При описании волнового движения в одноатомном одномерном кристалле мы сочли удобным рассмотреть только продольные смещения в линейной цепи. Конечно, можно рассматривать чисто продольные или чисто поперечные колебания и в трехмерных кристаллах, но только для относительно симметричных структур (например, кубических кристаллов) и для тех особых кристаллографических направлений, которые соответствуют плоскостям атомов, движущихся синхронно. В кубических кристаллах волна может быть полностью продольной или полностью поперечной, если она распространяется в направлениях [100], [ПО] или [111], и этим обусловлен выбор направлений в k-пространстве, для которых приведены экспериментальные дисперсионные кривые на рис. 2.4, 2.12 и 2.13. Однако в общем случае волна в трехмерном кристалле имеет как продольную, так и поперечную компоненты; следовательно, уравнения, описывающие ее распространение, должны содержать члены, в которые входят коэффициенты жесткости и скорости, связанные и с продольными, и с поперечными смещениями. Поэтому нетрудно представить себе, что дисперсионные кривые для колебаний в трехмерном кристалле оказываются значительно более сложными по сравнению с кривыми на рис. 2.3. Это подтверждается двумя экспериментально полученными спектрами, изображенными на рис. 2.4. В каждом из представленных на этом рисунке одноатомных кристаллов возбуждаются одна продольная и две поперечные 128 Гл. 2. Динамика решетки (000) <^ (ЮО) (110) (%%0) -Ч (000) (000) ц-* {1/гЩ Рис. 2.4. Дисперсионные кривые фононов для свинца (а) и меди (б), кристаллизующихся в г. ц. к.-структуре. Угловая частота со приведена как функция безразмерного вектора q=ka/ji, измеряемого от центра зоны Бриллюэна в трех основных кристаллографических направлениях. Для направления [ПО] кривые продолжены за границу зоны Бриллюэна (ЗБ). Данные для свинца взяты из работы: Brockhouse et al.— Phys. Rev., 128, 1099 (1962), а для меди из работы: Svensson et al— Phys. Rev., 155, 619 (1967); Nilsson G., Roland- son S.— Phys. Rev., B7, 2393 (1973). Все кривые получены с помощью неупругого рассеяния пучка монохроматических нейтронов. волны, причем последние две совпадают в направлениях высокой симметрии [100] и [111]. Спектры типа показанных на рис. 2.4 были получены при исследовании неупругого рассеяния медленных нейтронов. В разд. 1.4 нас прежде всего интересовала та дополнительная информация о структуре кристалла, которую можно получить при исследовании упругого рассеяния нейтронов, подчиняющегося условию Брэгга. Тогда же мы отметили, что для изуче- 2.2. Колебательные моды одноатомной решетки 129 ния колебаний решетки можно использовать тепловые нейтроны, имеющие малые скорости. Теперь настал момент, когда нам необходимо вернуться к процессам неупругого рассеяния. Мы уже отметили, что колебание решетки с угловой частотой со эквивалентно движению фононов с энергией Йсо и квазиимпульсом hk. Использование понятия квазиимпульс не означает, что через кристалл передается «обычный» импульс с соответствующей скоростью; однако квазиимпульс — это величина, которая сохраняется в различных процессах взаимодействия, включающих в себя рождение и уничтожение фононов. Поэтому торможение нейтрона при возбуждении в решетке колебательной моды подчиняется как закону сохранения энергии, так и закону сохранения квазиимпульса, причем последний сводится к сохранению волнового вектора. Скорости нейтронов v соответствует волновой вектор Kn = Mnv/h (2.16) и кинетическая энергия E=--h2K2n/2Mn. (2.17) Предположим, что при поглощении или рождении фонона энергия и волновой вектор нейтрона изменились и стали равными Е' и К'п соответственно. Тогда для угловой частоты со и волнового вектора к фоиона, участвующего в процессе взаимодействия, будут выполняться следующие законы сохранения: Е —E' = ±ftw, (2.18) K„-lC-G±k. (2.19) Здесь вектор G равен либо нулю, либо вектору обратной решетки. Его можно включить в выражение (2.19), поскольку фонон с волновым вектором к эквивалентен фонону с волновым вектором k + G. Закон сохранения волнового вектора в простейшем случае иллюстрируется рис. 2.5. В процессе неупругого рассеяния, описываемого выражениями (2.18) и (2.19), исследование можно проводить как для фотонов, так и для электронов. Однако из-за значительного различия скоростей света и звука лишь малая доля энергии фотонов