Индексы Миллера и кристаллографические направления
Часто возникает необходимость задать определенную кристаллографическую плоскость или определенное направление в реальном трехмерном кристалле. Плоскости кристалла задаются, как правило, индексами Миллера. Эти индексы определяют следующим образом. Пусть мы имеем общий случай трехмерной решетки, в которой длины примитивных векторов трансляции a, b и с произвольны, а углы между парами этих векторов не обязательно равны 90°. На рис. 1.23 показана часть такой решетки, где точки О, Л, В и С представляют собой узлы решетки и выбраны таким образом, что векторы ОА, ОВ и ОС совпадают по направлению с примитивными векторами. Расстояния |ОА|, | ОВ | и | ОС | в целое число раз пи п2 и /г3 превосходят длины соответствующих примитивных векторов элементарной ячейки. Каким образом с помощью целых чисел пи #2 и Пз можно указать положение плоскости ABC? Для задания плоскости ABC вполне было бы достаточно указать проекции (/ii|a|, я2|Ь|, /х31с|), однако такое обозначение слишком громоздко и потому не используется. Не используется и более краткое обозначение плоскости, а именно (пи П2, п>г). Вместо этого по причинам, которые станут очевидными после того, как мы рассмотрим свойства обратного пространства и обратных решеток, плоскость ABC удобно обозначать состоит из похожих, но не полностью идентичных частей. Эта небольшая неоднородность не мешает дифракции рентгеновских лучей на кристалле ДНК (см. примечание 17). 1.3. Структуры реальных кристаллов 61 Рис. 1.23. Плоскость, проходящая через точки решетки А, В и С; a, b и с — примитивные векторы, а пи п2 и пъ — произвольные целые числа. как (hkl), где целые числа ft, k, I представляют собой набор целых чисел, которые выражают отношение [h:k:l = nT^:ri2l:nTl. (1.28) Говорят, что плоскость, которая удовлетворяет отношению (1.28), имеет индексы Миллера (hkl). Обычно в качестве ft, k и / выбирают наименьшие целые числа, удовлетворяющие соотношению (1.28), однако, как мы увидим в дальнейшем, для извлечения дополнительной информации можно поступить и иным способом. Использование индексов Миллера проще всего продемонстрировать на примере кубической решетки (рис. 1.24). Таким же образом обозначают плоскости и в структурах с более низкой симметрией. Плоскость, обозначаемая (hkO)f пересекает ось с (направление ОС на рис. 1.23) на бесконечно большом расстоянии; очевидно, такая плоскость параллельна оси с. Аналогично плоскость, параллельная осям b и с, обозначается как (Л00). В соответствии с принципом использования наименьшего из подходящих целых чисел любая плоскость (ftOO), если о ней не нужно сообщать дополнительной информации, обозначается как (100). В случае когда рассматриваемая плоскость пересекает ось а в области отрицательных значений координат, в соответствии с терминологией Миллера используют обозначение (hkl). На рис. 1.24 показаны плоскости (100) и (Ш0), которые связаны друг с другом трансляционной симметрией. Символом {hkl} обозначаются все плоскости, эквивалентные {hkl) в силу симметрии. На рис. 1.24 изображена плоскость (200), где отличие первого индекса от единицы указывает на то, что эта плоскость 62 Гл. 1. Кристаллическая структура и форма твердых тел / ЩГ (Щ / / (200) /(ПО) / (111) / (222) Рис. 1.24. Некоторые наиболее часто встречающиеся плоскости в кубической решетке и их индексы Миллера. отсекает на оси а отрезок длиной (1/2) а. Аналогичным образом связаны на том же рисунке плоскости (222) и (111). В гексагональных и тригональных кристаллах положения кристаллографических плоскостей по-прежнему можно задавать тремя индексами Миллера. Однако для этих кристаллографических классов более принято использовать набор четырех индексов Миллера, представляющих собой обратные значения координат точек пересечения плоскости с осями аь а2, а3 и с осью с (рис. 1.25). Таким образом, плоскость можно обозначать как (10f0) или (0001), где четвертый индекс связан с пересечением с осью с. Соотношения между компланарными векторами аь а2 и аз накладывают условия на первые три индекса Миллера; их сумма должна быть равна нулю. Пример плоскости (1010) на рис. 1.25 показывает, каким образом индексы, обозначающие плоскость, связаны с выбранными направлениями векторов аь а2 и а3. Упражнение на применение этих обозначений содержится в задаче 1.11. В кристаллах низкой симметрии введение индексов Миллера требует некоторого предварительного изучения кристалла, поскольку необходимо измерить координаты точек пересечения 1.3. Структуры реальных кристаллов 63 Рис. 1.25. Наиболее естественная элементарная ячейка для гексагональных и тригональных кристаллов. Показаны четыре вектора (из которых любые два из первых трех независимы), используемые в обозначениях через четырехзначные индексы Миллера. плоскости с координатными осями и выразить их в длинах соответствующих единичных векторов. Привыкнув к такой системе обозначений, можно добиться существенного упрощения рассмотрения. Без индексов Миллера описание диагональных плоскостей в ромбической, моноклинной и триклинной решетках было бы значительно сложнее. Интересно отметить, что для указания кристаллографических направлений традиционно используется иной подход. Направление в кристалле обозначают тремя целыми числами в квадратных скобках: [hkl]. Это обозначение настолько похоже на индексы Миллера для кристаллографических плоскостей, что невольно возникает предположение о том, что направление [hkl] ортогонально плоскости (hkl). К сожалению, кристаллографические направления определяются таким образом, что это предположение оказывается верным лишь для кубических кристаллов и для нескольких других отдельных случаев. Кристаллографическое направление [hkl] определяется как набор наименьших целых чисел, относящихся друг к другу как косинусы углов между данным направлением и осями элементарной ячейки. Иными словами, числа ft, k и / пропорциональны длинам векторов, направленных вдоль осей элементарной ячейки, которые в сумме составляют вектор, ориентированный в данном направлении.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Индексы Миллера и кристаллографические направления» з дисципліни «Фізика твердого тіла»
