как
известно, были разработаны через двадцать лет после появления модели
Эйнштейна, разрешенные значения энергии квантового осциллятора равны
En=(n+l/2)h<d, так что
<£) = Асо /— + [exp (b<x>/k0T) - I]-1! .
Дополнительная энергия l/2fi(x> для каждой моды представляет собой
энергию нулевых колебаний; она названа так из-за того, что эта энергия
существует при любой температуре, в том числе и при абсолютном нуле. Энергия
нулевых колебаний, которая не зависит от температуры, автоматически
входит в энергию решетки. Ее добавление к общей энергии не влияет на
величину теплоемкости.
2.4. Статистика фононов и теплоемкость решетки 157
Значение энергии <£> стремится к классическому
пределу k0T при температурах гораздо выше (йсо/^о), но убывает
существенно быстрее, чем k0T, при низких температурах.
Для простоты Эйнштейн предположил, что кристалл с N
атомами обладает 3N модами колебаний с одинаковой
угловой частотой (Oi?. Он использовал эту частоту в качестве
подгоночного параметра для согласования своей модели
теплоемкости с экспериментальными данными для твердых тел. Тогда,
если каждой колебательной моде соответствует одна и та же
энергия <£>, определяемая выражением (2.53), общая
колебательная энергия решетки равна
U = ^^ (2.55)
exp (h<dE/k0T) — 1
(без энергии нулевых колебаний, которая в модели Эйнштейна
не учитывалась). Соответствующая теплоемкость при
постоянном объеме равна
C0 = (-^ = 3tfft,FB(©£, Г), (2.56)
где FE — функция Эйнштейна, равная
F ( т (Н»Е1ЬТ)*ех?{»Е1ЬТ) ш (2.57)
ЕУ ' [exp (h(oE/k0T) -1]-2 V '
Функция Эйнштейна стремится к единице при высоких
температурах, что приводит к классическому результату, т. е. к
выражению (2.3). Однако при температурах значительно ниже
характеристической температуры Эйнштейна Те^Йые/Ьо эта
функция убывает экспоненциально:
F£(o)£, Т) tt(h(oE/k0T)*exp(—h(oE/k0T),
при T«r£F£(o)£, Т)ъ(ТЕ/Т)*ехр(-ТЕ/Т). (2.58)
Эйнштейн провел сопоставление результатов, полученных
с помощью его модели с экспериментальными данными по
температурной зависимости теплоемкости алмаза (рис. 2.18).
Несмотря на то что согласие между теорией и экспериментом
нельзя считать идеальным, модель Эйнштейна явилась
значительным шагом вперед но сравнению с классической моделью.
Характеристическая температура ТЕ использовалась в
качестве подгоночного параметра для согласования теоретических
и экспериментальных значений Cv (но не ее производной);
привязка осуществлялась при одном значении температуры
в низкотемпературной области. Заметим, что параметр
Эйнштейна Те связан с универсальной угловой частотой сое,
расположенной вблизи центра тяжести дисперсионных кривых для
алмаза (см. рис. 2.13).
158 Гл. 2. Динамика решетки
Рис. 2.18. Молярная теплоемкость
алмаза. Для сравнения приведены
прямая /, построенная в
соответствии с классическим законом Дюлонга
и Пти, а также кривая 2,
соответствующая модели Эйнштейна с
характеристической температурой 7я=
= 1320 К, которой отвечает угловая
частота (Dis = W/i= 1,73- 10й рад/с
[Einstein Л.—Ann. Physik, 22, 180
(1907)].
I I I
0 0,2 0,4 0,6 0,8 fft
т/то-Щ
Модель Эйнштейна с физической точки зрения
нереалистична, поскольку колебательные моды могут иметь одну и ту
же частоту только в том случае, когда все атомы в кристалле
совершают колебания независимым образом, что на самом
деле не соответствует действительности. Другая, более
правдоподобная модель, была предложена Дебаем29. Модель Дебая
дает для многих кристаллов лучшее согласие с
экспериментальными данными по теплоемкости в области низких
температур. В этой температурной области Cv часто оказывается
пропорциональной Т3. В модели Дебая как раз и получается
такая зависимость теплоемкости от температуры, в то время
как модель Эйнштейна, согласно выражению (2.58),
предсказывает экспоненциальную зависимость.

Ви переглядаєте статтю (реферат): «Модель Эйнштейна» з дисципліни «Фізика твердого тіла»