может быть передана решетке. Более удобными для этих исследований оказались тепловые нейтроны, поскольку в процессах неупругого рассеяния благодаря их скоростям и энергии их волновой вектор претерпевает значительные изменения как по величине, так и по направлению. Попытки изучения колебаний решетки с помощью иеупру- гого рассеяния нейтронов возникли в начале 1950-х годов в связи с разработкой урановых реакторов — мощных источников медленных нейтронов. Первые успешные результаты были 130 Гл. 2. Динамика решетки Рис. 2.5. Сечение к-пространства для кристалла с простой кубической решеткой. Показаны первая зона Бриллюэна и восемь окружающих ее зон. Координаты центра каждой зоны выражены в единицах безразмерной переменной q=ka/n. К и К' — волновые векторы нейтрона соответственно до и после неупругого рассеяния, в результате которого рождается фонон с волновым вектором к. Векторное соотношение (2.19) между К, К' и к выполняется при учете вектора обратной решетки. опубликованы в 1955 г.4 Этот метод оказался весьма полезным, и сейчас у нас имеются сведения о колебательных спектрах для многих твердых тел5. Изменение скорости нейтрона вследствие рассеяния измеряется либо методами брэгговской дифракции, либо времяпролетными методами. Свинец и медь, спектры колебаний которых представлены на рис. 2.4, кристаллизуются в г. ц. к.-структуру. Различия ме- 4 Первые успешные исследования спектра колебаний решетки с помощью неупругого рассеяния нейтронов были выполнены на алюминии Брокхаузом и Стюартом [Brockhouse В. N., Stewart Л. Т.— Phys, Rev., 100, 756 (1955)] и на бериллии и ванадии Картером, Хыоджем и Палевски [Carter R. S., Hughes D. J., Palevsky Я.—Phys. Rev., 99, 611 (A) (1955)]. 5 Исчерпывающее обсуждение вопросов, связанных с неупругим рассеянием нейтронов и его применением для изучения дисперсионных кривых колебаний решетки, представлено в двух работах Брокхауза [Brockhouse В. N.— In: Phonons in Perfect Lattices and in Lattices with Point Imperfection, ed. R. W. H. Stevenson, Plenum Press, 1966; Brockhouse B. N.— ln: Phonons and Phonon Interactions, ed. T. A. Bak, Benjamin, 1964]. Основное внимание в этих работах уделено результатам, полученным с использованием брэгговской дифракции для анализа импульсов падающих и рассеянных нейтронов. Для этого требуется трехосный спектрометр. [Неупругое рассеяние медленных нейтронов на колебаниях решетки обсуждается также в монографии: Гуре- вич И. И., Тарасов Л. В. Физика нейтронов низких энергий.— М.: Наука, 1965.— Прим. ред.] 2.2. Колебательные моды одноатомной решетки 131 жду фононными спектрами этих металлов обусловлены главным образом тем, что в них удаленные по отношению к данному атомы оказывают разное влияние. Для меди, спектры которой представлены в нижней части рисунка, предполагалось6, что можно пренебречь влиянием атомов из координационных сфер дальше восьмой и что для большинства кристаллографических направлений силы взаимодействия с соседями из первой координационной сферы преобладают над силами взаимодействия с другими более удаленными атомами. В то же время количественное объяснение более сложного характера дисперсионных кривых для свинца (рис. 2.4, а) требует того, чтобы мы учитывали влияние соседей по крайней мере из десяти ближайших координационных сфер7. Кроме того, на дисперсионных кривых для свинца наблюдаются небольшие аномалии, обусловленные иной причиной. В металле сила взаимодействия электронов с фононами зависит от соотношения между волновым вектором фонона и удвоенным волновым вектором свободных электронов, имеющих наибольшую энергию. В случае когда волновой вектор фонона превышает удвоенный волновой вектор таких электронов, возникают коновские аномалии*, которые наблюдаются для многих металлов с сильным электрон-фононным взаимодействием. Качественно аналогичные приведенным на рис. 2.4 кривые получены и для других твердых тел с одноатомным базисом. Выбор наиболее важных направлений и положения максимумов на оси абсцисс при построении дисперсионных кривых определяются формой зоны Бриллюэна для рассматриваемой кристаллической структуры. (Зона Бриллюэна для металлов, спектры которых приведены на рис. 2.4, рассматривается в задаче 2.3).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Колебания трехмерного одноатомного кристалла» з дисципліни «Фізика твердого тіла»
